1 Généralités

Les fonctions de la variable réelle
1
Généralités
1.1
1.1.1
Fonctions, applications, ensemble de définition, restriction
Fonctions, applications
On rappelle qu’une fonction f d’un ensemble A vers un ensemble B permet de faire correspondre à tout élément
de A au plus un élément de B.
Lorsque tout élément de l’ensemble de départ a une image, on parle d’application.
1.1.2
Ensemble de définition
L’ensemble des éléments de A qui ont une image par f s’appelle l’ensemble de définition.
Pour déterminer l’ensemble de définition d’une fonction f : R → R, on rappelle que
∗ Les dénominateurs doivent être non nuls,
∗ les arguments des racines carrées doivent être positifs,
∗ les arguments des logarithmes doivent être strictement positifs.
1.1.3
Restriction
Une fonction f : A → B est caractérisée par les trois éléments suivants :
∗ l’ensemble de départ A,
∗ l’ensemble d’arrivée B et
∗ la correspondance x 7→ f (x).
Si un seul de ces trois éléments est modifié, la fonction est modifiée.
En particulier, si l’on remplace l’ensemble de départ A par une partie X de A, on dit qu’on restreint f à X. La
nouvelle fonction s’appelle la restriction de f à X et se note f |X .
En particulier, la restriction d’une fonction à son ensemble de définition est une application.
1.2
1.2.1
Représentations
Définition
Le plan étant muni d’un repère (orthonormé) (O;~ı,~), la représentation graphique ou courbe représentative d’une
fonction f : R → R est l’ensemble des points M de coordonnées (x,y) où x appartient à l’ensemble de définition
de f et y = f (x).
1.2.2
Transformations géométriques
1.2.3
Transformations géométriques
Exercice 1
Soit f une fonction de R dans R.
Comment obtient-on les représentations graphiques de
∗ x 7→ f (x) + b?
∗ x 7→ f (x − a)?
∗ x 7→ f (−x)?
∗ x 7→ af (x)?
∗ x 7→ f (ax)?
1
1.3
1.3.1
Invariances
Parité, imparité, périodicité
Rappels : Soit f : R → R une fonction et Def son ensemble de définition.
∗ f est dite paire lorsque ∀x ∈ Def, − x ∈ Def et f (−x) = f (x).
∗ f est impaire lorsque ∀x ∈ Def, − x ∈ Def et f (−x) = −f (x).
∗ Pour T > 0, T ∈ R, f est dite T -périodique lorsque ∀x ∈ Def, x + T ∈ Def et f (x + T ) = f (x).
1.3.2
Conséquences pour les courbes
Exercice 2
Comment la parité, l’imparité et la périodicité se traduisent-elles pour les courbes représentatives de la fonction?
1.3.3
Opérations sur les fonctions
1.3.4
Opérations algébriques
Soient f et g deux fonctions de R dans R.
On définit :
∗
∗
∗
∗
La somme : f + g : x 7→ f (x) + g(x).
Le produit par un réel : Pour λ ∈ R, on pose : λf : x 7→ λf (x).
L’inverse : 1/f : x 7→ 1/f (x).
Le quotient : f /g : x 7→ f (x)/g(x).
Exercice 3
Exprimer les ensembles de définition de ces fonctions au moyen de ceux de f et g.
1.3.5
Composition
Rappel : Soient A, B, C trois ensembles. Pour f : A → B et g : B → C, on définit g ◦ f : A → C par
∀x ∈ A, g ◦ f (x) = g(f (x)).
La notation ◦ permet d’éviter l’accumulation de parenthèses.
Pratiquement, en posant y = f (x) et z = g(y), on peut dire que la grandeur z dépend de y qui dépend de x.
On retiendra que la composition est toujours associative : Pour f : A → B, g : B → C et h : C → D, on a :
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f .
Par contre, elle n’est généralement pas commutative.
Exercice 4
Dans les cas suivant, donner une condition nécessaire et suffisante pour que g ◦ f = f ◦ g.
1. f (x) = ax + b, g(x) = cx + d, a, b, c, d réels.
2. f (x) = xn , g(x) = x + b, n ∈ N, b ∈ R
Exemples :
∗ 1/f est la composée de f par x 7→ 1/x.
√
∗ f est la composée de f par la fonction racine carrée.
∗ ln |f | est la composée h ◦ g ◦ f avec g : x 7→ |x| et h = ln.
2
1.3.6
Bijectivité, réciproque
Rappels :
Une application f d’un ensemble A vers un ensemble B est dite bijective lorsque :
∀y ∈ B, ∃!x ∈ A | y = f (x)
Avec la définition précédente, on note y = f −1 (x) et l’application qui, à tout élément y ∈ B associe son unique
antécédent est appelée bijection réciproque de f et notée f −1 .
Si f : A → B et g : B → C sont des bijections, alors g ◦f : A → C est une elle aussi et l’on a : (g ◦f )−1 = f −1 ◦g−1 .
Lorsque f est une bijection d’un intervalle I de R sur un intervalle J de R, si Cf désigne la courbe représentative
de f dans un repère orthonormé , alors la courbe représentative de f −1 est la symétrique de Cf par rapport à la
première bissectrice du repère.
Exercice 5
1. Montrer rapidement que la restriction de sin à I = [−π/2, π/2] est une bijection sur un intervalle qu’on
précisera.
2. Tracer sur un même schéma la courbe représentative du sinus restreint à I (en bleu) et la courbe représentative
de sa réciproque.
3. Refaire le travail précédent avec la fonction cosinus sur un intervalle contenant 0, inclus dans R+ et le plus
grand possible.
1.4
Variations
Les fonctions considérées ici sont de R dans R.
1.4.1
Fonctions monotones
Définitions :
Soit f une fonction de R dans R et X une partie non vide de son ensemble de définition Def.
On dit que f est :
∗ croissante sur X lorsque : ∀(x,x′ ) ∈ X 2 , x < x′ ⇒ f (x) 6 f (x′ ).
Lorsque X = Def, on dit simplement que f est croissante.
∗ décroissante sur X lorsque ∀(x,x′ ) ∈ X 2 , x < x′ ⇒ f (x) > f (x′ ).
Lorsque X = Def, on dit simplement que f est décroissante.
∗ strictement croissante sur X lorsque ∀(x,x′ ) ∈ X 2 , x < x′ ⇒ f (x) < f (x′ ).
Lorsque X = Def, on dit simplement que f est strictement croissante.
∗ strictement décroissante sur X lorsque ∀(x,x′ ) ∈ X 2 , x < x′ ⇒ f (x) > f (x′ ).
Lorsque X = Def, on dit simplement que f est strictement décroissante.
∗ f est dite monotone sur X lorsqu’elle est croissante sur X ou décroissante sur X.
On a une définition analogue pour les fonctions strictement monotones.
1.4.2
Taux de variations
Soit f une fonction de R dans R., Def son ensemble de définition.
Pour x, x′ appartenant à Def avec x 6= x′ , le taux de variations de f entre x et x′ est le nombre
τf (x,x′ ) =
f (x′ ) − f (x)
.
x′ − x
Interprétation : τf (x,x′ ) est la pente de la droite passant par les points M : (x,f (x)) et M ′ : (x′ ,f (x′ )) de la
courbe représentative de f .
3
On observe que pour tous x, x′ ∈ Def, on a τf (x,x′ ) = τf (x′ ,x).
Propriété
Soit f : R → R et X une partie de son ensemble de définition. On a les équivalences suivantes :
∗ f est croissante si et seulement si pour tous x, x′ ∈ X tels que x 6= x′ : τf (x,x′ ) > 0.
∗ f est décroissante si et seulement si pour tous x, x′ ∈ X tels que x 6= x′ : τf (x,x′ ) 6 0.
∗ f est strictement croissante si et seulement si pour tous x, x′ ∈ X tels que x 6= x′ : τf (x,x′ ) > 0.
∗ f es strictement décroissante si et seulement si pour tous x, x′ ∈ X tels que x 6= x′ : τf (x,x′ ) < 0.
Exercice 6
Déterminer les variations d’un trinôme du second degré f : x 7→ ax2 + bx + c en utilisant uniquement les taux de
variations.
1.4.3
Variations et opérations
Exercice 7
Montrer les propriétés suivantes :
Soient f et g deux fonctions définies sur une même partie X de R.
∗ Si f et g sont monotones de même sens, alors f + g est monotone de même sens que les deux.
De plus si l’une des monotonies est stricte, alors f + g est strictement monotone.
∗ Si f et g sont monotones de même sens et positives, alors f g est monotone de même sens.
∗ Si f est monotone, ne s’annule pas et est de signe constant, alors 1/f est monotone de sens contraire à celui
de f .
1.5
1.5.1
Fonctions et ordre
Comparaison des fonctions
Définitions : Soient f et g deux fonctions définies sur une même partie X de R.
On dit que f est inférieure à g sur X ou que f est majorée par g sur X lorsque ∀x ∈ X, f (x) 6 g(x).
On note alors f 6 g.
Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative de f est au-dessus de celle de g.
La relation ainsi définie est une relation d’ordre partiel.
Cela signifie quelle est réflexive, transitive et antisymétrique mais qu’il existe des fonctions que l’on ne peut comparer ; par exemple x 7→ x et x 7→ −x ne sont pas comparables sur R.
Si f et g sont deux fonctions définies sur une même partie X de R, si g est à valeurs positives, on dit que f est
majorée en valeur absolue par g sur X lorsque |f | 6 g ou, ce qui revient au même, lorsque −g 6 f 6 g.
On définit de même la notion de fonction minorée par une autre.
1.5.2
Fonctions majorées, minorées, bornées
Définitions
On dit qu’une fonction f est majorée sur une partie X de son ensemble de définition lorsqu’elle est majorée par
une fonction constante sur X c’est-à-dire lorsqu’il existe M ∈ R tel que ∀x ∈ X, f (x) 6 M .
On définit de même la notion de fonction minorée sur X.
Une fonction f est dite bornée sur une partie X de son ensemble de définition lorsqu’elle y est à la fois majorée et
minorée ou, ce qui revient au même, lorsqu’elle est majorée en valeur absolue c’est-à-dire lorsqu’il existe M ∈ R+
tel que ∀x ∈ X, |f (x)| 6 M .
4
Exercice 8
Établir les propriétés suivantes :
∗ Si f et g sont majorées, alors f + g l’est aussi.
Peut-on en dire autant de f g ?
– f est majorée si et seulement si −f est minorée.
∗ Si f est minorée par un réel strictement positif, alors 1/f est majorée.
La propriété précédente reste-t-elle valable si l’on enlève strictement?
– Si f et g sont bornées alors f ± g et f g sont bornées.
∗
∗
∗
5
2
Dérivation
2.1
2.1.1
Dérivée en un point
Pente, taux de variations
Le taux de variation d’une fonction f entre deux nombres distincts x et x′ a été défini plus haut et on l’a interprété
comme pente de la droite passant par les points de Cf d’abscisses x et x′ .
2.2
Dérivée comme limite du taux de variations
Le nombre dérivé d’une fonction f en un point x appartenant à son ensemble de définition est le nombre noté
f ′ (x) et défini par
f (x + h) − f (x)
f (x′ ) − f (x)
= lim
f ′ (x) = lim
h→0
x′ − x
h
x′ →x
On admet que la dérivée de f en x est la pente de la droite à laquelle ressemble le plus la courbe de f au voisinage
de M (x,f (x)). Cette droite est appelée la tangente à la courbe représentative de f au point M : (x,f (x)).
Exercice 9
1. Retrouver la dérivée de la fonction x 7→ x2 en utilisant la définition ci-dessus.
2. On donne l’identité remarquable du troisième degré : a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ).
Utiliser cette identité pour retrouver l’expression de la dérivée de x 7→ x3 .
2.3
2.3.1
Tangente
Rappels sur les équations de droites
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;~ı,~).
∗ Toute droite non verticale admet une unique équation réduite de la forme y = ax + b.
a est la pente de la droite et b est l’ordonnée à l’origine.
∗ La pente d’une droite est indépendant des points entre lesquels elle est calculée ; autrement dit : si D est
une droite non verticale, quels que soient les points A : (xA ,yA ) et B : (xB ,yB ) de D avec A 6= B (donc
xA 6= xB ), la pente de D est
yB − yA
xB − xA
C’est donc le rapport (quotient) entre l’écart des ordonnées et l’écart des abscisses.
∗ On utilise la propriété précédente pour écrire rapidement une équation d’une droite dont on connaı̂t un point
A : (xA ,yA ) et la pente m sous la forme :
y − yA
=m
x − xA
La forme précédente oblige cependant à exclure le point A mais on en déduit immédiatement une équation :
y − yA = m(x − xA )
2.3.2
Équation de la tangente
La tangente à Cf au point d’abscisse x0 est la droite passant par ce point (de coordonnées (x0 ,f (x0 ))) et de pente
f ′ (x0 ). Elle admet donc pour équation :
y − f (x0 ) = (x − x0 )f ′ (x0 )
ou encore
y = f (x0 ) + (x − x0 )f ′ (x0 )
6
2.4
2.4.1
Autres interprétations
Cinématique du point
Si l’application t 7→ f (t) exprime la position d’un point sur une droite graduée en fonction du temps, alors
f (t′ ) − f (t) représente le déplacement du point mobile entre les instants (proches) t et t′ . Dès lors, si l’on considère
f (t′ ) − f (t)
que, pendant ce petit intervalle, le vitesse était quasi constante, on peut dire que V (t,t′ ) =
est une
t′ − t
estimation de ladite vitesse.
On définit la vitesse instantanée v(t) comme le limite de V (t,t′ ) lorsque t′ tend vers t.
f (t′ ) − f (t)
= f ′ (t)
t →t
t′ − t
v(t) = lim
V (t,t′ ) = lim
′
′
t →t
2.4.2
Vitesse de variation d’une grandeur physique ou chimique
Pour toute grandeur physique (température, pression, charge) ou chimique (concentration...) évoluant avec le
temps, c’est-à-dire pouvant s’exprimer comme fonction t 7→ f (t), la vitesse de variation de la grandeur est la
f (t′ ) − f (t)
limite du taux de variation de f par rapport au temps, c’est-à-dire lim
= f ′ (t).
t′ →t
t′ − t
2.5
Propriétés algébriques
En classe, toutes ces propriétés sont admises. Les justifications ci-dessous sont données à l’intention de ceux qui
veulent prolonger tout de suite le cours
2.5.1
Combinaisons linéaires et produits
∗ Pour f et g dérivables en x0 et pour λ, µ réels, λf +µg est dérivable en x0 et (λf +µg)′ (x0 ) = λf ′ (x0 )+µg ′ (x0 ).
f (x) − f (x0 )
g(x) − g(x0 )
(λf + µg)(x) − (λf + µg)(x0 )
=λ
+µ
puis
Démonstration : il suffit d’observer que
x − x0
x − x0
x − x0
de passer à la limite.
∗ Avec f et g dérivables en x0 , f g est aussi dérivable et (f g)′ (x0 ) = f ′ (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g′ (x0 ).
2.5.2
Inverse et quotient
′
f ′ (x0 )
1
(x0 ) = −
.
Lorsque f est dérivable en x0 et qu’elle ne s’y annule pas, 1/f est aussi dérivable en x0 et
h
(f (x0 ))2
1/f (x) − 1/f (x0 )
f (x0 ) − f (x)
1
1
f (x) − f (x0 )
En effet :
=
×
=−
×
. Quand x tend vers x0 ,
x − x0
f (x)f (x0 )
x − x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
f (x) − f (x0 )
tend vers f ′ (x0 ).
f (x) tend vers f (x0 ) et
x − x0
Exercice 10
f et g sont dérivables en x0 et g ne s’y annule pas. Montrer, en utilisant le résultat sur la dérivée d’un produit et
′
f ′ (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g ′ (x0 )
f
.
(x0 ) =
celui sur la dérivée de l’inverse que f /g est dérivable en x0 et que
g
(g(x0 ))2
2.5.3
Composée
Pour comprendre la dérivée d’une fonction composée, il faut se dire que, pour une fonction dérivable en un point x0 ,
une “petite variation ” δx de la variable x prés de x0 entraı̂ne une variation proportionnelle de f (x) ; le coefficient de
proportionnalité est f ′ (x0 ). Autrement dit, pour de très petites valeurs de δx , on a f (x0 + δx )− f (x0 ) ≈ f ′ (x0 )× δx .
Dans le cas de la composition, on a une grandeur y qui dépendant d’une grandeur x par l’intermédiaire d’une
fonction f ; autrement dit, on a y = f (x).
Puis on considère une autre grandeur z qui dépend de y par une fonction g. On a donc z qui dépend de y qui
dépend de x.
7
Quand on considère z comme dépendant de y, c’est de la fonction g dont on parle. Quand on considère z qui
dépend de y qui dépend de x, c’est g ◦ f qu’il s’agit.
On prend une valeur x0 de la grandeur x ; il lui correspond une valeur y0 = f (x0 ) de la grandeur y puis il
correspond à y0 une valeur z0 = g(y0 ).
Une petite variation δx de la grandeur x à partir de x0 entraı̂ne une variation δy = f ′ (x0 ) × δx de la grandeur y(à
partir de la valeur y0 ) et cette dernière variation entraı̂ne une variation g′ (y0 ) × δy = g′ (y0 ) × f ′ (x0 ) × δx de la
grandeur z.
Mais lorsqu’on envisage z comme dépendant de x via g ◦ f , la variation δx de la grandeur x entraı̂ne une variation
(g ◦ f )′ (x0 ) × δx .
On a donc : (g ◦ f )′ (x0 ) × δx = g′ (y0 ) × f ′ (x0 ) × δx d’où
(g ◦ f )′ (x0 ) = g′ (y0 ) × f ′ (x0 ) = g ′ (f (x0 )) × f ′ (x0 )
2.5.4
Réciproque, interprétation graphique
On se donne deux intervalles I et J de R ; lorsque f : I → J est bijective, on peut définir f −1 : J → I ; c’est
l’application qui, à tout élément y de l’intervalle J associe son unique antécédent de sorte qu’on l’équivalence
fondamentale :
∀x ∈ I, ∀y ∈ J, y = f (x) ⇔ x = f −1 (y)
Notons qu’on peut échanger les rôles de x et de y dans l’équivalence précédente pour écrire :
∀y ∈ I, ∀x ∈ J, y = f −1 (x) ⇔ x = f (y)
On rappelle une propriété géométrique :
Le plan étant muni d’un repère orthonormé direct (O;~ı,~), pour tout couple de réels (x,y), les points M et M ′ de
coordonnées respectives (x,y) et (y,x) sont symétriques l’un de l’autre par rapport à la droite d’équation x = y
(appelée aussi première bissectrice du repère).
La propriété suivante est très importante :
Si f est une bijection d’un intervalle I de R sur un intervalle J, alors les courbes représentatives Cf de f et Cf −1
de f dans un repère orthonormé sont symétriques l’une de l’autre par rapport à la première bissectrice du repère.
En effet, posons M (x,y) le point de coordonnées (x,y) dans le repère (O;~ı,~). On a alors, pour tout (x,y) ∈ R2 ,
les équivalences suivantes :
M (x,y) ∈ Cf ⇔ y = f (x) ⇔ x = f −1 (y) ⇔ (y,x) ∈ Cf −1
Soit ensuite une droite D ni horizontale ni verticale. On rappelle que l’on peut calculer la pente de D en prenant
yB − yA
.
deux points A : (xA ,yA ) et B : (xB ,yB ) de D et en formant le rapport (non nul) µ =
xB − xA
La droite D ′ symétrique de D par rapport à la première bissectrice passe par les points A′ : (yA ,xA ) et B ′ : (yB ,xB ).
xB − xA
1
Elle a donc pour pente
= .
yB − yA
µ
On pourra retenir que la symétrie par rapport à la première bissectrice du repère transforme les pentes en leur
inverse.
Soit alors f : I → J une bijection telle que f ′ ne s’annule jamais sur l’intervalle I.
Au point M : (x0 ,f (x0 )) ∈ Cf , la pente de la tangente est f ′ (x0 ).
Comme Cf −1 est la symétrique de Cf par rapport à la première bissectrice, on admet qu’il en est de même des
tangentes ; autrement dit : la tangente à la courbe représentative de f −1 en M (y0 ,x0 ) est la symétrique de la
tangente à la courbe de f en (x0 ,y0 ) où l’on a posé y0 = f (x0 ).
1
ce qu’on peut encore
Les pentes de ces droites sont donc inverses l’une de l’autre c’est-à-dire : (f −1 )′ (y0 ) = ′
f (x0 )
1
écrire : (f −1 )′ (y0 ) = ′ −1
.
f (f (y0 ))
8
Si l’on fixe notre attention sur f −1 en choisissant de noter x sa variable, on obtient :
(f −1 )′ (x) =
1
f ′ (f −1 (x))
Exercice 11
La fonction x 7→ x2 de R∗+ dans lui même est bijective et sa dérivée ne s’annule pas sur R∗+ .
1. En utilisant la formule précédente, retrouver l’expression bien connue de la dérivée de la fonction racine
carrée.
2. Retrouver cette dérivée en formant le taux d’accroissement et en utilisant une expression conjuguée.
∗
∗
∗
2.6
2.6.1
Dérivées usuelles
Polynômes et fractions rationnelles
Exercice 12
Soit n ∈ N∗ et f : R → R définie par f (x) = xn .
1. (a) Vérifier la propriété suivante : ∀(x,y) ∈ R2 ,
y n − xn = (y − x)(y n−1 + y n−2 x + y n−3 x2 + · · · + y 2 xn−3 + yxn−2 + xn−1 )
n−1
n−1
X
X
xn−1−k y k
xk y n−1−k = (y − x)
= (x − y)
k=0
k=0
Combien y-a-t-il de termes dans la somme?
(b) On fixe x0 ∈ R. Écrire le taux d’accroissement de f entre x0 et x sous la forme d’une somme de n
termes.
(c) On fixe un entier k entre 0 et n − 1.
Lorsque le réel x se “rapproche” de x0 de quelle valeur réelle le nombre xn−1−k xk0 se ”rapproche-t-il”?
Autrement dit , que vaut lim xn−1−k xk0 ?
x→x0
xn − xn0
(d) Que vaut lim
?
x→x0 x − x0
2. On rappelle la Formule du binôme de Newton :
n
∀(a,b) ∈ R ou C, (a + b) =
n X
n
p=0
n
n
(a) Que valent
et
?
0
1
En appliquant la formule du binôme, monter que
(b) Soit p un entier supérieur ou égal à 1.
p
a b
=
n X
n
p=0
p
an−p bp
n p−1 p
f (x0 + h) − f (x0 ) Pn
= p=1
h x0 .
h
p
Lorsque h se “rapproche” de 0, que se passe-t-il pour
n p−1
p−1
lim h , lim
h
?
h→0
h→0 p
(c) Retrouver alors l’expression de f ′ (x0 ).
9
p n−p
hp−1 ?
n p−1
Pour
h
? Autrement dit que valent
p
3. (a) Vérifier rapidement qu’en tout point x0 ∈ R, la dérivée de x 7→ x est 1.
(b) Au moyen d’une récurrence, retrouver une dernière fois la dérivée de x →
7 xn .
Pour dériver une fraction rationnelle, il est toujours possible d’utiliser
2.6.2
u ′
v
=
u′ v − uv ′
.
v2
Logarithme népérien et exponentielle
On admet la propriété suivante : pour tout réels x0 et y0 , il existe une unique fonction f : R → R vérifiant f ′ = f
et f (x0 ) = y0 .
L’exponentielle est définie comme l’unique fonction exp dérivable de R dans R vérifiant exp′ = exp et exp(0) = 1.
Exercice 13
1. Vérifier que l’exponentielle ne s’annule pas.
Indication : Quelle est la seule fonction f : R → R vérifiant f ′ = f et f (x0 ) = 0?
En déduire que ∀x, exp(x) > 0.
exp(x + x0 )
2. Soit x0 un réel fixé. On pose f (x) =
.
exp(x0 )
(a) Exprimer f ′ en fonction de f et calculer f (0).
(b) Conclure.
3. Retrouver les propriétés algébriques usuelles de l’exponentielle.
On admet que exp définit une bijection de R sur R∗+ . Sa réciproque est par définition la fonction logarithme
népérien notée ln.
Exercice 14
En utilisant la dérivée de la réciproque d’une bijection, retrouver ∀x > 0, ln′ (x) =
2.6.3
1
.
x
Sinus, cosinus et tangente
On rappelle que la mesure en radian d’un angle θ est la longueur de l’arc de cercle de rayon 1 d’angle θ.
Du coup, pour des valeurs très petites θ, on a sin(θ) ≈ θ.
Exercice 15
1. Rappeler les formules trigonométriques usuelles : sin(a ± b), cos(a ± b), cos(p) ± cos(q), sin(p) ± sin(q).
2. Retrouver,
au moyen
cercle trigonométrique, les expressions
duπ π
de : π
π
sin x ±
, cos x ±
sin(x ± π) cos(x ± π), sin
− x , cos
−x .
2
2
2
2
3. Donner les tableaux de variations de cos sur [0,2π] et de sin sur [−π,π] puis tracer les représentations
graphiques de ces fonctions dans le plan muni d’un repère orthonormé.
Exercice 16
1.
2.
3.
4.
Retrouver les formules donnant tan(a ± b) en fonction de tan x et tan b.
Vérifier que tan est π-périodique.
Rappeler les expressions de tan′ (x) et donner le tableau de variations de tan.
Tracer la représentation graphique de tan dans le plan muni d’un repère orthonormé.
10
2.7
2.7.1
Dérivées partielles
Exemples
Pour (a,b) ∈ R2 , on considère la fonction x 7→ cos(ax + b).
La dérivée de cette fonction est évidemment x 7→ −a sin(ax + b).
Si on note cette fonction y 7→ cos(ay + b), la dérivée sera notée y 7→ −a sin(ay + b).
Si on la note z 7→ cos(az + b), sa dérivée sera notée z 7→ −a sin(az + b).
Il ne nous viendrait pas à l’esprit de dériver par rapport à a et pourtant, rien ne l’interdit.
On peut considérer f : (x,y) 7→ cos(xy + z).
Quand on considère y et z comme des paramètres, on peut envisager de dériver x 7→ cos(xy + z) par rapport à sa
∂f
. On a donc :
variable x. Une telle dérivée s’appelle une dérivée partielle par rapport à x et se note
∂x
∂f
(x,y,z) = −y sin(xy + z)
∂x
Calculer de la même façon
2.7.2
∂f
∂f
(x,y,z) et
(x,y,z).
∂y
∂z
Application : le gradient
Si z : R3 → R est une fonction admettant en tout point de son ensemble de définition des dérivées partielles, on
−−−→
peut définir le vecteur gradient noté Gradf (x,y,z) et défini par :
 ∂f
(x,y,z)


 ∂x





 ∂f
−−−→

Gradf (x,y,z) =  (x,y,z)


 ∂y




∂f
(x,y,z)
∂z
Exercice 17
−−→
OM
Pour tout point M ∈
on note ~u(M ) le vecteur −−→ .
kOM
k

x
p
 x2 + y 2 + z 2 






y
p

Ainsi, lorsque M = (x,y,z), ~u(M ) est le vecteur de coordonnées 
.
 x2 + y 2 + z 2 






z
p
x2 + y 2 + z 2
−−→
−−→
OM
.
On note r = kOM k de sorte que l’on peut écrire ~u(M ) =
r
p
−−−→
Pour f : (x,y,z) 7→ 1/ x2 + y 2 + z 2 = 1/r, déterminer une fonction ϕ : R∗+ → R telle que Gradf (x,y,z) = ϕ(r)~u.
R3 \{(0,0,0)},
2.8
2.8.1
Variations
Variations sans dérivation
Il est bon de retenir les propriétés suivantes :
– La somme de deux fonctions croissantes (resp. décroissantes) est croissante (resp. décroissante). Si l’une des
deux a une monotonie stricte, alors la monotonie de la somme est stricte également.
11
– Le produit de deux fonctions croissantes positives est une fonction croissante positive.
– La composée de deux fonctions monotones de même sens de variation est une fonction croissante.
La composée de deux fonctions monotones de sens contraires est une fonction décroissante.
2.8.2
Variations et signe de la dérivée
On rappelle les principaux résultats. Soit f une fonction de R → R dérivable sur son ensemble de définition.
– Si f ′ > 0 sur un intervalle I alors f est croissante sur I.
– Si f ′ > 0 sur I alors f est strictement croissante sur I.
– Si f ′ > 0 sur I sauf en un nombre fini de points, alors f est strictement croissante.
On a des résultats analogues pour f ′ > 0 ou < 0 et f décroissante ou décroissante stricte.
On trouve les extrema de f en cherchant les points où f ′ s’annule et change de signe.
2.8.3
Tableaux de variations
Pour déterminer le signe de f ′ (x), il sera souvent nécessaire de factoriser son expression.
Une fois déterminées les variations de f , on rassemble les informations sur un tableau de variations.
2.9
Dérivées successives
2.9.1
Définition et application à la physique de la dérivée seconde
Lorsqu’une fonction f est dérivable et que f ′ est dérivable elle-même, on définit f ′′ (lire “f seconde”) par f ′′ = (f ′ )′ .
On peut continuer et définir f ′′′ = (f ′′ )′ (on lit “f tierce”). Les dérivées suivantes se notent avec l’ordre de
dérivation en exposant et entre parenthèse.
Ainsi, l’on a f (4) = (f ′′′ )′ et plus généralement f (n+1) = (f (n) )′ .
2.9.2
Les exemples fondamentaux
Exercice 18
1. On pose f (x) = xn .
Calculer g′ (x), g ′′ (x), g ′′′ (x), g (4) (x) puis généraliser avec f (p) (x) pour 0 6 p 6 n.
Que vaut f (p) (x) pour p > n.
2. On pose ici, pour tout x > 0, f (x) = xα où α est un réel mais pas un entier naturel.
En s’inspirant de l’étude précédente, donner une expression de f (p) (x) sous la forme Kxα−p où K est un réel
qu’on exprimera au moyen d’un produit avec des points de suspension.
3. On pose ici α = −1 de sorte que f est l’application définie sur R∗ par x 7→ f (x) = 1/x = x−1 .
K
En utilisant l’expression trouvée dans la question précédente, exprimer f (p) (x) sous la forme p+1 où K est
x
un réel qu’on exprimera au moyen, entre autres, d’une factorielle.
Exercice 19
Soit f : R → R qui admet des dérivées de tous ordres. On fixe a, b ∈ R et g : x 7→ f (ax + b).
Calculer f ′ , f ′′ , f ′′′ , f (4) , f (5) et généraliser.
2.10
2.10.1
Étude des fonctions
Symétries : parité, périodicité
On veillera à ne se poser ces questions qu’à bon escient. Par exemple la question de la périodicité se pose essentiellement pour les fonctions trigonométriques. Elle peut intervenir avec la fonction partie entière à condition de
faire apparaı̂tre des mantisses (µ(x) = x − E(x)).
La parité et l’imparité s’observent avant de se démontrer. C’est particulièrement le cas pour les fonctions polynômes. Dans le cas des fractions rationnelles, après réduction, elles n’ont une parité définie que si le numérateur
et le dénominateur en ont une.
Il peut arriver cependant que la parité ne saute pas aux yeux.
12
Exercice 20
Déterminer la parité de l’application f définie sur ] − 1,1[ par x 7→ ln
1+x
.
1−x
On utilisera la parité, l’imparité et la périodicité pour restreindre l’étude de la fonction.
Exercice 21
Soit X une partie symétrique de R et f : X → R une application.
Montrer qu’il existe une unique application g : X → R et une unique application h : X → R telles que g soit
paire, h impaire et g + h = f .
2.10.2
Tableau de variations
On rassemble dans le tableau de variations le plus d’informations possible : variations, valeurs aux points remarquables, limites(quand on les aura étudiées).
2.10.3
Asymptotes horizontales et verticales
On a une asymptote verticale d’équation x = x0 lorsque lim f (x) = ±∞.
x→x±
0
On a une asymptote horizontale d’équation y = y0 lorsque lim f (x) = y0 .
x→±∞
2.10.4
Tracé
Le tracé fera apparaı̂tre les points avec tangente remarquables : tangentes horizontales, tangentes de pente 1, les
asymptotes.
∗
∗
∗
13
3
Fonctions usuelles
3.1
3.1.1
L’exponentielle et le logarithme
L’exponentielle
On a vu plus haut que la fonction exponentielle peut être définie
comme solution de y = y telle que y(0) = 1 et qu’alors, elle vérifie :
∀(a,b) ∈ R2 , exp(a + b) = exp(a) exp(b),
exp(a)
exp(a − b) =
, ∀a ∈ R,
exp(b)
∀n ∈ Z, exp(na) = (exp(a))n .
On a la représentation ci-contre :
4+
3+
e+
L’exponentielle est strictement croissante, on pose e = exp(1) >
exp(0) = 1 et on a, pour tout entier n, exp(n) = en .
À partir de cette propriété, on convient de noter ex = exp(x)
pour tout réel x.
2+
On voit aussi que pour des bandes valeurs de la variable
x, les valeurs de exp(x) sont très grandes. Autrement dit :
lim exp(x) = +∞
1+
x→+∞
−1
+
1
+
À l’opposé, pour des valeurs très négatives de x, exp(x) est de plus en plus proche de 0.
Autrement dit lim exp(x) = 0
x→−∞
Pour des valeurs très grandes de x, non seulement exp(x) est très grand, mais il est très grand par rapport à x
exp(x)
= +∞. Il en résulte que lim x exp(x) = 0 et aussi que, en +∞, exp(x) est beaucoup
c’est-à-dire lim
x→−∞
x→+∞
x
exp(x)
= +∞.
plus grand que les puissances positives de x c’est-à-dire : ∀α ∈ R+ , lim
x→+∞
xα
La fonction exponentielle est une bijection de R dans R∗+ . C’est ce qui permet de définir le logarithme népérien.
14
3.1.2
Le logarithme népérien
2+
1+
Le logarithme est la réciproque de l’exponentielle.
Il est défini et dérivable sur R∗+ et sa
dérivée est x 7→ 1/x.
Il vérifie les propriétés algébriques suivantes :
∗
∀x,y
y∈ R+ , ln(xy) = ln(x) + ln(y)
= ln(y) − ln(x)
ln
x
∀x > 0, ∀n ∈ N, ln(xn ) = n ln(x).
+
+
1
2
+
+
e 3
−1 +
−2 +
3.1.3
Le logarithme décimal
On pose ∀x > 0, log(x) =
ln(x)
.
ln(10)
Exercice 22
Vérifier les propriétés suivantes :
y ∀(x,y) ∈ R∗+ , log(xy) = log(x) + log(y), log
= log(y) − log(x)
x
n
∀x > 0, ∀n ∈ Z, log(x ) = nlog(x).
∀n ∈ N, log(xn ) = n.
3.2
3.2.1
Les fonctions hyperboliques
Définitions et relation fondamentale
Les fonctions cosinus hyperbolique ch et sinus hyperbolique sh sont définies par :
∀x ∈ R, ch(x) =
ex + e−x
2
sh(x) =
ex − e−x
2
Exercice 23
1. Vérifier ∀x ∈ R, ch(x) + sh(x) = ex , ch(x) − sh(x) = e−x .
2. Montrer que ∀x ∈ R, ch2 (x) − sh2 (x) = 1.
3.2.2
Variations et représentations
1. Exprimer ch′ et sh′ en fonction de ch et sh.
2. Quelles sont les parités de ces fonctions?
3. Établir que pour des valeurs de plus en plus grandes, ch(x) ≈
4. Représenter les fonctions ch et sh.
15
ex
ex
et sh(x) = .
2
2
+
+
3.3
3.3.1
Les fonctions trigonométriques
Sinus et cosinus
Les variations et représentations graphiques ont été obtenues dans l’exercice 15.
3.3.2
La fonction tangente
Les variations et représentations graphiques ont été obtenues dans l’exercice 16.
3.4
3.4.1
Les fonctions trigonométriques réciproques
Définitions et représentations
D’après son tableau de variations, la restriction de la fonction cosinus à [0,π] dans [−1,1] est une bijection.
Sa réciproque, définie sur [−1,1] à valeurs dans [0,π] est la fonction arccos.
On a donc l’équivalence :
∀x ∈ [−1,1], ∀y ∈ [0,π],
y = arccos(x) ⇔ x = cos(y)
Exercice 24
Représenter dans un repère orthonormé la fonction cos : [0π] → [−1,1] en noir et sa réciproque la fonction
arccos : [−1,1] → [0,π] en rouge.
On pourra tracer en bleu la première bissectrice du repère.
On représentera les tangentes remarquables.
D’après son tableau de variations, la restriction de la fonction sinus à [−π/2,π/2] dans [−1,1] est une bijection.
Sa réciproque, définie sur [−1,1] à valeurs dans [−π/2,π/2] est la fonction arcsin.
On a donc l’équivalence :
∀x ∈ [−1,1], ∀y ∈ [−π/2,π/2],
y = arcsin(x) ⇔ x = sin(y)
Exercice 25
Représenter dans un repère orthonormé la fonction sin : [−π/2,π/2] → [−1,1] en noir et sa réciproque la fonction
arcsin : [−1,1] → [0,π] en rouge.
On pourra tracer en bleu la première bissectrice du repère.
On représentera les tangentes remarquables.
D’après son tableau de variations, la restriction de la fonction tangente à ] − π/2,π/2[ dans R est une bijection.
Sa réciproque, définie sur R à valeurs dans ] − π/2,π/2[ est la fonction arctan.
On a donc l’équivalence :
∀x ∈ R, ∀y ∈] − π/2,π/2[,
y = arctan(x) ⇔ x = tan(y)
Exercice 26
Représenter dans un repère orthonormé la fonction tan :] − π/2,π/2[] en noir et sa réciproque la fonction arctan :
R →] − π/2,π/2[ en rouge.
On pourra tracer en bleu la première bissectrice du repère.
3.4.2
Dérivation
D’après sa courbe représentative, la fonction arccos n’est dérivable que sur ] − 1,1[.
En prenant f = cos :]0,π[→] − 1,1[ qui est aussi bijective avec f ′ = − sin :]0,π[→]0,1] et en lui appliquant la
1
, on obtient :
formole (f −1 )′ = ′
f ◦ f −1
16
1
.
− sin(arccos(x))
p
2
2
2
Or arccos(x) ∈]0,π[
p et pour y ∈]0,π[, la
√ relation cos y + sin y = 1 donne sin(y) = + 1 − cos (y) donc
sin(arccos(x)) = 1 − cos2 (arccos(x)) = 1 − x2 . On en déduit :
∀x ∈] − 1,1[, arccos′ (x) =
1
∀x ∈] − 1,1[, arccos′ (x) = − √
1 − x2
Exercice 27
En utilisant le même type de méthode, déterminer la dérivée de arcsin (sur un ensemble convenable) et celle de
arctan.
3.4.3
Formulaire
Remplir les tableaux suivants :
x
−1
√
− 3/2
√
− 2/2
−1/2
0
√
1/2
√
2/2
3/2
arcsin(x)
arccos(x)
x
−∞
√
− 3
−1
√
− 3/3
√
0
3/3
arctan(x)
∗
∗
∗
17
1
√
3
+∞
1
3.5
3.5.1
Les fonctions puissances
Définitions et propriétés algébriques
• On commence par définir les exposants entiers strictement positifs en posant :
∀a ∈ R, ∀n ∈ N∗ , xn = a
· · × a × a}
| × a × ·{z
n termes
On a alors :
∗ ∀(x,y) ∈ R, ∀n ∈ N∗ , (xy)n = xn y n
∗ ∀x ∈ R, ∀(m,n) ∈ (N∗ )2 , xm+n = xm xn
∗ ∀x ∈ R, ∀(m,n) ∈ (N∗ )2 , (xm )n = xmn .
On convient alors de poser ∀x ∈ R, x0 = 1 (y compris pour x = 0). Les propriétés précédentes se prolongent
à m, n ∈ N.
1
• On étend à présent aux entiers négatifs en posant : ∀x ∈ R∗ , ∀n ∈ N, x−n = n .
x
Les propriétés précédentes continuent d’être vérifiées en prenant x et y dans R∗ .
y n
yn
= n.
On a de plus : ∀(x,y) ∈ (R∗ )2 , ∀n ∈ N,
x
x
• Racines n-èmes et puissances rationnelles.
Pour tout entier n > 2, la fonction x 7→ xn est une bijection de R+ dans lui-même.
√
Sa réciproque est la fonction racine nème notée n . On a ainsi l’équivalence :
∀(x,y) ∈ R2+ , y =
√
n
x ⇔ x = yn.
√
√ √
De la propriété ∀y, y ′ ∈ R+ , (yy ′ )n = y n y ′n on déduit : ∀x, x′ ∈ R+ n xx′ = n x n x′ .
p√
De la propriété : ∀y ∈ R+ , ∀(m,n) ∈ N2 , (y m )n = y mn , on déduit : ∀x ∈ R+ , ∀m, n > 2, n m x =
On convient alors de noter ∀x > 0, x1/n =
√
x.
mn
√
√
n
x ce qui est naturel du fait qu’on a alors (x1/n )n = ( n x)n = x1 .
On peut alors, pour nombre rationnel r écrit sous la forme r = p/q avec p ∈ Z et q ∈ N∗ et pour nombre
réel x > 0 poser xr = (x1/q )p .
Il faut vérifier que ceci ne dépendant pas de la représentation du rationnel c’est-à-dire que si p/q = p′ /q ′ , on
′
′
obtient le même résultat : (x1/q )p = (x1/q )p .
On peut alors voir que les propriétés établies pour les exposants entiers s’étendent aux exposants rationnels.
• Exposants réels
On pourrait vouloir définir xα pour tout réel x > 0 et tout réel α en voyant que α peut être approché à
n’importe quelle précision par des rationnels.
Ce serait très long et compliqué. On préfère partir d’un autre point de vue.
Définition
Pour tout réel x strictement positif et tout réel α, on pose :
xα = exp(α ln(x))
Exercice 28
1. Montrer que la définition précédente est cohérente avec les cas où α est un entier ou un rationnel.
2. Au moyen de la définition précédente, vérifier les propriétés suivantes :
y α
yα
∗ ∀(x,y) ∈ (R∗+ )2 , ∀α ∈ R, (xy)α = xα y α ,
= α.
x
x
∗ ∀x ∈ R∗+ , ∀(α,β) ∈ R2 , xα+β = xα xβ , (xα )β = xαβ .
18
3.5.2
Dérivation
Exercice 29
1. Rappeler la dérivée de x 7→ xn sur R pour n ∈ N ou sur R∗ pour n ∈ Z− .
√
2. En utilisant le fait que n est la réciproque de x 7→ xn sur R∗+ et que la dérivée de x 7→ xn ne s’annule pas
dans R∗+ , montrer que la dérivée de x 7→ x1/n est x 7→ x1/n−1 sur R∗+ .
3. En utilisant la définition de xα donnée plus haut, établir que la dérivée sur R∗+ de x 7→ xα est encore
x 7→ αxα−1 .
3.5.3
Étude à l’origine
Lorsque l’exposant α est strictement positif, on peut prolonger en 0 en posant 0α = 0.
xα − 0α
= xα−1 .
x−0
Lorsque α = 1, cette pente est constante ; en effet, la représentation graphique de x 7→ x1 est la première bissectrice
du repère.
Lorsque α > 1, le taux d’accroissement se rapproche de zéro de sorte qu’on peut dire que la dérivée de x 7→ xα en
0 est 0 ce qui prolonge l’expression αxα−1 de la dérivée à x = 0.
Lorsque α < 1, lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de zéro, le taux d’accroissement prend des
valeurs positives très grandes. On admet que cela peut se traduire par l’existence d’une tangente verticale à
l’origine.
On peut alors se poser la question d’une tangente à l’origine. On forme le taux d’accroissement :
3.5.4
Étude à l’infini
Lorsque α < 0, lorsque les valeurs de x sont très grandes, celles de xα se rapprochent de 0. On a donc une
asymptote horizontale d’équation y = 0 ; c’est l’axe des abscisses.
On suppose désormais α > 0 et différent de 1.
On souhaite comparer les ordres de grandeur de xα et de x quand les valeurs prises par x sont très grandes. On
xα
= xα−1 .
forme donc le quotient
x
On voit alors que, pour α > 1, α − 1 < 0 donc ce quotient prend des valeurs de plus en plus proches de zéro.
L’ordonnée des points de la courbe est donc certes de plus en plus grande mais petite, si on l’a compare à l’abscisse.
Lorsque α > 1, lorsque l’abscisse du point est très grande, l’ordonnée l’est encore bien davantage.
3.5.5
Représentations graphiques
En dehors des valeurs 0 et 1 de α, on a grosso modo, les trois comportements suivants :
3
α<0
2
1
1
2
3
4
5
19
3
0<α<1
2
1
1
2
3
4
5
6
5
4
3
α>1
2
1
1
3.5.6
2
3
Croissances comparées
Le but de cette partie est de comparer les valeurs de xα et xβ pour des valeurs de x très petites (de plus en plus
proches de zéro) ou très grandes pour deux valeurs α et β distinctes.
xβ
Pour cela, on forme le quotient α .
x
20
Lorsque ce quotient tend à être petit (proche de zéro), xβ est très petit par rapport à xα .
Lorsqu’il est très grand, xβ est très grand par rapport à xα .
xβ
• Au voisinage de 0 : α = xβ−α est proche de 0 si et seulement si β − α > 0.
x
Par exemple, pour α = 2, β = 3 et x = 0,001, on a xα = 0,000001 et xβ = 0,000000001 ce qui est mille fois
plus petit.
Ce peut être plus déconcertant pour des puissances négatives.
Prenons α = −2, β = −1 de sorte que α < β et x = 0,001.
On a xα = 1000000 et xβ = 1000 ce qui est, à nouveau 1000 fois plus petit.
• En +∞ c’est-à-dire lorsque x prend des valeurs très grandes.
xβ
xβ est “petit” par rapport à xα lorsque le quotient α = xβ−α est petit (proche de 0). Cela n’a lieu que si
x
β − α < 0 c’est-à-dire β < α.
Par exemple, pour des exposants positifs α = 4, β = 2 et x = 1000, on a xα = 1000000000000 (mille milliard)
et xβ = 1000000 ce qui est un million de fois plus petit.
Pour des exposants négatifs α = −1, β = −2 et x = 1000, on a xα = 0,001 et xβ = 0,000001 ce qui est mille
fois plus petit.
Pour retrouver rapidement ces résultats, il est conseillé de prendre 1 et 2 comme exposants et de tester sur
x = 0,001 pour x au voisinage de 0 et sur x = 1000 pour x au voisinage de +∞.
4
Intégrales, primitives
4.1
4.1.1
Intégrale d’une fonction continue
Idée générale
On se donne une fonction continue f sur un intervalle I de R et deux nombres a < b appartenant à I. Lorsque f
est à valeurs positives, il est assez facile de se faire une idée intuitive de l’aire délimité par l’axe Ox, les verticales
d’équations x = a et x = b.
a
b
21
Lorsque f est à valeurs négatives, l’aire est affectée du signe − et lorsque f change de signe, les aires des zones
où f est négative sont comptée négativement et celles où f > 0 sont comptées positivement.
+
+
a
b
−
C’est ainsi que l’on définira (provisoirement) l’intégrale d’une fonction continue f entre a et b.
Z b
f (t)dt.
Ce nombre est noté
a
Initialement, cette notation signifie qu’on a découpé le domaine en tranches fines de largeur δx et qu’une approximation de l’aire est alors la somme des aires des rectangles c’est-à-dire la sommeZ des f (x)δx.
Au XVIIIème siècle, le “s” du mot “somme” était calligraphié et imprimé ainsi :
.
On savait que les sommes ainsi calculées ne correspondaient pas à l’aire toute entière et que, selon, la terminologie
de l’époque, il fallait prendre des largeurs δx “infiniment petites” ce qui permettait d’obtenir “l’aire intégrale”,
c’est-à-dire “l’aire entière”.
De fil en aiguille, on n’a plus parlé que d’intégrale.
Dans la notation
Z
b
f (t)dt, la variable t est appelée variable d’intégration ; elle peut être remplacée par n’importe
a
quelle lettre ne figurant pas dans les bornes.
Z
Z b
Z b
Z b
f (τ )dτ mais la notation
f (u)du =
f (t)dt =
Ainsi l’on a
a
4.1.2
f (x)dx est incorrecte.
x
a
a
y
La relation de Chasles
On observe d’abord intuitivement que pour tous a, b, c tels que a < b < c, on a
Cette propriété s’appelle l’additivité par rapport aux intervalles.
On étend ensuite la notion d’intégrale au cas où a > b en posant alors
Z a
f (t)dt = 0.
en posant
Z
a
Z
c
f (t)dt =
a
b
f (t)dt = −
Z
Z
b
f (t)dt +
a
Z
c
f (t)dt.
b
a
f (t)dt et au cas a = b
b
a
On a alors la relation de Chasles :
Pour toute fonction f continue sur un intervalle I et tous réels a, b, c dans I, on a :
Z
a
4.1.3
Dérivation de x 7→
Z
c
f (t)dt =
Z
b
f (t)dt +
a
Z
b
f (t)dt
a
x
f (t)dt
x0
Z x
(t)dt.
On fixe à présent x0 ∈ I et l’on considère la fonction F qui, à tout élément x associe
x0
Z x+h
f (t)dt.
Pour dériver F en un point x, on est amener à considérer F (x + h) − F (x) =
x
Z x+h
f (t)dt ≈ f (x).h.
Or, on montre que, pour des valeurs de h très petites (de plus en plus proches de zéro), on a
x
22
Il en résulte que, pour des petites valeurs de h, on a
x0
F (x + h) − F (x)
≈ f (x).
h
x x+h
Exercice 30
Dans le dessin ci-contre, donner une estimation de l’aire de la partie ressemblant à un triangle en utilisant f ′ (x).
Z x
Il résulte de l’étude (?) précédente que, pour f : I → R continue, l’application F définie par F : x 7→
f (t)dt
x0
est dérivable et que F ′ = f .
4.2
4.2.1
Primitives
Ensemble des primitives d’une fonction continue sur un intervalle
On a vu en terminale qu’une fonction dérivable sur un intervalle et dont la dérivée est nulle est une fonction
constante.
Pour toute application f définie sur un intervalle I, on appelle primitives de f les applications F : I → R
(lorsqu’elles existent) qui sont dérivables et vérifient F ′ = f .
On a vu de plus dans la section
Z précédente que pour toute fonction continue f sur un intervalle I et tout réel
x
x0 ∈ I, l’application F : x 7→
f (t)dt est une primitive de f .
x0
Il en résulte que, pour toutes fonction continue f : I → R, les primitives de f sont les fonctions x 7→
Z
x
f (t)dt + C
x0
où C est une constante.
En effet, si G est une primitive de f sur l’intervalle I, alors G′ = F ′ donc (G − F )′ = 0 d’où G − F = C.
On peut énoncer un théorème plus précis :
Théorème : Soit I un intervalle et f : I → R une application continue.
Pour tout réel x0 ∈ I et tout réel y0 , il existe une uniqueZ primitive F de f vérifiant F (x0 ) = y0 .
x
L’expression de cette primitive est ∀x ∈ I, F (x) = y0 +
f (t)dt.
x0
23
4.2.2
Primitives des fonctions usuelles
Intervalle et condition
Fonction
Primitives
Sur R
x 7→ 0
x 7→ C
Sur R
x 7→ a
x 7→ ax + C
Sur R∗+ où R∗− si α entier, α < −1
x 7→ xα
x 7→
Sur R∗+
x 7→
Sur R avec a 6= 0
x 7→ cos(ax + b)
x 7→
Sur R avec a 6= 0
x 7→ sin(ax + b)
1
x 7→ − cos(ax + b) + C
a
i π
h
π
Sur − + kπ, + kπ avec k ∈ Z
2
2
x 7→
Sur R, α complexe non nul.
x 7→ eαx
x 7→
Sur ] − 1, 1[
1
x 7→ √
1 − x2
x 7→ arcsin(x) + C
Sur R si α ∈ N
Sur R∗+ si α ∈ R\Z
Sur R
x 7→
1
x
1
xα+1 + C
α+1
x 7→ ln |x| + C±
1
= 1 + tan2 x
cos2 x
1
1 + x2
24
1
sin(ax + b) + C
a
x 7→ tan x + Ck
1 αx
e +C
α
ou x 7→ − arccos(x) + C
x 7→ arctan(x) + C
4.2.3
Des formes à reconnaı̂tre
u désigne ici une application dérivable sur un intervalle.
u′
u
uα u′
ln |u| + C
1
uα+1 + C
α+1
α 6= −1
u′ eu
eu
Une autre propriété qu’on utilise sans y penser : La linéarité :
Si f et g sont deux fonctions continues sur un même intervalle I, λ et µ deux réels, si F et G sont des primitives
respectivement de f et g, alors λF + µG est une primitive de λf + µg.
4.3
4.3.1
Intégrales
Calcul d’une intégrale au moyen d’une primitive
On a la formule bien connue : soit f : I → R, une application continue et F une primitive de f .
Z b
f (t)dt = F (b) − F (a) = [F (t)]ba .
Pour tous a, b ∈ I,
a
Démonstration : Il existe une constante C telle que ∀x ∈ R,
Rx
f (t)dt = F (x) − C.
a
En prenant x = 0 dans cette égalité, on trouve C = F (a) de sorte que, pour tout x ∈ I,
d’où la formule pour x = b.
4.3.2
Z
a
x
f (t)dt = F (x) − F (a)
Intégration par parties
On se donne deux fonctions u et v d’un intervalle I dans R, dérivables et telles que u′ et v ′ soient continues.
Pour tous a et b dans I, on a :
Z
b
a
u′ (t)v(t)dt = [u(t)v(t)]ba −
Z
b
u(t)v ′ (t)dt
a
Exercice 31
Établir cette formule. Indication : De quoi u′ v + uv ′ est-elle la dérivée?
4.3.3
Intégration par changement de variable
Soient I et J deux intervalles, ϕ : I → J une application dérivable dont la dérivée est continue et soit f : J → R
une application continue.
Pour tous α, β ∈ I, on a :
Z β
Z ϕ(β)
f ◦ ϕ(t)ϕ′ (t)dt
f (x)dx =
ϕ(α)
α
25
Exercice 32
Démontrer cette formule en suivant les questions ci-dessous :
1. Soit F une primitive de f . Justifier l’existence de F et exprimer
2. Exprimer la dérivée de F ◦ ϕ au moyen de f, ϕ et
ϕ′
ϕ(β)
f (x)dx au moyen de F et ϕ.
ϕ(α)
et en déduire une expression de
moyen de F et ϕ.
3. Conclure.
5
Z
Z
β
α
f ◦ ϕ(t)ϕ′ (t)dt au
Équations différentielles linéaires
5.1
5.1.1
Équations du premier ordre
Introduction
Dans cette section, on cherche les solutions d’une équation a(x)y ′ + b(x)y + c(x) = 0 où a, b, c sont des fonctions
continues sur un même intervalle I. Les solutions recherchées sont des fonctions f définies sur un sous intervalle
J de I et vérifiant ∀x ∈ J, a(x)f ′ (x) + b(x)f (x) + c(x) = 0.
On se restreint à des intervalles où a ne s’annule pas ; sur de tels intervalles, notre équation équivaut à
y′ = −
c(x)
b(x)
y−
.
a(x)
a(x)
On change donc les notations en se donnant deux fonctions a et b continues sur un même intervalle I et on cherche
dorénavant à résoudre l’équation :
y ′ = a(x)y + b(x)
5.1.2
Équations homogènes
L’équation ci-dessus est dite homogène ou sans second membre lorsque la fonction b est nulle.
• La résolution des physiciens et des chimistes
y′
= a ce qui équivaut à (ln |y|)′ = a puis à ln |y(x)| = A(x) + C où
L’équation sans second membre s’écrit
y
A est une primitive de a et C une constante.
Il en résulte y(x) = ±eC exp(A(x)). On observe ici que eC est une constante (strictement) positive mais
que ±eC est une simple constante (non nulle). D’où la solution générale : y(x) = C exp(A(x)) où C est une
constante réelle quelconque (elle peut être nulle à présent).
• La solution mathématique
La fonction a, qui est continue sur I admet des primitives. Soit A l’une d’entre elles. Pour toute fonction y
dérivable sur I, on pose z : x 7→ y(x) exp(−A(x)).
exp(−A) est dérivable en tant que composée de fonctions dérivables donc z aussi en tant que produit de
fonctions dérivables et l’on a y = z. exp(A).
On observe que ∀x ∈ I, z ′ (x) = y ′ (x) exp(−A(x))−y(x)A′ (x) exp(−A(x)) = y ′ (x) exp(−A(x))−a(x)y(x) exp(−A(x)
(y ′ (x) − a(x)y(x)) exp(−A(x)).
Il en résulte que y ′ = a(x)y ⇔ z ′ = 0 ⇔ z est une fonction constante C.
Il en résulte que :
la solution générale de y ′ = a(x)y est y = C exp(A(x)) où C est une constante réelle.
26
5.1.3
Équations avec second membre ; structure des solutions, principe de superposition
On repart ici de l’équation (E ) y ′ = a(x)y + b(x).
On observe que la solution générale de l’équation sans second membre trouvée précédemment est ou-bien constamment nulle ou-bien ne s’annule jamais. On choisit une solution ϕ0 de (E ) ne s’annulant pas.
5.1.4
Variation de la constante
Pour toute application y : I → R, on pose z =
y
et l’on a y = zϕ0 . Il en résulte que y est dérivable avec une
ϕ0
dérivée continue si et seulement si z l’est aussi.
On a dans ce cas y ′ = z ′ ϕ0 + zϕ′0 = z ′ ϕ0 + azϕ0 . Il en résulte les équivalences :
b
y ′ = ay + b ⇔ z ′ ϕ0 + azϕ0 = azϕ0 + b ⇔ z ′ ϕ0 = b ⇔ z ′ =
.
ϕ0
b
Il n’y a plus (!) qu’à trouver les primitives de
.
ϕ0
Si z0 est l’une d’entre elles, alors la solution générale de (E ) est y = (z0 + C)ϕ0 = z0 ϕ0 + Cϕ0 .
5.1.5
Structures des ensembles solutions
• Pour une équation sans second membre, on voit que les solutions sont toutes proportionnelles à l’une quelconque non nulle d’entre elles.
On dit que l’ensemble des solutions est une droite vectorielle.
• Pour une équation avec second membre, on observe que la solution générale z = z0 ϕ0 + Cϕ0 , C ∈ R se
présente comme somme d’une solution particulière : z0 ϕ0 et de la solution générale de l’équation sans second
membre : Cϕ0 , C ∈ R.
5.1.6
Le problème de Cauchy
C’est le problème suivant : Étant donnés une équation différentielle (E )y ′ = a(x)y + b(x), un élément x0 ∈ I et
une valeur arbitraire y0 ∈ R, existe-t-il une solution y de (E ) vérifiant y(x0 ) = y0 ? Et si oui, cette solution est-elle
unique?
La réponse est “oui” pour les deux questions. Cela tient à la nature de ce type d’équations. Il existe des équations
différentielles où les deux réponses sont “non”.
Montrons l’existence et l’unicité de la solution du problème de Cauchy.
Fixons ϕ0 une solution particulière ne s’annulant pas de l’équation sans second membre et et une solution particulière Y0 de l’équation avec second membre. On sait que la solution générale de (E ) est alors y = Y0 +Cϕ0 , C ∈ R.
y0 − Y0 (x0 )
d’où l’existence (un tel
ϕ0 (x0 )
nombre C existe bien d’où aussi l’existence de y0 qui satisfait à la condition donnée) et l’unicité (si C il existe, il
doit avoir la valeur qu’on vient de trouver).
L’égalité y(x0 ) = y0 équivaut alors à Y0 (x0 ) + Cϕ0 (x0 ) = y0 puis à C =
5.1.7
Le principe de superposition
On se donne trois applications a, b1 , b2 continues sur un même intervalle I de R et deux nombres réels λ1 et λ2 .
On considère les trois équations différentielles :
(E1 )
(E2 )
(E )
y ′ = a(x)y + b1 (x)
y ′ = a(x)y + b2 (x)
y ′ = a(x)y + λ1 b1 (x) + λ2 b2 (x)
Si une application y1 (respectivement y2 ) est solution de (E1 ) (respectivement (E2 )), alors λ1 y1 + λ2 y2 est solution
de (E ).
La vérification est immédiate.
27
5.2
Les fonctions à valeurs complexes
Pour définir une fonction à valeurs complexes sur un intervalle I, il faut et il suffit de définir ses fonctions partie
réelle et partie imaginaire.
On pose donc généralement f = g + ih où g et h sont des fonctions à valeurs réelles.
Un exemple important est la fonction t 7→ eλt avec λ = α + iβ, (α,β) ∈ R2 .
On a donc ∀t ∈ R, eλt = eαt (cos(βt) + i sin(βt)).
5.2.1
Dérivation
Avec les notations précédentes f = g + ih, on dit que f est dérivable (en un point ou sur un intervalle) lorsque g
et h le sont et on pose alors f = g ′ + ih′ .
Exercice 33
On prend f (t) = eλt = eαt (cos(βt) + i sin(βt)).
– Donner les expressions analytiques des fonctions g et h.
– Calculer g′ (t) et h′ (t) pour tout réel t.
– Rappeler la formule de dérivation de t 7→ eλt pour λ ∈ R et vérifier que cette formule est valable pour
λ = α + iβ ∈ C.
5.2.2
Propriétés
Ce sont essentiellement les mêmes que pour les fonctions à valeurs réelles :
• Pour f et g : I → C dérivables et λ ∈ C,λf + g est dérivable et (λf + g)′ = λf ′ + g ′ .
On démontre d’abord pour la somme puis pour λf en exprimant f et λ au moyen de leur parties réelles et
imaginaires.
• Pour f et g dérivables f g l’est aussi et (f g)′ = f ′ g + f g′ . On pose f = α + iβ, g = γ + iδ, f g = (αγ − βδ) +
i(αδ + βγ). On a :
(αγ − βδ)′ = α′ γ − β ′ δ + αγ ′ − βδ′ et
(αδ + βγ)′ = α′ δ + β ′ γ + αδ′ + βγ ′ .
On vérifie alors que (f g)′ = (α′ + iβ ′ )(δ + iγ) + (α + iβ)(δ′ + iγ ′ ) = f ′ g + f g ′ .
′
1
f′
• Si f est dérivable et ne s’annule pas, alors 1/f est dérivable et
= − 2.
f
f
Démonstration en
Exercice 34
On pose f = α + iβ.
1. Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de 1/f et vérifier qu’elles sont dérivables.
2. Appliquer la formule de dérivation du produit à l’égalité f × (1/f ) = 1 et conclure.
3. Montrer que si f et g sont
dérivables à valeurs complexes et si g ne s’annule pas, alors
′ des′ fonctions
′
f
f g − fg
f /g est dérivable et
=
.
g
g2
5.2.3
Dérivées usuelles
• On a vu que, pour λ ∈ C, la dérivée de t 7→ eλt est t 7→ λeλt .
• Montrer que, pour tous a, b ∈ C, la dérivée de t 7→ at + b est la fonction constante t 7→ a.
Montrer alors par récurrence que, pour tout z0 ∈ C et tout n ∈ N, la dérivée de t 7→ (t − z0 )n est
t 7→ n(t − z0 )n−1 .
Montrer enfin, que cette formule reste valable pour n < 0. On utilisera la dérivée de 1/f .
5.2.4
Les équations y ′ − λ0 y = Aeλx et y ′ − λ0 y = Axeλx
On aura besoin du résultat suivant : si f est une fonction dérivable à valeurs complexes de dérivée nulle sur un
intervalle I alors f st constante (complexe).
Pour le montrer, il suffit d’appliquer le résultat analogue réel aux parties réelle et imaginaire de f .
28
Exercice 35
On se donne trois nombres complexes λ0 , λ et A et on cherche à résoudre l’équation différentielle
(E ) : y ′ − λ0 y = Aeλx .
Les solutions recherchées sont des fonctions à valeurs complexes.
1. Montrer de la même manière que dans le cas réel, que la solution générale de (E ′ ) y ′ − λ0 y = 0 est t 7→ Ceλ0 t .
2. On suppose dans cette question que λ 6= λ0 . Montrer que (E ) admet une (unique) solution de la forme
t 7→ Beλt où B est un nombre complexe.
3. On suppose ici que λ = λ0 . Montrer que (E ) admet une (unique) solution de la forme t 7→ Bteλ0 t .
Exercice 36
On se donne trois nombres complexes λ0 , λ et A et on cherche à résoudre l’équation différentielle
(E ) : y ′ − λ0 y = Axeλx . Les solutions recherchées sont des fonctions à valeurs complexes.
1. On suppose λ 6= λ0 . Montrer que (E ) admet une (unique) solution de la forme x 7→ (Bx + C)eλx .
2. On suppose λ = λ0 . Montrer qu’il existe une unique solution de (E ) de la forme x 7→ Bx2 eλ0 x .
On pourra faire directement le calcul en remplaçant y(x) par Bx2 eλ0 x dans l’équation (E ) ou-bien, on pourra
d
observer que y ′ (x) − λ0 y(x) = eλ0 x (e−λ0 x y(x)).
dx
5.3
Le second ordre à coefficients constants
On cherche ici à résoudre l’équation différentielle du second ordre :
(E ) : y ′′ + ay ′ + by = f (x)
où a, b sont des nombres réels ou complexes et f une application continue à valeurs dans R ou C.
Lorsque les paramètres sont réels, les solutions recherchées sont à valeurs réelles sinon, elles seront à valeurs
complexes.
5.3.1
L’équation homogène, cas des coefficients complexes
On appelle ainsi l’équation (E ′ ) : y ′′ + ay ′ + by = 0.
Si on cherche des solutions de (E ′ ) de la forme x 7→ eλx avec λ ∈ C, alors on doit avoir :
∀x ∈ R, Cλ2 eλx + aCλeλx + bCeλx = 0 ce qui s’écrit : Ceλx λ2 + aλ + b = 0.
Comme on cherche des solutions non identiquement nulles, on impose C 6= 0 et on voit que λ doit vérifier :
(χ) : λ2 + aλ + b = 0.
L’équation (χ) est l’équation caractéristique associée à (E ) ou à (E ′ ).
Notons alors λ1 , λ2 les solutions, éventuellement confondues de cette équation.
On alors ∀λ ∈ C, λ2 + aλ + b = (λ − λ1 )(λ − λ2 ) et l’on a : a = −(λ1 + λ2 ) et b = λ1 λ2 .
On observe alors que pour toute fonction dérivable y, on a : y ′′ + ay ′ + by = y ′′ − (λ1 + λ2 )y ′ + λ1 λ2 y = (y ′ −
λ1 y)′ − λ2 (y ′ − λ1 y) = (y ′ − λ2 y)′ − λ1 (y ′ − λ2 y).
Il en résulte que y ′′ + ay ′ + by = 0 ⇔ (y ′ − λ2 y)′ − λ1 (y ′ − λ2 y) = 0 ⇔ ∃A1 ∈ C, ∀x ∈ R, y ′ (x) − λ2 y(x) = A1 eλ1 x .
On peut alors discuter :
• Si λ2 6= λ1 , la solution générale de (E ′ ) est :
y(x) = Aeλ1 x + Beλ2 x
def
• Si λ1 = λ2 = λ0 , la solution générale de (E ′ ) est :
y(x) = (Ax + B)eλ0 x
29
5.3.2
Équation homogène à coefficients réels
La discussion se fait en fonction du discriminant ∆ de l’équation caractéristique. On utilise les résultats du cas
complexe.
• Si ∆ > 0, (χ) admet deux solutions réelles distinctes λ1 et λ2 . De façon analogue au cas complexe, la solution
générale de (E ′ ) est x 7→ Aeλ1 x + Beλ2 x , (A,B) ∈ R2 .
• Si ∆ = 0, (χ) admet une solution double et, de façon analogue au cas complexe, la solution générale de (E ′ )
est x 7→ (Ax + B)eλ0 x .
• Examinons à présent le cas ∆ < 0.
(χ) admet deux solutions complexes conjuguées distinctes α ± iβ, α ∈ R, β > 0.
La solution générale complexe de (E ′ ) est alors x 7→ Ce(α+iβ)x + De(α−iβ)x , (C,D) ∈ C2 .
Exercice 37
a) Montrer que la solution complexe générale peut s’exprimer sous la forme x 7→ eαx (A cos(βx)+B sin(βx))
où A et B sont des nombres complexes qu’on exprimera en fonction de C et D.
b) Montrer que pour tout couple (A,B) de réels, il existe un unique couple de nombres complexes (C,D)
tel que A et B s’expriment au moyen de C et D par les formules trouvées à la question précédente.
c) En déduire que la solution générale réelle de (E ′ ) est x 7→ eαx (A cos(βx) + B sin(βx)), (A,B) ∈ R2
5.3.3
Structures des ensembles de solutions de l’équation homogène
On observe que dans tous les cas (réel ou complexe) , on peut trouver deux solutions y1 et y2 non proportionnelles
(c’est-à-dire que, dans le cas des paramètres complexes, leur quotient n’est pas une constante complexe et, dans
le cas des paramètres réels, ce quotient n’est pas une constante réelle) telles que toute solution y de (E ′ ) soit de
la forme Ay1 + By2 avec A, B ∈ K = R ou C.
Exercice 38
Trouver un couple de telles solutions (y1 ,y2 ) dans les deux cas à paramètres complexes et dans les trois cas à
paramètres réels.
5.3.4
Structure des ensembles de solutions de l’équation avec second membre
Soit (E ) y ′′ + ay ′ + by = f (x) une équation du second ordre à coefficients constants et second membre f (x).
On retiendra la description suivante :
La solution générale de (E ) est la somme d’une solution particulière de (E ) et de la solution
générale de (E ′ ).
Cela signifie qu’ayant trouvé (choisi, construit, rayer les mentions inutiles) une solution ϕ0 de (E ), toute solution
de (E ) est de la forme ϕ0 + ϕ où ϕ est une solution de l’équation sans second membre (E ′ ) associée à (E ) et
qu’inversement toute fonction de cette forme est une solution.
Exercice 39
1. Soit y une solution de (E ). Montrer que y − ϕ0 est solution de (E ′ ).
2. Soit ϕ une solution de (E ′ ). Montrer que ϕ0 + ϕ est solution de (E ).
5.3.5
Le principe de superposition
On se donne a, b, k1 , k2 des nombres réels ou complexes, f1 , f2 des fonctions continues sur un même intervalle.
On considère les équations différentielles :
(E1 ) : y ′′ + ay ′ + by = f1 (x)
(E2 ) : y ′′ + ay ′ + by = f2 (x)
(E ) : y ′′ + ay ′ + by = k1 f1 (x) + k2 f2 (x)
Si y1 est solution de (E1 ) et y2 est solution de (E2 ), alors k1 y1 + k2 y2 est solution de (E ).
30
5.3.6
Quelques cas de second membre
Compte-tenu de la description précédente, il est juste question ici de donner une solution particulière.
1. Second membre en Aeλx , A, λ ∈ C
On note encore λ1 et λ2 les solutions de l’équation caractéristique de sorte que (E ) peut s’écrire :
(y ′ − λ1 y)′ − λ2 (y ′ − λ1 y) = Aeλx ou (y ′ − λ2 y)′ − λ1 (y ′ − λ2 y) = Aeλx .
On pose alors z = y ′ − λ1 y
L’étude du premier ordre montre que si λ ∈
/ {λ1 , λ2 } alors il existe A′ ∈ C tel que z = y ′ − λ1 y = A′ eλx soit
′
λx
une solution de z − λ1 z = Ae puis qu’il existe B tel que y = Beλx soit une solution de (E ).
Puis si λ = λ1 6= λ2 (ou vice-versa) alors il existe A1 tel que y ′ − λ1 y = A1 eλx soit une solution de
l’équation z ′ − λ2 z = Aeλx puis il existe un nombre complexe B tel que y(x) = Bxeλx soit une solution de
y ′ − λ1 y = A1 eλ1 x .
def
Enfin, si λ = λ1 = λ2 = λ0 , il existe d’abord une solution z = y ′ − λ0 y = A1 xeλ0 x de z ′ − λ0 z = Aeλ0 x puis
une solution y(x) = Bx2 eλ0 x de (E ).
En résumé, le tableau suivant donne l’expression d’une solution particulière de (E ) puis de la solution
générale.
(E ) est écrite sous la forme (E ) : y ′′ +ay ′ +by = Aeλx ; λ1 et λ2 sont les solutions de l’équation caractéristique
λ2 + aλ + b = 0.
Condition
Solution particulière
Solution générale
λ∈
/ {λ1 , λ2 } et λ1 6= λ2
y(x) = Beλx
y(x) = Beλx + k1 eλ1 x + k2 eλ2 x (k1 ,k2 ) ∈ C2
λ∈
/ {λ1 , λ2 } et λ1 = λ2
y(x) = Beλx
y(x) = Beλx + (Cx + D)eλ1 x
λ = λ1 6= λ2
y(x) = Bxeλx
y(x) = Bxeλx + k1 eλ1 x + k2 eλ2 (k1 ,k2 ) ∈ C2
λ = λ1 = λ2
y(x) = Bx2 eλx
y(x) = Bx2 eλx + (Cx + D)eλx
(C,D) ∈ C2
(C,D) ∈ C2
2. Second membre en cos(ωx) ou sin(ωx) Ici, a, b et ω sont réels.
On considère les équations (ER ) : y ′′ + ay ′ + by = cos(ωx) et (EI : y ′′ + ay ′ + by = sin(ωx) où a, b et ω
sont des réels.
On pose (E ) : y ′′ + ay ′ + by = eiωx .
On voit facilement, du fait que a et b sont réels, que si f = g + ih est une solution complexe (g et h à valeurs
réelles) de (E ) alors g et h sont solution de (ER ) et (EI ) respectivement.
Nous allons donc résoudre (E ). Si a 6= 0 ou si a = 0 et b = ω 2 , alors iω n’est pas racine de (χ) : λ2 +aλ+b = 0.
Il y a donc une solution y(x) = Beiωx .
b − ω 2 − aiω
1
=
.
En remplaçant dans (E ), il vient (−ω 2 + aiω + b)Beiωx = 1 d’où B =
b − ω 2 + aiω
(b − ω 2 )2 + a2 ω 2
En résumé, pour résoudre y ′′ + ay + by = cos(ωx) et y ′′ + ay ′ + by = sin(ωx), on peut chercher une solution
y(x) = Beiωx de y ′′ + ay ′ + by = eiωx puis d’en prendre la partie réelle (dans le premier cas) ou la partie
imaginaire (dans le second cas).
On peut aussi retenir dans les deux cas, qu’il y a une solution de la forme C cos(ωx) + D sin(ωx).
Si a = 0 et b = ω 2 , alors iω est solution de (χ) : λ2 + ω 2 = 0. Alors (E) : y ′′ + ω 2 y = eiωx admet une
solution particulière de la forme y(x) = Bxeiωx donc les équations y ′′ + ω 2 y = cos(ωx) et y ′′ + y = sin(ωx)
admettent des solutions de la forme x(C cos(ωx) + D sin(ωx)).
31
5.3.7
Le problème de Cauchy
Pour une équation différentielle du second ordre (à coefficients constants) (E ) : y ′′ + ay ′ + by = f (x), le problème
de Cauchy en x0 consiste en la donnée de deux nombres y0 , y1 réels ou complexes (selon le type des solutions
recherchées)
et la recherche des solutions de
 ′′
 y + ay ′ + by = f (x)
y(x0 ) = y0

y ′ (x0 ) = y1
Fixons Y 0 une solution particulière de (E ) de sorte que la solution générale de (E ) soit y = Y0 + ϕ avec ϕ solution
′
′′
′
générale de (E
) : y + ay + by = 0.
y(x0 ) = y0 − Y0 (x0 )
y(x0 ) = y0
. On est ainsi ramené à résoudre un
équivaut alors à
Le système
y(x0 ) = y1 − Y0′ (x0 )
y(x0 ) = y1
problème de Cauchy pour les solutions de l’équation homogène.
Exercice 40
Montrer, en utilisant la forme générale des solutions, que le problème de Cauchy de l’équation homogène admet
une et une seule solution dans les trois cas suivants :
• (χ) admet deux solutions distinctes (réelles ou complexes).
• (χ) admet une solution double (réelle ou complexe).
• (E ′ ) est à coefficients réels et (χ) admet deux solutions complexes conjuguées α ± iβ.
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