Cours Terminale S

Cours Terminale S 2012
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Terminale S
Cours Calculatrices
ROC
ROC Probabilités
Probabilités
Cours Terminale S
Calculs des Probabilités
Sommaire
1.
Evénement « A et B » , Evénement « A ou B » : Intersection et
réunion d’événements
1.1. Définitions
2.
Probabilité de la réunion
2.1. Propriété
R.O.C. 1504
3.
Probabilité de l’événement contraire
3.1. Définition
3.2. Propriété
R.O.C. 1505
4.
Applications
4.1. Calculer des probabilités d’événements
4.2. Utiliser l’événement contraire
4.3. Exercices d’applications
5.
Exercices d’approfondissement
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1. Evénement « A et B » , Evénement « A ou B » : Intersection et réunion d’événements
1.1. Définitions
Définitions
 L’événement
(lire « A inter B » ) est formé des
issues qui réalisent à la fois l’événement A et l’événement B.
E
B
A
A∩B
 Lorsqu’aucune issue ne réalise A et B, c’est à dire lorsque
, on dit que A et B sont deux événements
incompatibles.
E
B
A
A∩B=∅
 L’événement
(lire « A union B » ) est formé des
issues qui réalisent l’événement A ou l’événement B.
E
B
A
A
B
2. Probabilité de la réunion
2.1. Propriété
Propriété
Une loi de probabilité est définie sur un ensemble E.
Pour tous les événements A et B,
(
)
( )
Cas particulier
Si A et B sont deux événements incompatibles alors
(
)
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( )
(
)
( )
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Démonstration
R.O.C. 1504
 Cas où
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités
des issues qui le réalisent,
Donc
(
)
( )
E
( )
B
A
A∩B=∅
 Cas où
(
On en posant
avec
)
(
E
( )
)
A1
( )
On a
et
B
A
.
A∩B
Comme la probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des issues qui le réalisent,
d’après (2) on déduit que
(
)
(
)
( )
( )
de même d’après (1) on déduit que
( )
et
(
(
)
)
(
)
( )
(
).
En substituant (en remplaçant) dans (3)
(
)
( )
(
)
on obtient
(
)
( )
(
ou encore
(
)
( )
( )
( )
)
(
)
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3. Probabilité de l’événement contraire
3.1. Définition
Définitions
Soit A un événement. L’événement contraire de A est formé
des issues de E qui ne réalisent pas A.
On note ̅ l’événement contraire de A.
E
A
̅
3.2. Propriété
Propriété
Une loi de probabilité est définie sur un ensemble E.
La probabilité de l’événement contraire de A est donnée par
(̅)
( ).
Démonstration
R.O.C. 1505
Soit A, un événement de E et soit ̅ l’événement contraire de A.
̅
Donc
( )
̅
et
Or d’après la propriété de la probabilité de la réunion
(
)
( )
( )
(
)
̅
̅
̅
(
)
( )
( )
Donc
(
)
̅
Comme
̅)
alors
(
̅)
(
( )
(̅)
donc
( )
̅
Or d’après (1)
̅)
(
( )
donc
( )
Des égalités (2) et (3) on déduit
( )
(̅)
( )
Comme E est l’événement certain de probabilité
( )
Donc
( )
(̅)
D’où
(̅)
( )
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4. Applications
4.1. Calculer des probabilités d’événements
Enoncé
Dans un club, plusieurs activités sont proposées dont le tir à l’arc et le golf.
Parmi les 50 adhérents, 30 pratiquent le tir à l’arc, 18 le golf et 6 pratiquent les deux sports.
Quelle est la probabilité pour qu’un adhérent choisi au hasard :
a) pratique le tir à l’arc ?
b) pratique le golf ?
c) pratique l’un au moins des deux sports ?
d) ne pratique ni le tir à l’arc ni le sport ?
Solution :
Définissons une loi de probabilité de cette expérience et calculons les probabilités des événements.
L’expérience consiste à choisir un adhérent au hasard et noter l’activité pratiquée par cet adhérent.
L’ensemble des 50 adhérents du club est représenté par l’ensemble E à 50 issues.
Le choix étant au hasard, chaque issue de E à une probabilité
On définit donc sur E, la loi équirépartie de probabilité
.
.
E
A∪G
G
A
A∩G
a) Soit l’événement A : « l’adhérent choisi au hasard pratique le tir à l’arc »
donc
( )
soit
( )
La probabilité que l’adhérent choisi au hasard pratique le tir à l’arc est
.
b) Soit l’événement G : « l’adhérent choisi au hasard pratique le golf »
donc
( )
soit
( )
La probabilité que l’adhérent choisi au hasard pratique le tir à l’arc est
.
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c) Soit l’événement « l’adhérent choisi au hasard pratique l’un des deux sport au moins »
Cet événement est réalisé si l’adhérent pratique le tir à l’arc ou le golf ou les deux sports ;
il s’agit de l’événement A U G.
(
Donc
)
(
soit
Calculons
Comme
( )
(
( )
)
(
)
(
)
)
est l’événement
donc
D’où
(
)
(
)
(
)
(
)
La probabilité que l’adhérent choisi au hasard pratique l’un des deux sports au moins est
d) Soit l’événement N : « l’adhérent choisi au hasard ne pratique ni le tir à l’arc, ni le golf ».
L’événement contraire de N est
̅ « l’adhérent choisi au hasard pratique l’un des deux sports au moins »
Donc
̅
Et comme
( )
( ̅)
alors
( )
(
soit
( )
Enfin
( )
)
La probabilité que l’adhérent choisi au hasard ne pratique ni le tir à l’arc, ni le golf est
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4.2. Utiliser l’événement contraire
Enoncé
On lance deux dés équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6, l’un rouge et l’autre vert.
Calculer la probabilité de l’événement
A : « les deux faces sont différentes »
Solution
L’expérience consiste à lancer deux dés, un vert et un rouge, et noter le numéro de la face supérieure.
Les issues de l’expérience est l’ensemble E formé de couple (R ; V) où R est le numéro porté par la face
supérieure du dé rouge et V celui du dé vert. L’ensemble E est donc formé de 36 couples.
Les deux dés étant équilibrés, on choisit donc la loi équirépartie sur E de probabilité p =
Soit l’événement D : « lest deux faces sont différentes ».
L’événement contraire de D est
̅ « les deux faces sont identiques »
Donc
(̅)
( )
Or l’événement ̅ est réalisé si les faces supérieures des deux dés sont identiques,
donc
̅
{(
) (
) (
) (
) (
) (
)}
(̅)
et
(̅)
D’où
( )
soit
( )
La probabilité que les deux faces soient différentes est
.
4.3. Exercices d’applications 22 à 28 p 226
5.
Exercices d’approfondissement
ROC : Probabilités
ROC 1501
ROC 1502
ROC 1503
ROC 1504
ROC 1505
La loi équirépartie : propriété
Probabilité d’un événement dans le cas d’une loi équirépartie
Probabilité d’un événement dans le cas d’une loi équirépartie
Probabilité de la réunion : Propriété
Probabilité de l’événement contraire : propriété
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ROC 1501
R.O.C. Loi équirépartie
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calculatrice
0PEN 0
Prérequis :
1. E est l’ensemble des n issues d’une expérience aléatoire.
Propriété : La somme des probabilités de toutes les issues d’une expérience aléatoire est égale à 1.
2. Définir une loi de probabilité sur E, c’est associer à chaque issue un nombre , positif ou nul de façon
que
. Ce nombre est appelé probabilité de l’issue .
Enoncé :
1. Enoncer et démontrer la loi équirépartie sur un ensemble E d’une expérience aléatoire comprenant n
issues.
Démonstration
1) loi équirépartie : Définition - propriété
Dans le cas où l’on associe à chacune des n issues d’une expérience aléatoire la même probabilité
, on parle
.
de loi équirépartie. On a alors
2) Démontrons que
En effet la somme des probabilités de toutes les issues étant 1, prérequis 2, on a
.
Comme il s’agit d’une loi équirépartie, la probabilité de chaque issu est .
On en déduit donc que la somme des probabilités de toutes les issues de E est
⏟
= 1,
Soit
D’où
.
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ROC 1502
R.O.C. Probabilité d’un événement dans le cas d’une loi équirépartie
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0PEN 0
Prérequis :
1. Définition de la probabilité d’un événement : Une loi de probabilité est définie sur un ensemble E. La
probabilité d’un événement A est la somme des probabilités des issues qui le réalisent.
On la note ( )
2. Définition-propriété d'une loi de probabilité :
Dans le cas où l’on associe à chacune des issues d’une expérience aléatoire la même probabilité , on
.
parle de loi équirépartie. On a alors
Enoncé :
Soit une loi d’équiprobabilité définie sur un ensemble E à
issues par la probabilité de chaque issue
.
On considère un événement A dans E et soit le nombre d’issues qui réalisent A.
Démontrer la propriété suivante :
Dans le cas d’une loi équirépartie, la probabilité d’un événement A est donnée par :
( )
.
Démonstration
Soit la loi d’équiprobabilité définie sur E et A un événement dans E.
Soit le nombre d’issues de l’expérience dans E ; et soit
le nombre d’issues qui réalisent l’événement A.
Démontrons que
( )
En effet, la loi définie sur E est une loi d’équiprobabilité, la probabilité de chaque issue est donc d’après le
prérequis 2 :
Si
est le nombre d’issues de l’expérience et
le nombre d’issues qui réalisent A, alors d’après le prérequis 1, la probabilité de A est la somme des probabilités de chaque issue qui réalise A ; la probabilité de
l’événement A est donc :
( )
Soit
( )
C’est à dire
( )
⏟
.
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ROC 1503
R.O.C. Probabilité d’un événement dans le cas d’une loi équirépartie
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Prérequis :
1. E est l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. Un événement A est une partie de E.
2. Définir une loi de probabilité sur E, c’est associer à chaque issue un nombre , positif ou nul de façon
que
. Ce nombre est appelé probabilité de l’issue .
3. Une loi de probabilité est définie sur un ensemble E. La probabilité d’un événement A est la somme des
probabilités des issues qui réalisent cet événement. On la note p(A).
Enoncé :
1. Dans le cas où l’on associe à chacune des issues d’une expérience aléatoire la même probabilité , on
parle de loi équirépartie.
Démontrer que
.
2. Enoncer et démontrer la loi équirépartie d’un évènement A.
Démonstration
1. Démontrons que
En effet la sommes des probabilités de toutes les issues étant 1, prérequis 2, on a
.
Comme il s’agit d’une loi équirépartie, la probabilité de chaque issu est .
On en déduit donc que la somme des probabilités de toutes les issues de E est
⏟
=1,
Soit
D’où
.
2. Loi équirépartie : propriété
Dans le cas d’une loi équirépartie, la probabilité d’un événement A est donnée par :
( )
On dit souvent dans ce cas
( )
Démontrons que
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( )
Soit E un ensemble de issues d’une expérience aléatoire. Soit A un événement de dans E et soit
nombre d’issues qui réalisent A.
le
La loi associée à cette expérience est une loi équirépartie, donc d’après la question précédente, la probabilité
de chaque issue de A est
.
Or d’après le prérequis 3, la probabilité d’un événement A est la somme des probabilités des issues qui le
réalisent.
Donc la probabilité de l’événement A est
( )
soit
⏟
( )
.
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ROC 1504
R.O.C. ROC Probabilité de la réunion : Propriété
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Prérequis :
Définition de la probabilité d’un événement : Une loi de probabilité est définie sur un ensemble E. La
probabilité d’un événement A est la somme des probabilités des issues qui le réalisent. On la note ( ).
Enoncé :
Une loi de probabilité est définie sur un ensemble E. Démontrer la propriété suivante :
Pour tous les événements A et B ,
(
)
( )
( )
(
)
Dans le cas où A et B sont deux événements incompatibles alors
(
)
( )
( )
Démonstration
 Cas où
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités
des issues qui le réalisent,
Donc
(
)
( )
E
( )
B
A
A∩B=∅
 Cas où
(
On en posant
avec
)
(
E
( )
)
A1
( )
donc
B
A
et
.
A∩B
Comme la probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des issues qui le réalisent,
d’après (2) on déduit que
(
de même d’après (1) on déduit que
donc
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)
( )
(
(
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( )
(
( )
)
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et
(
)
( )
(
)
En substituant (en remplaçant) dans (3)
(
)
( )
(
)
n obtient
(
)
( )
(
ou encore
(
)
( )
( )
( )
)
(
)
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ROC 1505
R.O.C. Probabilité de l’événement contraire : propriété
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Prérequis :
1. Définition de la probabilité de la réunion : Une loi de probabilité est définie sur un ensemble E. Pour tous
les événements A et B ,
(
)
( )
( )
(
)
Dans le cas où A et B sont deux événements incompatibles alors
(
)
( )
( )
2. Définition-propriété :
E est l’événement certain de probabilité 1.
L’événement impossible est l’événement qui n’est pas réalisé dans E, sa probabilité est nulle.
Enoncé :
Une loi de probabilité est définie sur un ensemble E. Soit A un événement de E.
Démontrer que la probabilité de l’événement contraire de A est donnée par
(̅)
( ).
Démonstration
Soit A, un événement de E et soit ̅ l’événement contraire de A.
̅
Donc
( )
̅
et
Or d’après la propriété de la probabilité de la réunion
(
)
( )
( )
(
)
̅)
̅)
(
( )
(̅)
Donc
(
̅
Comme
̅)
alors
(
̅)
(
( )
(̅)
donc
( )
̅
Or d’après (1)
̅)
(
( )
donc
( )
Des égalités (2) et (3) on déduit
( )
(̅)
( )
Comme E est l’événement certain de probabilité
( )
Donc
( )
(̅)
D’où
(̅)
( )
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