Devoir 2

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8MAT122 — Structures discrètes
Automne 2013
Étudiant 1
Étudiant 2
Étudiant 3
Devoir 2
(à remettre au plus tard le 4 novembre, à 16h00)
Le devoir peut être fait seul, en équipe de deux ou de trois. Vous devez justifier chacune
de vos réponses et présenter vos calculs. La démarche ainsi que l’utilisation correcte de la
notation mathématique seront évaluées. Lors de la remise de votre devoir, vous devez agrafer
vos feuilles avec ces pages en premier en identifiant bien votre nom, sinon vous aurez une
pénalité de 10%.
Question
1
2
3
4
5
6
7
Total
Sur
10
15
10
15
10
20
20
100
Note
1. (10 points) Soit x un nombre naturel de n chiffres. Pour i = 0, 1, . . . , n − 1, soit di le
i-ème chiffre de x en lisant son écriture en base 10 de droite à gauche (par exemple, si
x = 134, alors d0 = 4, d1 = 3 et d2 = 1). La relation entre x et les nombres di se traduit
par l’égalité
n−1
X
x=
di 10i .
i=0
Montrez que si la somme des chiffres de x est divisible par 3, alors x est divisible par 3.
Indice : Montrez d’abord que di (10i − 1) est divisible par 3 peu importe i ∈ {0, 1, . . . , n}.
2. Considérez la suite de nombre (an )n∈N définie récursivement par
a0 = 2,
an+1 = 1 +
1
, pour n ∈ N.
1 + an
(a) (5 points) Calculez an pour 0 ≤ n ≤ 9.
(b) (10 points) Montrez par induction sur n que 1 ≤ an ≤ 2 pour tout entier n ≥ 0.
3. (10 points) Soit T un arbre binaire de n noeuds, dont i sont des noeuds internes et
f sont des feuilles. Supposez en outre que tous les noeuds internes ont exactement 2
enfants. Montrez par induction sur n que f = i + 1.
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8MAT122 — Structures discrètes
Automne 2013
4. (15 points) Les pixels d’un écran (infini) d’ordinateur peuvent être vus mathématiquement
comme l’ensemble Z2 . Un pixel est donc simplement un élément de Z2 . Deux pixels p
et q sont dits voisins s’ils se touchent à l’horizontale ou à la verticale, c’est-à-dire que
si p = (x, y), alors q ∈ {(x − 1, y), (x + 1, y), (x, y − 1), (x, y + 1)}. Soit E ⊆ Z2 un
sous-ensemble quelconque de pixels. On dit que E est connexe si toute paire de pixels p
et q de E est reliée par un chemin de pixels voisins, c’est-à-dire s’il existe k pixels p1 , p2 ,
. . ., pk , tels que les paires (p, p1 ), (p1 , p2 ), (p2 , p3 ), . . ., (pk−1 , pk ), (pk , q) sont des paires
de pixels voisins. Par exemple, {(0, 0), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 1)} est connexe, mais pas
{(0, 0), (1, 0), (2, 1)}, car les pixels (0, 0) et (1, 0) ne sont pas reliés au pixel (2, 1).
Donnez le pseudocode d’une fonction qui vérifie si un ensemble fini de pixels est connexe
ou non. Cette fonction doit faire appel à une fonction auxiliaire récursive qui calcule
l’ensemble des pixels qui sont reliés à un pixel donné p. Vous pouvez supposer que
certaines opérations de base sont déjà implémentées (par exemple |E|, qui retourne la
cardinalité de l’ensemble E), mais vous devez expliquer la notation que vous utilisez
ainsi qu’un résumé de ce que fait chacune des opérations que vous introduisez.
5. (10 points) On dit d’un nombre entier qu’il est répétitif si tous ses chiffres en base 10
sont identiques. Par exemple, 33 et 999 sont des nombres répétitifs. Aussi, soit E un
ensemble de 12 nombres distincts quelconques entre 1 et 99 inclusivement. Montrez qu’il
existe au moins deux nombres x, y ∈ E tels que x − y est un nombre répétitif. Indice :
Divisibilité par 11 et principe des tiroirs.
6. Pour tout entier n ≥ 0, soit En l’ensemble des mots de longueur n sur l’alphabet {a, b}
qui ne contiennent pas le motif aa. Par exemple, abb ∈ E3 , mais baa ∈
/ E3 puisque aa
apparaı̂t dans baa.
(a) (5 points) Énumérez les éléments de En pour 0 ≤ n ≤ 5.
(b) (5 points) Proposez une formule pour |En | pour tout entier n ≥ 0.
(c) (10 points) Démontrez la formule proposée en (b) par induction sur n.
7. On considère un jeu qui consiste à lancer un dé régulier de 6 faces numérotées de 1 à 6.
Aussitôt que le résultat 6 est obtenu, vous gagnez. Par contre, si le dé est lancé 20 fois
sans obtenir 6, alors vous perdez et le jeu s’arrête.
(a) (3 points) Quelle est la probabilité que vous gagniez à ce jeu ?
(b) (10 points) Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de lancers de dés qui
ont été faits dans une partie. Quelle est l’espérance mathématique de X ?
(c) (7 points) Même question qu’en (b), mais en supposant cette fois que le dé est lancé
n fois.
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