1−P(X=0) - Math in LdH 09

Classe de 1ère S1 Corrigé Évaluation du 22 mai
G Loi binomiale, étude d'une fonction.
Exercice 1 (7 points)
Une classe comporte 3o élèves dont 14 filles. A chaque cours le professeur interroge au hasard un élève sans
se souvenir quels élèves il a précédemment interrogés.
Soit n un entier positif. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de filles interrogées lors
de n cours consécutifs.
1. Quelle est la loi de probabilité de X ?
2. Quelle est la probabilité que sur 10 cours consécutifs soient interrogées 4 filles exactement ? Au
moins 4 filles ?
3. Quel doit être le nombre minimal de cours consécutifs pour que la probabilité qu'aucune fille ne
soit interrogée soit inférieure à
10−4
1. Trois points :
•Prendre en compte le sexe de l'élève interrogé est bien une épreuve de Bernoulli de
paramètre de succès (fille)
14
30 =7 15
.
•Les répétitions, chaque cours de ces interrogations sont indépendantes puisque le
professeur ne tient pas compte des précédentes. Il s'agit bien d'un schéma de
Bernoulli.
•La Variable aléatoire X dénombre les succès de cette expérience
X suit donc une loi binomiale de paramètre n (nombre de jours) et
p=7
15
soit
B
(
n;7
15
)
.
2.. 10 cours consécutifs, donc n=10…
« 4 filles exactement » est l'événement
( X=4 )
et
P
(
X=4
)
=
(
10
4
)
×
(
7
15
)
4
×
(
8
15
)
6
≈0 ,229
« au moins 4 filles » est
( X⩾4 )
et je sais que
P ( X⩽4 ) =1−P ( X<4 ) =1−P ( X⩽3 ) ≈0 ,768
3.. « aucune fille interrogées » est l'événement (X=0) et
P
(
X=0
)
=
(
n
0
)
×
(
7
15
)
0
×
(
8
15
)
n
=
(
8
15
)
n
A l'aide des tables de suites j'observe que
(
8
15
)
n
<10−4
dès que
n⩾15
.
15 est la valeur cherchée
Exercice 2 (6 points)
Monsieur C commercial dans une entreprise, doit rencontrer 10 clients chaque jour ; chacune de ses visites
est indépendante des autres et Monsieur C constate que la probabilité qu'il rencontrer effectivement le client
lors d'une visite est 0,7.
X est le nombres de client effectivement rencontrés au cours d'une journée.
1. Donner la loi de X.
2. Déterminer la probabilité que Monsieur C rencontre au moins un client.
3. Déterminer à
10−3
près la probabilité qu'il rencontre au moins la moitié de ses clients.
4. Combien peut il espérer rencontrer de clients chaque jour ?
1.. Visiter un client avec une probabilité de rencontre de 0,7 est bien une épreuve de
Bernoulli.
Les 10 visites sont indépendantes, elles constituent un schéma de Bernoulli.
La variable X qui dénombre les rencontres effectives suit donc la loi binomiale
B ( 10; 0,7 )
2.. C rencontre au moins un client est l'événement
( X⩾1 )
P
(
X⩽1
)
=1−P
(
X=0
)
1−0,310≈0 , 999
3.. L'événement considéré est ici
( X⩾5 )
et
P ( X⩾5 ) =1−P ( X⩽4 ) ≈0 ,768
.
4.. le nombre de clients qu'il peut espérer rencontrer quotidiennement est l'espérance de X
et :
E ( X ) =n×p=7
Exercice 3 (7 points)
f
est la fonction définie sur
[
−1; 5
]
par
f ( x ) =1
6x³−x2+3 2x−1
1. Dresser le tableau de variation de f sur I.
2. En déduire un encadrement de
f
(
x
)
pour tout x de I.
3. Citer, s'il en existe, en quel(s) point(s) la courbe admet une tangente horizontale.
4. La courbe de f admet elle des tangentes parallèles à la droite
y=1,5 x
? Si oui en quels points
et donner alors les équations de ces tangentes
f
est une fonction polynôme donc dérivable sur [-1;5]
f '
(
x
)
=1
2x²−2x+3 2=1 2
(
x²−4x+3
)
Ce trinôme du second degré admet deux racines
-1 et 3 (
Δ
=4), et je sais qu'un tel trinôme est toujours du signe de son coefficient en
x2
sauf entre ses racines, d'où le tableau de signe de f' et par déduction celui des variations de
f regroupés en un seul tableau :
x
-1 1 3 5
signe de
f '
+ 0
−
0 +
-1/3 7/3
f
-11/3 -1
f admet sur [-1;5] pour minimum -11/3 et pour maximum 7/3 ce qui se traduit par
l'encadrement :
∀x∈ [ −1 ; 5 ]
:
−11
3⩽x⩽7 3
La courbe de f admet des tangentes horizontales lorsque la fonction dérivéede f est nulle,
c'est à dire en les points d'abscisses 1 et 3 soit en les points A(1 ;-1/3) et B(3 ;-1) .
La courbe de f admet des tangentes parallèles à la droite d'équation y=1,5x si le nombre
dérivé de f en l'abscisse de ces points égale le coefficient directeur 1,5=3/2.
Je dois donc résoudre :
f '
(
x
)
=3
2⇔1 2
(
x²−4x+3
)
=3
2⇔1 x²−4x=0⇔x
(
x−4
)
=0⇔
(
x=0 ou x=4
)
Cf a une tangente parallèle à
( y=1 ,5 x )
en les points
E ( 0;−1 )
et
F
(
4 ;−1
3
)
et ces
tangentes ont alors pour équation :
TE:y=1,5 x−1
et
TF:y=1,5 x−19
3

Classe de 1ère S1 Corrigé Évaluation du 22 mai
D Loi binomiale, étude d'une fonction.
Exercice 1 (7 points)
Une classe comporte 3o élèves dont 22 filles. A chaque cours le professeur interroge au hasard un élève sans
se souvenir quels élèves il a précédemment interrogés.
Soit n un entier positif. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de filles interrogées lors
de n cours consécutifs.
4. Quelle est la loi de probabilité de X ?
5. Quelle est la probabilité que sur 10 cours consécutifs soient interrogées 6 filles exactement ? Au
moins 6 filles ?
6. Quel doit être le nombre minimal de cours consécutifs pour que la probabilité qu'aucune fille ne
soit interrogée soit inférieure à
10−4
1. Trois points :
•Prendre en compte le sexe de l'élève interrogé est bien une épreuve de Bernoulli de
paramètre de succès (fille)
22
30 =11 15
.
•Les répétitions, chaque cours de ces interrogations sont indépendantes puisque le
professeur ne tient pas compte des précédentes. Il s'agit bien d'un schéma de
Bernoulli.
•La Variable aléatoire X dénombre les succès de cette expérience
X suit donc une loi binomiale de paramètre n (nombre de jours) et
p=11
15
soit
B
(
n;11
15
)
.
2.. 10 cours consécutifs, donc n=10…
« 6 filles exactement » est l'événement
( X=6 )
et
P
(
X=6
)
=
(
10
6
)
×
(
11
15
)
6
×
(
4
15
)
4
≈0, 165
« au moins 6 filles » est
( X⩾6 )
et je sais que
P ( X⩽6 ) =1−P ( X<6 ) =1−P ( X⩽5 ) ≈0 , 901
3.. « aucune fille interrogées » est l'événement (X=0) et
P
(
X=0
)
=
(
n
0
)
×
(
11
15
)
0
×
(
4
15
)
n
=
(
4
15
)
n
A l'aide des tables de suites j'observe que
(
4
15
)
n
<10−4
dès que
n⩾7
.
7 est la valeur cherchée
Exercice 2 (6 points)
Monsieur C commercial dans une entreprise, doit rencontrer 12 clients chaque jour ; chacune de ses visites
est indépendante des autres et Monsieur C constate que la probabilité qu'il rencontrer effectivement le client
lors d'une visite est 0,8.
X est le nombres de client effectivement rencontrés au cours d'une journée.
1. Donner la loi de X.
2. Déterminer la probabilité que Monsieur C rencontre au moins un client.
3. Déterminer à
10−3
près la probabilité qu'il rencontre au moins la moitié de ses clients.
4. Combien peut il espérer rencontrer de clients chaque jour ?
1.. Visiter un client avec une probabilité de rencontre de 0,7 est bien une épreuve de
Bernoulli.
Les 12 visites sont indépendantes, elles constituent un schéma de Bernoulli.
La variable X qui dénombre les rencontres effectives suit donc la loi binomiale
B ( 12; 0,8 )
2.. C rencontre au moins un client est l'événement
( X⩾1 )
P
(
X⩽1
)
=1−P
(
X=0
)
1−0,212≈0 , 999
3.. L'événement considéré est ici
( X⩾6 )
et
P ( X⩾6 ) =1−P ( X⩽5 ) ≈0 ,996
.
4.. le nombre de clients qu'il peut espérer rencontrer quotidiennement est l'espérance de X
et :
E ( X ) =n×p=9 ,6
Exercice 3 (7 points)
f
est la fonction définie sur
[
−1; 5
]
par
f ( x ) =1
6x³−x2+3 2x−1
1. Dresser le tableau de variation de f sur I.
2. En déduire un encadrement de
f
(
x
)
pour tout x de I.
3. Citer, s'il en existe, en quel(s) point(s) la courbe admet une tangente horizontale.
4. La courbe de f admet elle des tangentes parallèles à la droite
y=1,5 x
? Si oui en quels points
et donner alors les équations de ces tangentes
f
est une fonction polynôme donc dérivable sur [-1;5]
f '
(
x
)
=1
2x²−2x+3 2=1 2
(
x²−4x+3
)
Ce trinôme du second degré admet deux racines
-1 et 3 (
Δ
=4), et je sais qu'un tel trinôme est toujours du signe de son coefficient en
x2
sauf entre ses racines, d'où le tableau de signe de f' et par déduction celui des variations de
f regroupés en un seul tableau :
x
-1 1 3 5
signe de
f '
+ 0
−
0 +
-1/3 7/3
f
-11/3 -1
f admet sur [-1;5] pour minimum -11/3 et pour maximum 7/3 ce qui se traduit par
l'encadrement :
∀x∈ [ −1 ; 5 ]
:
−11
3⩽x⩽7 3
La courbe de f admet des tangentes horizontales lorsque la fonction dérivéede f est nulle,
c'est à dire en les points d'abscisses 1 et 3 soit en les points A(1 ;-1/3) et B(3 ;-1) .
La courbe de f admet des tangentes parallèles à la droite d'équation y=1,5x si le nombre
dérivé de f en l'abscisse de ces points égale le coefficient directeur 1,5=3/2.
Je dois donc résoudre :
f '
(
x
)
=3
2⇔1 2
(
x²−4x+3
)
=3
2⇔1 x²−4x=0⇔x
(
x−4
)
=0⇔
(
x=0 ou x=4
)
Cf a une tangente parallèle à
( y=1 ,5 x )
en les points
E ( 0 ;−1 )
et
F
(
4 ;−1
3
)
et ces
tangentes ont alors pour équation :
TE:y=1,5 x−1
et
TF:y=1,5 x−19
3