Semaine de colles n°24 du 02/05/17 au 05/05/17

Programme Colles PCSI 3 – 2016/17
Semaine de colles n°24 du 02/05/17 au 05/05/17
D
U PROGRAMME PRÉCÉDENT :
∙ Espaces vectoriels et familles de vecteurs
∙ Polynômes
I – L’ensemble K [X] où K = ℝ ou ℂ
Définition formelle, degré, coefficient dominant, polynômes unitaires.
Opérations sur l’ensemble des polynômes : structure d’ev., multiplication de deux polynômes, composition.
Notation usuelle des polynômes.
K
n
[X] sev. de K[X] de base canonique (1, X, … , X
n
).
Toute famille finie de polynômes non nuls et de degrés échelonnés est libre. (*)
Fonction polynomiale associée à un polynôme.
II – Dérivation dans K[X]
Définition, propriétés, expression de la dérivé k
ième
d’un polynôme.
Formule de Leibniz et formule de Taylor pour les polynômes.
III – Divisibilité dans K[X]
Multiples et diviseurs d’un polynôme, division euclidienne, exemple pratique.
Rq. Une question de cours pourra être un exemple pratique de division euclidienne (*)
Rq. Il faut savoir déterminer le reste d’une division euclidienne. Cf. ex 14. (*)
IV – Racines d’un polynôme
Définition par divisibilité et caractérisation.
Tout polynôme de degré n ≥ 0 possède au plus n racines distinctes.
Si un polynôme de degré ≤ n admet au moins n + 1 racines distinctes, c’est le polynôme nul.
Ordre de multiplicité d’une racine : définition par divisibilité et caractérisation.
Un polynôme de degré n ≥ 0 possède au plus n racines, comptées avec leur multiplicité.
Si un polynôme de degré ≤ n admet au moins n + 1 racines, comptées avec leur multiplicité, c’est le polynôme nul.
N
OUVEAU COURS :
∙ Polynômes
V – Factorisation dans ℂ[X] et ℝ[X]
Polynômes irréductibles, th. de D’Alembert-Gauss, polynômes irréductibles de ℂ[X] et de ℝ[X].
Factorisation dans ℂ[X] et dans ℝ[X].
Ex. de factorisations dans ℝ[X] et ℂ[X] : X
n
– 1 (*) et
1
0
X
nk
k
−
=
∑
VI – Somme et produit des racines d’un polynôme
Savoir retrouver les relations coefficients/racines pour un polynôme de degré 3. (*)
Somme et produit des racines d’un pour P scindé sur K de degré n ≥ 1. (*)
∙ Probabilités sur un univers fini
I – Expérience aléatoire, univers et événements
Définitions, événements élémentaires, événements contraires, événement « A et B », événement « A ou B »,
Événements incompatibles, système complet d’événements.
II – Probabilités sur un univers fini
Définition d’une probabilité.
Probabilité d’une union d’événements deux à deux incompatibles.
Détermination d’une probabilité par les images des événements élémentaires.
Évènements équiprobables, probabilité uniforme.
Propriétés d’une probabilité :
Prop.
Soit (
Ω
, P) un espace probabilisé fini. On a :
1. ∀ (A, B) ∈ P(Ω)
2
, P(A \ B) = P (A ∩ B ) = P (C
A
B) = P(A) – P(A ∩ B)
2. ∀ A ∈ P(Ω), P(
A ) = 1 – P(A)
3. Croissance. ∀ (A, B) ∈ P(Ω)
2
, A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
4. Réunion. ∀ (A, B) ∈ P(Ω)
2
, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) (Formule de Poincaré)
Rq. la formule du crible est HP mais il faut savoir retrouver la formule donnant
P(A ∪ B ∪ C). (*)
III – Probabilités conditionnelles
Définition d’une probabilité conditionnelle, l’application P
B
est une probabilité sur Ω.
Formule des probabilités composées. (*)
Formule des probabilités totales.
Formule de Bayes
(*)
IV – Événements indépendants
Couple d’événements indépendants, Si A et B sont indépendants alors A et B sont indépendants.
Famille d’événements mutuellement indépendants
Si n ≥ 3, l’indépendance des A
i
deux à deux n’entraine pas leur indépendance mutuelle.
Rq aux interrogateurs : Nous avons pour l’instant fait très peu d’exercices sur ce dernier chapitre.
(*) Démonstrations / Méthodes à connaître et TOUT le cours est à connaître !
Prévisions semaine n° 25 : Applications linéaires
Déroulement d’une colle
1. Question de cours sur le chapitre « Probabilités sur un univers fini » :
Démonstrations signalées par (*) ou citer un/des définitions, propriétés,… du cours.
2. Question de cours sur le chapitre « Les polynômes »
3. Exercice(s) aux choix de l‘interrogateur. La liste des exercices à savoir refaire est donnée ci-dessous mais
l’interrogateur a le choix de poser ou non un exercice de cette liste.
Une question de « cours » (points 1 et 2) non connue entraine une note < 10.

Programme Colles PCSI 3 – 2016/17
Semaine de colles n°24 du 02/05/17 au 05/05/17 – Exercices à savoir refaire
Exercices Chap. 18 à savoir refaire
Il faut savoir :
• Connaitre les propriétés de calcul du degré et les exploiter lors de la recherche de polynôme.
• Déterminer le reste d’une division euclidienne.
Exercice 3 :
Soit n ∈ ℕ
*
. Déterminer le degré et le coefficient dominant de P
n
= (X
2
+ 1)
2n
– (X
2
– 1)
2n
.
Exercice 4 :
Déterminer l’ensemble des polynômes P ∈ ℝ[X] tels que : P(X
2
) = (X
2
+ 1)P(X).
Exercice 5 :
Trouver tous les polynômes de ℝ[X] vérifiant (X
2
– 1)P′′ – 6P = 0.
Exercice 8 :
Soit E = ℝ
5
[X]. On considère : F = {P ∈ E, P(1) = P'(0) = P( – 1) = 0} et G = Vect(X
2
, X(X + 1), (X + 1)
2
).
1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de E.
2. A-t-on E = F ⊕ G ?
Exercice 9 :
Soit n ∈ ℕ\{0, 1, 2} et F = { P ∈ ℝ
n
[X], P(0) = P′(0) = P′′(0) }.
1. Montrer que F est un espace vectoriel de dimension finie et en déterminer une base de F.
2. Déterminer un supplémentaire de F dans ℝ
n
[X].
Exercice 11 :
Montrer que, pour tout n ∈ ℕ,
0
(X (1 X) )
k n k
k n
−
≤ ≤
−
est une famille libre dans ℝ[X].
Exercice 12 :
Montrer que, pour tout n ∈ℕ
*
, (x
→
cos
p
(x))
p ∈
0, n
est une famille libre dans ℝ
ℝ
.
Exercice 14 :
Déterminer le reste des divisions euclidiennes suivantes dans ℝ[X] :
1. A = X
n
par B = X
2
– 3X + 2 avec n ≥ 2
2. A = X
n
par B = X(X – 1)
2
avec n ≥ 3
3. A = (X cos θ + sin θ)
n
par B = X
2
+ 1 avec n ≥ 2 et θ ∈ ℝ.
Exercice 15 :
Soit n ∈ ℕ\{0, 1, 2, 3} et P = X
n
– 1. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur n pour que X
4
– 1 divise P.
Exercice 18 :
Soit n ≥ 1et P = n X
n + 1
– (n + 1)aX
n
+ a
n + 1
où a est un réel fixé. Montrer que P est divisible par (X – a)
2
et donner le quotient.
Exercice 22 : Une application aux matrices.
On considère : A =
7 5
6 4
− −
.
1. Calculer A
2
– 3A + 2I
2
.
2. Soit n ≥ 2. Déterminer le reste de la division euclidienne du polynôme X
n
par X
2
– 3X + 2.
3. En déduire, A
n
pour n ≥ 2.
Exercice 28 :
Trouver tous les polynômes P ∈ ℝ[X] vérifiant : P(0) = 1, P(1) = 0, P′(0) = 0 et P′(1) = 1.
Exercice 30 :
2. Déterminer tous les polynômes P ∈ ℝ
5
[X] tel que P + 1 soit divisible par (X – 1)
3
et P – 1 soit divisible par (X + 1)
3
.
Exercice 32 :
Soit P ∈ ℝ[X], de degré n ≥ 2. On notera
~
P
sa fonction polynomiale associée.
1. Montrer que si P est scindé à racines simples sur ℝ alors il en est de même pour son polynôme dérivé P′.
2. Montrer que si P est scindé sur ℝ, son polynôme dérivé P′ est aussi scindé sur ℝ.
Exercice 36 :
2. Factoriser P
2
= X
6
+ 2X
4
+ 2X
2
+ 1 dans ℝ[X].
4. Factoriser P
4
= (X
2
– X + 1)
2
+ 1dans ℂ[X] puis dans ℝ[X].
Exercice 36 Bis :
On considère le polynôme : P
n
= (X + 1)
n
– (X – 1)
n
avec n ∈ ℕ
*
.
1. Étudier la fonction cotangente définie par : cotan : x
→
cos x
sin x.
2. Déterminer le degré et le coefficient dominant du polynôme P
n
.
3. Démontrer que P
n
admet n – 1 racines réelles, deux à deux distinctes.
En déduire la factorisation de P
n
dans ℂ[X].
4. Factoriser P
n
dans ℝ[X].