1 Généralités

Les fonctions de la variable r´eelle
1 G´en´eralit´es
1.1 Fonctions, applications, ensemble de d´efinition, restriction
1.1.1 Fonctions, applications
On rappelle qu’une fonction fd’un ensemble Avers un ensemble Bpermet de faire correspondre `a tout ´el´ement
de Aau plus un ´el´ement de B.
Lorsque tout ´el´ement de l’ensemble de d´epart a une image, on parle d’application.
1.1.2 Ensemble de d´efinition
L’ensemble des ´el´ements de Aqui ont une image par fs’appelle l’ensemble de d´efinition.
Pour d´eterminer l’ensemble de d´efinition d’une fonction f:R→R, on rappelle que
∗Les d´enominateurs doivent ˆetre non nuls,
∗les arguments des racines carr´ees doivent ˆetre positifs,
∗les arguments des logarithmes doivent ˆetre strictement positifs.
1.1.3 Restriction
Une fonction f:A→Best caract´eris´ee par les trois ´el´ements suivants :
∗l’ensemble de d´epart A,
∗l’ensemble d’arriv´ee Bet
∗la correspondance x7→ f(x).
Si un seul de ces trois ´el´ements est modifi´e, la fonction est modifi´ee.
En particulier, si l’on remplace l’ensemble de d´epart Apar une partie Xde A, on dit qu’on restreint f`a X. La
nouvelle fonction s’appelle la restriction de f`a Xet se note f|X.
En particulier, la restriction d’une fonction `a son ensemble de d´efinition est une application.
1.2 Repr´esentations
1.2.1 D´efinition
Le plan ´etant muni d’un rep`ere (orthonorm´e) (O;~ı,~), la repr´esentation graphique ou courbe repr´esentative d’une
fonction f:R→Rest l’ensemble des points Mde coordonn´ees (x,y) o`u xappartient `a l’ensemble de d´efinition
de fet y=f(x).
1.2.2 Transformations g´eom´etriques
1.2.3 Transformations g´eom´etriques
Exercice 1
Soit fune fonction de Rdans R.
Comment obtient-on les repr´esentations graphiques de
∗x7→ f(x) + b?
∗x7→ f(x−a)?
∗x7→ f(−x)?
∗x7→ af(x)?
∗x7→ f(ax)?
1

1.3 Invariances
1.3.1 Parit´e, imparit´e, p´eriodicit´e
Rappels : Soit f:R→Rune fonction et Def son ensemble de d´efinition.
∗fest dite paire lorsque ∀x∈Def,−x∈Def et f(−x) = f(x).
∗fest impaire lorsque ∀x∈Def,−x∈Def et f(−x) = −f(x).
∗Pour T > 0, T ∈R,fest dite T-p´eriodique lorsque ∀x∈Def, x +T∈Def et f(x+T) = f(x).
1.3.2 Cons´equences pour les courbes
Exercice 2
Comment la parit´e, l’imparit´e et la p´eriodicit´e se traduisent-elles pour les courbes repr´esentatives de la fonction?
1.3.3 Op´erations sur les fonctions
1.3.4 Op´erations alg´ebriques
Soient fet gdeux fonctions de Rdans R.
On d´efinit :
∗La somme : f+g:x7→ f(x) + g(x).
∗Le produit par un r´eel : Pour λ∈R, on pose : λf :x7→ λf(x).
∗L’inverse : 1/f :x7→ 1/f(x).
∗Le quotient : f/g :x7→ f(x)/g(x).
Exercice 3
Exprimer les ensembles de d´efinition de ces fonctions au moyen de ceux de fet g.
1.3.5 Composition
Rappel : Soient A, B, C trois ensembles. Pour f:A→Bet g:B→C, on d´efinit g◦f:A→Cpar
∀x∈A, g ◦f(x) = g(f(x)).
La notation ◦permet d’´eviter l’accumulation de parenth`eses.
Pratiquement, en posant y=f(x) et z=g(y), on peut dire que la grandeur zd´epend de yqui d´epend de x.
On retiendra que la composition est toujours associative : Pour f:A→B, g :B→Cet h:C→D, on a :
h◦(g◦f) = (h◦g)◦f.
Par contre, elle n’est g´en´eralement pas commutative.
Exercice 4
Dans les cas suivant, donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que g◦f=f◦g.
1. f(x) = ax +b, g(x) = cx +d, a, b, c, d r´eels.
2. f(x) = xn, g(x) = x+b, n ∈N, b ∈R
Exemples :
∗1/f est la compos´ee de fpar x7→ 1/x.
∗√fest la compos´ee de fpar la fonction racine carr´ee.
∗ln |f|est la compos´ee h◦g◦favec g:x7→ |x|et h= ln.
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1.3.6 Bijectivit´e, r´eciproque
Rappels :
Une application fd’un ensemble Avers un ensemble Best dite bijective lorsque :
∀y∈B, ∃!x∈A|y=f(x)
Avec la d´efinition pr´ec´edente, on note y=f−1(x) et l’application qui, `a tout ´el´ement y∈Bassocie son unique
ant´ec´edent est appel´ee bijection r´eciproque de fet not´ee f−1.
Si f:A→Bet g:B→Csont des bijections, alors g◦f:A→Cest une elle aussi et l’on a : (g◦f)−1=f−1◦g−1.
Lorsque fest une bijection d’un intervalle Ide Rsur un intervalle Jde R, si Cfd´esigne la courbe repr´esentative
de fdans un rep`ere orthonorm´e , alors la courbe repr´esentative de f−1est la sym´etrique de Cfpar rapport `a la
premi`ere bissectrice du rep`ere.
Exercice 5
1. Montrer rapidement que la restriction de sin `a I= [−π/2, π/2] est une bijection sur un intervalle qu’on
pr´ecisera.
2. Tracer sur un mˆeme sch´ema la courbe repr´esentative du sinus restreint `a I(en bleu) et la courbe repr´esentative
de sa r´eciproque.
3. Refaire le travail pr´ec´edent avec la fonction cosinus sur un intervalle contenant 0, inclus dans R+et le plus
grand possible.
1.4 Variations
Les fonctions consid´er´ees ici sont de Rdans R.
1.4.1 Fonctions monotones
D´efinitions :
Soit fune fonction de Rdans Ret Xune partie non vide de son ensemble de d´efinition Def.
On dit que fest :
∗croissante sur Xlorsque : ∀(x,x′)∈X2, x < x′⇒f(x)6f(x′).
Lorsque X= Def, on dit simplement que fest croissante.
∗d´ecroissante sur Xlorsque ∀(x,x′)∈X2, x < x′⇒f(x)>f(x′).
Lorsque X= Def, on dit simplement que fest d´ecroissante.
∗strictement croissante sur Xlorsque ∀(x,x′)∈X2, x < x′⇒f(x)< f (x′).
Lorsque X= Def, on dit simplement que fest strictement croissante.
∗strictement d´ecroissante sur Xlorsque ∀(x,x′)∈X2, x < x′⇒f(x)> f (x′).
Lorsque X= Def, on dit simplement que fest strictement d´ecroissante.
∗fest dite monotone sur Xlorsqu’elle est croissante sur Xou d´ecroissante sur X.
On a une d´efinition analogue pour les fonctions strictement monotones.
1.4.2 Taux de variations
Soit fune fonction de Rdans R., Def son ensemble de d´efinition.
Pour x, x′appartenant `a Def avec x6=x′, le taux de variations de fentre xet x′est le nombre
τf(x,x′) = f(x′)−f(x)
x′−x.
Interpr´etation :τf(x,x′) est la pente de la droite passant par les points M: (x,f(x)) et M′: (x′,f(x′)) de la
courbe repr´esentative de f.
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On observe que pour tous x, x′∈Def, on a τf(x,x′) = τf(x′,x).
Propri´et´e
Soit f:R→Ret Xune partie de son ensemble de d´efinition. On a les ´equivalences suivantes :
∗fest croissante si et seulement si pour tous x, x′∈Xtels que x6=x′:τf(x,x′)>0.
∗fest d´ecroissante si et seulement si pour tous x, x′∈Xtels que x6=x′:τf(x,x′)60.
∗fest strictement croissante si et seulement si pour tous x, x′∈Xtels que x6=x′:τf(x,x′)>0.
∗fes strictement d´ecroissante si et seulement si pour tous x, x′∈Xtels que x6=x′:τf(x,x′)<0.
Exercice 6
D´eterminer les variations d’un trinˆome du second degr´e f:x7→ ax2+bx +cen utilisant uniquement les taux de
variations.
1.4.3 Variations et op´erations
Exercice 7
Montrer les propri´et´es suivantes :
Soient fet gdeux fonctions d´efinies sur une mˆeme partie Xde R.
∗Si fet gsont monotones de mˆeme sens, alors f+gest monotone de mˆeme sens que les deux.
De plus si l’une des monotonies est stricte, alors f+gest strictement monotone.
∗Si fet gsont monotones de mˆeme sens et positives, alors f g est monotone de mˆeme sens.
∗Si fest monotone, ne s’annule pas et est de signe constant, alors 1/f est monotone de sens contraire `a celui
de f.
1.5 Fonctions et ordre
1.5.1 Comparaison des fonctions
D´efinitions : Soient fet gdeux fonctions d´efinies sur une mˆeme partie Xde R.
On dit que fest inf´erieure `a gsur Xou que fest major´ee par gsur Xlorsque ∀x∈X, f(x)6g(x).
On note alors f6g.
Graphiquement, cela signifie que la courbe repr´esentative de fest au-dessus de celle de g.
La relation ainsi d´efinie est une relation d’ordre partiel.
Cela signifie quelle est r´eflexive, transitive et antisym´etrique mais qu’il existe des fonctions que l’on ne peut com-
parer ; par exemple x7→ xet x7→ −xne sont pas comparables sur R.
Si fet gsont deux fonctions d´efinies sur une mˆeme partie Xde R, si gest `a valeurs positives, on dit que fest
major´ee en valeur absolue par gsur Xlorsque |f|6gou, ce qui revient au mˆeme, lorsque −g6f6g.
On d´efinit de mˆeme la notion de fonction minor´ee par une autre.
1.5.2 Fonctions major´ees, minor´ees, born´ees
D´efinitions
On dit qu’une fonction fest major´ee sur une partie Xde son ensemble de d´efinition lorsqu’elle est major´ee par
une fonction constante sur Xc’est-`a-dire lorsqu’il existe M∈Rtel que ∀x∈X, f(x)6M.
On d´efinit de mˆeme la notion de fonction minor´ee sur X.
Une fonction fest dite born´ee sur une partie Xde son ensemble de d´efinition lorsqu’elle y est `a la fois major´ee et
minor´ee ou, ce qui revient au mˆeme, lorsqu’elle est major´ee en valeur absolue c’est-`a-dire lorsqu’il existe M∈R+
tel que ∀x∈X, |f(x)|6M.
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Exercice 8
´
Etablir les propri´et´es suivantes :
∗Si fet gsont major´ees, alors f+gl’est aussi.
Peut-on en dire autant de f g ?
–fest major´ee si et seulement si −fest minor´ee.
∗Si fest minor´ee par un r´eel strictement positif, alors 1/f est major´ee.
La propri´et´e pr´ec´edente reste-t-elle valable si l’on enl`eve strictement?
– Si fet gsont born´ees alors f±get fg sont born´ees.
∗ ∗
∗
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