Semaine de colles n°24 du 02/05/17 au 05/05/17

Programme Colles
PCSI 3 – 2016/17
Semaine de colles n°24 du 02/05/17 au 05/05/17
DU
PROGRAMME PRÉCÉDENT
∙ Probabilités sur un univers fini
I – Expérience aléatoire, univers et événements
Définitions, événements élémentaires, événements contraires, événement « A et B », événement « A ou B »,
Événements incompatibles, système complet d’événements.
:
∙ Espaces vectoriels et familles de vecteurs
∙ Polynômes
I – L’ensemble K [X] où K = ℝ ou ℂ
Définition formelle, degré, coefficient dominant, polynômes unitaires.
Opérations sur l’ensemble des polynômes : structure d’ev., multiplication de deux polynômes, composition.
Notation usuelle des polynômes.
Kn[X] sev. de K[X] de base canonique (1, X, … , Xn).
Toute famille finie de polynômes non nuls et de degrés échelonnés est libre. (*)
Fonction polynomiale associée à un polynôme.
II – Dérivation dans K[X]
Définition, propriétés, expression de la dérivé kième d’un polynôme.
Formule de Leibniz et formule de Taylor pour les polynômes.
III – Divisibilité dans K[X]
Multiples et diviseurs d’un polynôme, division euclidienne, exemple pratique.
Rq. Une question de cours pourra être un exemple pratique de division euclidienne (*)
Rq. Il faut savoir déterminer le reste d’une division euclidienne. Cf. ex 14. (*)
IV – Racines d’un polynôme
Définition par divisibilité et caractérisation.
Tout polynôme de degré n ≥ 0 possède au plus n racines distinctes.
Si un polynôme de degré ≤ n admet au moins n + 1 racines distinctes, c’est le polynôme nul.
Ordre de multiplicité d’une racine : définition par divisibilité et caractérisation.
Un polynôme de degré n ≥ 0 possède au plus n racines, comptées avec leur multiplicité.
Si un polynôme de degré ≤ n admet au moins n + 1 racines, comptées avec leur multiplicité, c’est le polynôme nul.
II – Probabilités sur un univers fini
Définition d’une probabilité.
Probabilité d’une union d’événements deux à deux incompatibles.
Détermination d’une probabilité par les images des événements élémentaires.
Évènements équiprobables, probabilité uniforme.
Propriétés d’une probabilité :
Prop.
Soit (Ω, P) un espace probabilisé fini. On a :
1. ∀ (A, B) ∈ P(Ω)2, P(A \ B) = P (A ∩ B ) = P (CAB) = P(A) – P(A ∩ B)
2. ∀ A ∈ P(Ω), P( A ) = 1 – P(A)
3. Croissance. ∀ (A, B) ∈ P(Ω)2, A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
4. Réunion. ∀ (A, B) ∈ P(Ω)2, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) (Formule de Poincaré)
Rq. la formule du crible est HP mais il faut savoir retrouver la formule donnant P(A ∪ B ∪ C). (*)
III – Probabilités conditionnelles
Définition d’une probabilité conditionnelle, l’application PB est une probabilité sur Ω.
Formule des probabilités composées. (*)
Formule des probabilités totales.
Formule de Bayes (*)
IV – Événements indépendants
Couple d’événements indépendants, Si A et
B sont indépendants alors A et B sont indépendants.
Famille d’événements mutuellement indépendants
Si n ≥ 3, l’indépendance des Ai deux à deux n’entraine pas leur indépendance mutuelle.
Rq aux interrogateurs : Nous avons pour l’instant fait très peu d’exercices sur ce dernier chapitre.
(*) Démonstrations / Méthodes à connaître et TOUT le cours est à connaître !
NOUVEAU
COURS
:
Prévisions semaine n° 25 : Applications linéaires
∙ Polynômes
V – Factorisation dans ℂ[X] et ℝ[X]
Polynômes irréductibles, th. de D’Alembert-Gauss, polynômes irréductibles de ℂ[X] et de ℝ[X].
Factorisation dans ℂ[X] et dans ℝ[X].
n −1
Ex. de factorisations dans ℝ[X] et ℂ[X] : X – 1 (*)
n
et
∑X
Déroulement d’une colle
k
k =0
VI – Somme et produit des racines d’un polynôme
Savoir retrouver les relations coefficients/racines pour un polynôme de degré 3. (*)
1. Question de cours sur le chapitre « Probabilités sur un univers fini » :
Démonstrations signalées par (*) ou citer un/des définitions, propriétés,… du cours.
2. Question de cours sur le chapitre « Les polynômes »
Somme et produit des racines d’un pour P scindé sur K de degré n ≥ 1. (*)
3. Exercice(s) aux choix de l‘interrogateur. La liste des exercices à savoir refaire est donnée ci-dessous mais
l’interrogateur a le choix de poser ou non un exercice de cette liste.
Une question de « cours » (points 1 et 2) non connue entraine une note < 10.
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PCSI 3 – 2016/17
Semaine de colles n°24 du 02/05/17 au 05/05/17 – Exercices à savoir refaire
Exercice 28 :
Exercices Chap. 18 à savoir refaire
Exercice 30 :
Trouver tous les polynômes P ∈ ℝ[X] vérifiant : P(0) = 1, P(1) = 0, P′(0) = 0 et P′(1) = 1.
2. Déterminer tous les polynômes P ∈ ℝ5[X] tel que P + 1 soit divisible par (X – 1)3 et P – 1 soit divisible par (X + 1)3.
Il faut savoir :
• Connaitre les propriétés de calcul du degré et les exploiter lors de la recherche de polynôme.
• Déterminer le reste d’une division euclidienne.
~
Soit P ∈ ℝ[X], de degré n ≥ 2. On notera P sa fonction polynomiale associée.
Exercice 3 :
Soit n ∈ ℕ*. Déterminer le degré et le coefficient dominant de Pn = (X2 + 1)2n – (X2 – 1)2n.
Exercice 4 :
Déterminer l’ensemble des polynômes P ∈ ℝ[X] tels que : P(X2) = (X2 + 1)P(X).
1. Montrer que si P est scindé à racines simples sur ℝ alors il en est de même pour son polynôme dérivé P′.
2. Montrer que si P est scindé sur ℝ, son polynôme dérivé P′ est aussi scindé sur ℝ.
Exercice 36 :
2. Factoriser P2 = X6 + 2X4 + 2X2 + 1 dans ℝ[X].
4. Factoriser P4 = (X2 – X + 1)2 + 1dans ℂ[X] puis dans ℝ[X].
Exercice 5 :
Trouver tous les polynômes de ℝ[X] vérifiant (X2 – 1)P′′ – 6P = 0.
Exercice 8 :
Soit E = ℝ5[X]. On considère : F = {P ∈ E, P(1) = P'(0) = P( – 1) = 0} et G = Vect(X2, X(X + 1), (X + 1)2).
1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de E.
2. A-t-on E = F ⊕ G ?
Exercice 36 Bis :
On considère le polynôme : Pn = (X + 1)n – (X – 1)n avec n ∈ ℕ*.
cos x
1. Étudier la fonction cotangente définie par : cotan : x →
.
sin x
2. Déterminer le degré et le coefficient dominant du polynôme Pn.
3. Démontrer que Pn admet n – 1 racines réelles, deux à deux distinctes.

En déduire la factorisation de Pn dans ℂ[X].
Exercice 9 :
Soit n ∈ ℕ\{0, 1, 2} et F = { P ∈ ℝn[X], P(0) = P′(0) = P′′(0) }.
1. Montrer que F est un espace vectoriel de dimension finie et en déterminer une base de F.
2. Déterminer un supplémentaire de F dans ℝn[X].
Exercice 11 :
Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, (X k (1 − X)n − k )0 ≤ k ≤ n est une famille libre dans ℝ[X].
Exercice 12 :
Montrer que, pour tout n ∈ℕ*, (x
Exercice 32 :
→

cosp(x)) p ∈
0, n
est une famille libre dans ℝℝ.
Exercice 14 :
Déterminer le reste des divisions euclidiennes suivantes dans ℝ[X] :
1. A = Xn par B = X2 – 3X + 2 avec n ≥ 2
2. A = Xn par B = X(X – 1)2 avec n ≥ 3
3. A = (X cos θ + sin θ)n par B = X2 + 1 avec n ≥ 2 et θ ∈ ℝ.
Exercice 15 :
Soit n ∈ ℕ\{0, 1, 2, 3} et P = Xn – 1. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur n pour que X4 – 1 divise P.
Exercice 18 :
Soit n ≥ 1et P = n Xn + 1 – (n + 1)aXn + an + 1 où a est un réel fixé. Montrer que P est divisible par (X – a)2 et donner le quotient.
Exercice 22 : Une application aux matrices.
7 5
On considère : A = 
.
 −6 −4 
1. Calculer A2 – 3A + 2I2.
2. Soit n ≥ 2. Déterminer le reste de la division euclidienne du polynôme Xn par X2 – 3X + 2.
3. En déduire, An pour n ≥ 2.
4. Factoriser Pn dans ℝ[X].