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Page 1 Christian MAIRE  EduKlub S.A.
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ELECTROMAGNETISME
EXERCICE D’ORAL
-EXERCICE 26.5-
•
••
• ENONCE :
« Force électrique s’exerçant sur un demi-espace chargé »
• Le demi-espace 0x≺ est vide de charges, alors que le demi-espace 0x≥ est caractérisé par la
densité volumique de charges : 0
( ) exp( / )xxa
ρρ
=−.
1) Déterminer le champ électrique dans le demi-espace 0x≥.
Rq : pour répondre entièrement à la question, on pourra envisager la situation où 0a→.
2) Déterminer la force électrique qui s’exerce sur un cylindre droit illimité, de base S et d’axe Ox.

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ELECTROMAGNETISME
EXERCICE D’ORAL
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• CORRIGE :
« Force électrique s’exerçant sur un demi-espace chargé »
1) • symétries : les plans xOz et xOy sont plans de symétrie ⇒ le champ électrique appartient à
l’intersection de ces plans ⇒ le champ est porté par Ox.
• invariances : la distribution de charges étant invariante par translation selon Oy et Oz, le
champ ne dépend que de la variable x ; en résumé : ()x
EExe=
""
• l’équation de Maxwell-Gauss fournit :
00
00
exp( / ) ( ) exp( / )
xx
dE x a a
divE E x x a C
dx
ρρ
εε
−
== ⇒ =− −+
" (où C est une cste d’intégration)
• Lorsque a tend vers zéro, la distribution volumique réelle de densité
ρ
est équivalente à
une distribution surfacique de densité
σ ; la conservation de la charge dans un cylindre droit
illimité, d’axe Ox, de section S et dans un disque de même section conduit à :
000
0exp( / ) [exp( / )]SS xadx Sa xa
σρ ρ
∞∞
×=× − =− × −
∫ ⇒ 0a
σ
ρ
=
Rq : pour que la charge totale dans le cylindre reste constante, il faut que le produit 0a
ρ
reste
constant (ainsi, dans la distribution équivalente,
σ reste finie et constante).
• On connaît le champ créé par un plan illimité chargé, soit : 0
00
22
plan a
E
ρ
σεε
== ; il vient donc :
00
0
00
lim exp( / )
2a
aa
Cxa
ρρ
εε
→
=− − (avec 0a
ρ
=cste) ⇒ 0
0
2a
C
ρ
ε
= ⇒ 0
0
( ) [1/ 2 exp( / )]
xa
Ex xa
ρ
ε
=−−
2) La force électrique totale s’exerçant sur le cylindre défini dans l’énoncé se calcule par :
()
00
00 ()
()
() () () () E
xx xx
cyl Eo
dE x
F dqE x e S x E x dxe S E x dxe S E dEe
dx
ρε ε
∞∞ ∞
== =××=×
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
""" ""
; d’où :
22
0[ ( ) (0)]
2x
S
FEEe
ε
=∞−
"" ; or : 0
0
() (0)
2a
EE
ρ
ε
∞= =− ⇒ 0F="
"