Dénombrement, probabilités

Dénombrement, probabilités
Gilbert Primet
Lycée Kerichen
7 septembre 2014
Gilbert Primet
Dénombrement, probabilités
Ensembles finis
1 Cardinal d’un ensemble fini : |A|, #A, Card(A)
Gilbert Primet
Dénombrement, probabilités
Ensembles finis
1 Cardinal d’un ensemble fini : |A|, #A, Card(A)
2
card(∅) = 0
Gilbert Primet
Dénombrement, probabilités
Ensembles finis
1 Cardinal d’un ensemble fini : |A|, #A, Card(A)
2
card(∅) = 0
3
Si n ∈ N∗ , alors card([|1, n|] = n
Gilbert Primet
Dénombrement, probabilités
Ensembles finis
1 Cardinal d’un ensemble fini : |A|, #A, Card(A)
2
card(∅) = 0
3
Si n ∈ N∗ , alors card([|1, n|] = n
4
Si A ⊂ E , où E est fini, alors A est fini, et #A 6 #E , avec
égalité ssi A = E
Gilbert Primet
Dénombrement, probabilités
Ensembles finis
1 Cardinal d’un ensemble fini : |A|, #A, Card(A)
2
card(∅) = 0
3
Si n ∈ N∗ , alors card([|1, n|] = n
4
5
Si A ⊂ E , où E est fini, alors A est fini, et #A 6 #E , avec
égalité ssi A = E
Soit (a, b) ∈ Z2 , a 6 b.
Card([|a, b|] = b − a + 1
.
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Ensembles finis
1 Cardinal d’un ensemble fini : |A|, #A, Card(A)
2
card(∅) = 0
3
Si n ∈ N∗ , alors card([|1, n|] = n
4
5
Si A ⊂ E , où E est fini, alors A est fini, et #A 6 #E , avec
égalité ssi A = E
Soit (a, b) ∈ Z2 , a 6 b.
Card([|a, b|] = b − a + 1
.
6
Si A est un ensemble fini, et si f est une bijection de A dans
B, alors B est finie et card(A) = card(B)
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Ensembles finis
1 Cardinal d’un ensemble fini : |A|, #A, Card(A)
2
card(∅) = 0
3
Si n ∈ N∗ , alors card([|1, n|] = n
4
5
Si A ⊂ E , où E est fini, alors A est fini, et #A 6 #E , avec
égalité ssi A = E
Soit (a, b) ∈ Z2 , a 6 b.
Card([|a, b|] = b − a + 1
.
6
Si A est un ensemble fini, et si f est une bijection de A dans
B, alors B est finie et card(A) = card(B)
7
Soient A et B deux ensembles finis de même cardinal et
f : A → B. Alors :
f bijective ⇐⇒ f injective ⇐⇒ f surjective
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Opérations sur les cardinaux
1
Si A et B sont des ensembles finis disjoints, alors A ∪ B est
finie et :
Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B)
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Dénombrement, probabilités
Opérations sur les cardinaux
1
Si A et B sont des ensembles finis disjoints, alors A ∪ B est
finie et :
Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B)
2
Cas général : Si A et B sont des ensembles finis :
card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B)
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Dénombrement, probabilités
Opérations sur les cardinaux
1
Si A et B sont des ensembles finis disjoints, alors A ∪ B est
finie et :
Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B)
2
Cas général : Si A et B sont des ensembles finis :
card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B)
3
Si A1 , · · · , An sont des ensembles finis deux à deux disjoints,
alors :
n
X
card(A1 ∪ A1 · · · ∪ An ) =
card(Ai )
i=1
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Opérations sur les cardinaux
1
Si A et B sont des ensembles finis disjoints, alors A ∪ B est
finie et :
Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B)
2
Cas général : Si A et B sont des ensembles finis :
card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B)
3
Si A1 , · · · , An sont des ensembles finis deux à deux disjoints,
alors :
n
X
card(A1 ∪ A1 · · · ∪ An ) =
card(Ai )
i=1
4
Complémentaire. Si A ⊂ E (E fini), alors :
Card({E A) = Card(E ) − Card(A)
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Opérations sur les cardinaux
1
Si A et B sont des ensembles finis disjoints, alors A ∪ B est
finie et :
Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B)
2
Cas général : Si A et B sont des ensembles finis :
card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B)
3
Si A1 , · · · , An sont des ensembles finis deux à deux disjoints,
alors :
n
X
card(A1 ∪ A1 · · · ∪ An ) =
card(Ai )
i=1
4
Complémentaire. Si A ⊂ E (E fini), alors :
Card({E A) = Card(E ) − Card(A)
5
Produit cartésien. Si A et B sont des ensembles finis, alors
A × B est fini et
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Opérations sur les cardinaux
1
Si A et B sont des ensembles finis disjoints, alors A ∪ B est
finie et :
Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B)
2
Cas général : Si A et B sont des ensembles finis :
card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B)
3
Si A1 , · · · , An sont des ensembles finis deux à deux disjoints,
alors :
n
X
card(A1 ∪ A1 · · · ∪ An ) =
card(Ai )
i=1
4
Complémentaire. Si A ⊂ E (E fini), alors :
Card({E A) = Card(E ) − Card(A)
5
Produit cartésien. Si A et B sont des ensembles finis, alors
A × B est fini et
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Dénombrement, probabilités
Cardinal de l’ensemble des applications d’un ensemble fini dans un
ensemble fini, cardinal de l’ensemble des parties
1
Théorème : Si A et B sont des ensembles finis, alors B A est
fini et
Card(B A ) = Card(B)Card(A)
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Dénombrement, probabilités
Cardinal de l’ensemble des applications d’un ensemble fini dans un
ensemble fini, cardinal de l’ensemble des parties
1
2
Théorème : Si A et B sont des ensembles finis, alors B A est
fini et
Card(B A ) = Card(B)Card(A)
Théorème : Si A et B sont des ensembles finis, avec
p = card(A) 6 n = card(B), l’ensemble des injections de A
dans B est fini et son cardinal vaut :
n(n − 1) · · · (n − p + 1) =
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n!
(n − p)!
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Cardinal de l’ensemble des applications d’un ensemble fini dans un
ensemble fini, cardinal de l’ensemble des parties
1
2
Théorème : Si A et B sont des ensembles finis, alors B A est
fini et
Card(B A ) = Card(B)Card(A)
Théorème : Si A et B sont des ensembles finis, avec
p = card(A) 6 n = card(B), l’ensemble des injections de A
dans B est fini et son cardinal vaut :
n(n − 1) · · · (n − p + 1) =
3
n!
(n − p)!
Théorème Si A est fini, alors ℘(A) est fini et
Card(℘(A)) = 2Card(A)
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Listes et combinaisons
1 Nombre de p-listes d’éléments distincts d’un ensemble
de cardinal n Théorème : ce nombre est
n(n − 1) · · · n − p + 1 =
Gilbert Primet
n!
(n − p)!
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Listes et combinaisons
1 Nombre de p-listes d’éléments distincts d’un ensemble
de cardinal n Théorème : ce nombre est
n(n − 1) · · · n − p + 1 =
2
n!
(n − p)!
Permutations d’un ensemble de cardinal n : il y a n!
permutations.
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Listes et combinaisons
1 Nombre de p-listes d’éléments distincts d’un ensemble
de cardinal n Théorème : ce nombre est
n(n − 1) · · · n − p + 1 =
n!
(n − p)!
2
Permutations d’un ensemble de cardinal n : il y a n!
permutations.
3
Parties à p éléments d’un ensemble de cardinal n :Il y en a
n
n!
=
p!(n − p)!
p
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Propriétés de coefficients combinatoires
n
n
1
0 = n =1
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Propriétés de coefficients combinatoires
n
n
1
0 = n =1
2
Si 1 6 p < n :
n
n
n−1
=
+
p
p−1
p−1
Application : triangle de Pascal.
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Dénombrement, probabilités
Propriétés de coefficients combinatoires
n
n
1
0 = n =1
2
Si 1 6 p < n :
n
n
n−1
=
+
p
p−1
p−1
Application : triangle de Pascal.
3
Si 0 6 p 6 n :
n
n
=
p
n−p
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Dénombrement, probabilités
Propriétés de coefficients combinatoires
n
n
1
0 = n =1
2
Si 1 6 p < n :
n
n
n−1
=
+
p
p−1
p−1
Application : triangle de Pascal.
3
4
Si 0 6 p 6 n :
n
n
=
p
n−p
Si 0 < p < n :
n
n n−1
=
p p−1
p
. (Très utile pour le calcul de sommes)
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Démonstration.
Ces formules peuvent se montrer par calcul direct ou par
dénombrement.
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Formule du binôme
:
Si (a, b) ∈ C2 et n ∈ N :
n X
n k n−k
(a + b) =
a b
k
n
k=0
.
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Démonstration.
1 Démonstration par récurrence en utilisant la formule de
Pascal.
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Démonstration.
1 Démonstration par récurrence en utilisant la formule de
Pascal.
2
Démonstration par dénombrement Lorsque l’on développe
(a + b)n , on obtient une somme de termes de la forme ak b n−k .
Le nombre de fois qu’apparaı̂t un tel terme est le nombre de
façons de choisir k parenthèses parmi n, d’où le résultat.
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