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Physique
ELECTROMAGNETISME
EXERCICE D’ORAL
-EXERCICE 26.5• ENONCE :
« Force électrique s’exerçant sur un demi-espace chargé »
• Le demi-espace x ≺ 0 est vide de charges, alors que le demi-espace x ≥ 0 est caractérisé par la
densité volumique de charges :
ρ ( x ) = ρ 0 exp(− x / a ) .
1) Déterminer le champ électrique dans le demi-espace x ≥ 0 .
Rq : pour répondre entièrement à la question, on pourra envisager la situation où a → 0 .
2) Déterminer la force électrique qui s’exerce sur un cylindre droit illimité, de base S et d’axe Ox.
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Christian MAIRE
 EduKlub S.A.
Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la
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Physique
ELECTROMAGNETISME
EXERCICE D’ORAL
• CORRIGE :
« Force électrique s’exerçant sur un demi-espace chargé »
1) • symétries : les plans xOz et xOy sont plans de symétrie ⇒ le champ électrique appartient à
l’intersection de ces plans ⇒ le champ est porté par Ox.
• invariances : la distribution de charges étant invariante par translation selon Oy et Oz, le
champ ne dépend que de la variable x ; en résumé :
"
"
E = E ( x )ex
• l’équation de Maxwell-Gauss fournit :
" dE
ρ exp(− x / a )
ρa
divE = x = 0
⇒ Ex ( x) = − 0 exp(− x / a) + C
dx
ε0
ε0
(où C est une cste d’intégration)
• Lorsque a tend vers zéro, la distribution volumique réelle de densité
ρ est équivalente à
une distribution surfacique de densité σ ; la conservation de la charge dans un cylindre droit
illimité, d’axe Ox, de section S et dans un disque de même section conduit à :
∞
σ × S = S × ∫ ρ 0 exp(− x / a )dx = − S ρ 0 a × [exp(− x / a)]0∞
0
⇒
σ = ρ0a
Rq : pour que la charge totale dans le cylindre reste constante, il faut que le produit
ρ 0 a reste
σ reste finie et constante).
σ
ρa
= 0 ; il vient donc :
• On connaît le champ créé par un plan illimité chargé, soit : E plan =
2ε 0 2ε 0
constant (ainsi, dans la distribution équivalente,
ρa
ρ0 a
ρa
= C − lim 0 exp(− x / a) (avec ρ 0 a =cste) ⇒ C = 0 ⇒
→
0
a
2ε 0
2ε 0
ε0
Ex ( x ) =
ρ0 a
[1/ 2 − exp(− x / a )]
ε0
2) La force électrique totale s’exerçant sur le cylindre défini dans l’énoncé se calcule par :
"
∞
∞
E (∞)
dE ( x)
"
"
"
"
× E ( x)dxex = S ε 0 ∫
F = ∫∫∫ dqE ( x)ex = ∫ S ρ ( x) E ( x)dxex = ∫ Sε 0 ×
E × dEex ; d’où :
cyl
E
o
0
0
(
)
dx
" "
" ε S
ρa
"
F = 0 [ E 2 (∞) − E 2 (0)]ex ; or : E (∞) = 0 = − E (0) ⇒ F = 0
2
2ε 0
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