Devoir 2

8MAT122 — Structures discr`etes Automne 2013
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Etudiant 1
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Etudiant 2
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Etudiant 3
Devoir 2
(`a remettre au plus tard le 4 novembre, `a 16h00)
Le devoir peut ˆetre fait seul, en ´equipe de deux ou de trois. Vous devez justifier chacune
de vos r´eponses et pr´esenter vos calculs. La d´emarche ainsi que l’utilisation correcte de la
notation math´ematique seront ´evalu´ees. Lors de la remise de votre devoir, vous devez agrafer
vos feuilles avec ces pages en premier en identifiant bien votre nom, sinon vous aurez une
p´enalit´e de 10%.
Question 1 2 3 4 5 6 7 Total
Sur 10 15 10 15 10 20 20 100
Note
1. (10 points) Soit xun nombre naturel de nchiffres. Pour i= 0,1, . . . , n −1, soit dile
i-`eme chiffre de xen lisant son ´ecriture en base 10 de droite `a gauche (par exemple, si
x= 134, alors d0= 4, d1= 3 et d2= 1). La relation entre xet les nombres dise traduit
par l’´egalit´e
x=
n−1
X
i=0
di10i.
Montrez que si la somme des chiffres de xest divisible par 3, alors xest divisible par 3.
Indice : Montrez d’abord que di(10i−1) est divisible par 3 peu importe i∈ {0,1, . . . , n}.
2. Consid´erez la suite de nombre (an)n∈Nd´efinie r´ecursivement par
a0= 2, an+1 = 1 + 1
1 + an
,pour n∈N.
(a) (5 points) Calculez anpour 0 ≤n≤9.
(b) (10 points) Montrez par induction sur nque 1 ≤an≤2 pour tout entier n≥0.
3. (10 points) Soit Tun arbre binaire de nnoeuds, dont isont des noeuds internes et
fsont des feuilles. Supposez en outre que tous les noeuds internes ont exactement 2
enfants. Montrez par induction sur nque f=i+ 1.
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8MAT122 — Structures discr`etes Automne 2013
4. (15 points) Les pixels d’un ´ecran (infini) d’ordinateur peuvent ˆetre vus math´ematiquement
comme l’ensemble Z2. Un pixel est donc simplement un ´el´ement de Z2. Deux pixels p
et qsont dits voisins s’ils se touchent `a l’horizontale ou `a la verticale, c’est-`a-dire que
si p= (x, y), alors q∈ {(x−1, y),(x+ 1, y),(x, y −1),(x, y + 1)}. Soit E⊆Z2un
sous-ensemble quelconque de pixels. On dit que Eest connexe si toute paire de pixels p
et qde Eest reli´ee par un chemin de pixels voisins, c’est-`a-dire s’il existe kpixels p1,p2,
. . .,pk, tels que les paires (p, p1), (p1, p2), (p2, p3), . . ., (pk−1, pk), (pk, q) sont des paires
de pixels voisins. Par exemple, {(0,0),(1,0),(1,1),(1,2),(2,1)}est connexe, mais pas
{(0,0),(1,0),(2,1)}, car les pixels (0,0) et (1,0) ne sont pas reli´es au pixel (2,1).
Donnez le pseudocode d’une fonction qui v´erifie si un ensemble fini de pixels est connexe
ou non. Cette fonction doit faire appel `a une fonction auxiliaire r´ecursive qui calcule
l’ensemble des pixels qui sont reli´es `a un pixel donn´e p. Vous pouvez supposer que
certaines op´erations de base sont d´ej`a impl´ement´ees (par exemple |E|, qui retourne la
cardinalit´e de l’ensemble E), mais vous devez expliquer la notation que vous utilisez
ainsi qu’un r´esum´e de ce que fait chacune des op´erations que vous introduisez.
5. (10 points) On dit d’un nombre entier qu’il est r´ep´etitif si tous ses chiffres en base 10
sont identiques. Par exemple, 33 et 999 sont des nombres r´ep´etitifs. Aussi, soit Eun
ensemble de 12 nombres distincts quelconques entre 1 et 99 inclusivement. Montrez qu’il
existe au moins deux nombres x, y ∈Etels que x−yest un nombre r´ep´etitif. Indice :
Divisibilit´e par 11 et principe des tiroirs.
6. Pour tout entier n≥0, soit Enl’ensemble des mots de longueur nsur l’alphabet {a, b}
qui ne contiennent pas le motif aa. Par exemple, abb ∈E3, mais baa /∈E3puisque aa
apparaˆıt dans baa.
(a) (5 points) ´ Enum´erez les ´el´ements de Enpour 0 ≤n≤5.
(b) (5 points) Proposez une formule pour |En|pour tout entier n≥0.
(c) (10 points) D´emontrez la formule propos´ee en (b) par induction sur n.
7. On consid`ere un jeu qui consiste `a lancer un d´e r´egulier de 6 faces num´erot´ees de 1 `a 6.
Aussitˆot que le r´esultat 6 est obtenu, vous gagnez. Par contre, si le d´e est lanc´e 20 fois
sans obtenir 6, alors vous perdez et le jeu s’arrˆete.
(a) (3 points) Quelle est la probabilit´e que vous gagniez `a ce jeu ?
(b) (10 points) Soit Xla variable al´eatoire qui compte le nombre de lancers de d´es qui
ont ´et´e faits dans une partie. Quelle est l’esp´erance math´ematique de X?
(c) (7 points) Mˆeme question qu’en (b), mais en supposant cette fois que le d´e est lanc´e
nfois.
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