1−P(X=0) - Math in LdH 09

Classe de 1ère S1
G
Corrigé Évaluation du 22 mai
Loi binomiale, étude d'une fonction.
Exercice 1
(7 points)
Une classe comporte 3o élèves dont 14 filles. A chaque cours le professeur interroge au hasard un élève sans
se souvenir quels élèves il a précédemment interrogés.
Soit n un entier positif. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de filles interrogées lors
de n cours consécutifs.
1. Quelle est la loi de probabilité de X ?
2. Quelle est la probabilité que sur 10 cours consécutifs soient interrogées 4 filles exactement ? Au
moins 4 filles ?
3. Quel doit être le nombre minimal de cours consécutifs pour que la probabilité qu'aucune fille ne
−4
soit interrogée soit inférieure à 10
1. Trois points :
• Prendre en compte le sexe de l'élève interrogé est bien une épreuve de Bernoulli de
14
7
=
paramètre de succès (fille)
.
30 15
• Les répétitions, chaque cours de ces interrogations sont indépendantes puisque le
professeur ne tient pas compte des précédentes. Il s'agit bien d'un schéma de
Bernoulli.
• La Variable aléatoire X dénombre les succès de cette expérience
7
7
X suit donc une loi binomiale de paramètre n (nombre de jours) et p=
soit B n ;
.
15
15
2.. 10 cours consécutifs, donc n=10…
7 4
8 6
×
≈0 ,229
« 4 filles exactement » est l'événement ( X=4 ) et P ( X=4 ) = 10 ×
4
15
15
« au moins 4 filles » est ( X⩾4 ) et je sais que P ( X⩽4 ) =1−P ( X< 4 ) =1−P ( X⩽3 ) ≈0 ,768
3.. « aucune fille interrogées » est l'événement (X=0) et
7 0
8 n
8 n
P ( X=0 )= n ×
×
=
0
15
15
15
8 n
<10−4 dès que n⩾15 .
A l'aide des tables de suites j'observe que
15
15 est la valeur cherchée
(
)
( )( ) ( )
()( ) ( ) ( )
( )
Exercice 2
(6 points)
Monsieur C commercial dans une entreprise, doit rencontrer 10 clients chaque jour ; chacune de ses visites
est indépendante des autres et Monsieur C constate que la probabilité qu'il rencontrer effectivement le client
lors d'une visite est 0,7.
X est le nombres de client effectivement rencontrés au cours d'une journée.
1. Donner la loi de X.
2. Déterminer la probabilité que Monsieur C rencontre au moins un client.
−3
3. Déterminer à 10 près la probabilité qu'il rencontre au moins la moitié de ses clients.
4. Combien peut il espérer rencontrer de clients chaque jour ?
1.. Visiter un client avec une probabilité de rencontre de 0,7 est bien une épreuve de
Bernoulli.
Les 10 visites sont indépendantes, elles constituent un schéma de Bernoulli.
La variable X qui dénombre les rencontres effectives suit donc la loi binomiale B ( 10; 0,7 )
2.. C rencontre au moins un client est l'événement ( X⩾1 )
P ( X⩽1 ) =1−P ( X=0 ) 1−0 ,3 10≈0 , 999
3.. L'événement considéré est ici ( X⩾5 ) et P ( X⩾5 )=1−P ( X⩽4 ) ≈0 ,768 .
4.. le nombre de clients qu'il peut espérer rencontrer quotidiennement est l'espérance de X
et : E ( X )=n× p=7
Exercice 3
(7 points)
1
3
x ³− x 2 + x −1
6
2
Dresser le tableau de variation de f sur I.
En déduire un encadrement de f ( x ) pour tout x de I.
Citer, s'il en existe, en quel(s) point(s) la courbe admet une tangente horizontale.
La courbe de f admet elle des tangentes parallèles à la droite y =1,5 x ? Si oui en quels points
et donner alors les équations de ces tangentes
f est la fonction définie sur [ −1; 5 ] par f ( x )=
1.
2.
3.
4.
f est une fonction polynôme donc dérivable sur [-1;5]
1
3 1
f ' ( x ) = x ²−2 x+ = ( x ²−4 x + 3 ) Ce trinôme du second degré admet deux racines
2
2 2
2
-1 et 3 ( Δ =4), et je sais qu'un tel trinôme est toujours du signe de son coefficient en x
sauf entre ses racines, d'où le tableau de signe de f' et par déduction celui des variations de
f regroupés en un seul tableau :
x
-1
signe de f '
1
+
0
3
−
5
0
+
-1/3
7/3
f
-11/3
-1
f admet sur [-1;5] pour minimum -11/3 et pour maximum 7/3 ce qui se traduit par
11
7
l'encadrement : ∀ x ∈ [−1 ; 5 ] : − ⩽x ⩽
3
3
La courbe de f admet des tangentes horizontales lorsque la fonction dérivéede f est nulle,
c'est à dire en les points d'abscisses 1 et 3 soit en les points A(1 ;-1/3) et B(3 ;-1) .
La courbe de f admet des tangentes parallèles à la droite d'équation y=1,5x si le nombre
dérivé de f en l'abscisse de ces points égale le coefficient directeur 1,5=3/2.
Je dois donc résoudre :
3 1
3
1
f ' ( x ) = ⇔ ( x ²−4 x +3 )= ⇔
=0⇔ x ( x −4 ) =0 ⇔ ( x=0 ou x =4 )
2 2
2
x ²−4 x
1
Cf a une tangente parallèle à ( y =1 ,5 x ) en les points E ( 0 ;−1 ) et F 4 ;−
et ces
3
19
tangentes ont alors pour équation : T E : y =1 ,5 x−1 et T F : y=1 ,5 x−
3
(
)
Classe de 1ère S1
Corrigé Évaluation du 22 mai
D
Loi binomiale, étude d'une fonction.
Exercice 1
(7 points)
Une classe comporte 3o élèves dont 22 filles. A chaque cours le professeur interroge au hasard un élève sans
se souvenir quels élèves il a précédemment interrogés.
Soit n un entier positif. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de filles interrogées lors
de n cours consécutifs.
4. Quelle est la loi de probabilité de X ?
5. Quelle est la probabilité que sur 10 cours consécutifs soient interrogées 6 filles exactement ? Au
moins 6 filles ?
6. Quel doit être le nombre minimal de cours consécutifs pour que la probabilité qu'aucune fille ne
−4
soit interrogée soit inférieure à 10
1. Trois points :
• Prendre en compte le sexe de l'élève interrogé est bien une épreuve de Bernoulli de
22 11
=
paramètre de succès (fille)
.
30 15
• Les répétitions, chaque cours de ces interrogations sont indépendantes puisque le
professeur ne tient pas compte des précédentes. Il s'agit bien d'un schéma de
Bernoulli.
• La Variable aléatoire X dénombre les succès de cette expérience
11
11
X suit donc une loi binomiale de paramètre n (nombre de jours) et p=
soit B n ;
.
15
15
2.. 10 cours consécutifs, donc n=10…
11 6
4 4
×
≈0 , 165
« 6 filles exactement » est l'événement ( X=6 ) et P ( X=6 ) = 10 ×
6
15
15
« au moins 6 filles » est ( X⩾6 ) et je sais que
P ( X⩽6 ) =1−P ( X<6 ) =1−P ( X⩽5 ) ≈0 , 901
3.. « aucune fille interrogées » est l'événement (X=0) et
11 0
4 n
4 n
P ( X=0 )= n ×
×
=
0
15
15
15
4 n
<10−4 dès que n⩾7 .
A l'aide des tables de suites j'observe que
15
7 est la valeur cherchée
(
)
( )( ) ( )
()( ) ( ) ( )
( )
Exercice 2
(6 points)
Monsieur C commercial dans une entreprise, doit rencontrer 12 clients chaque jour ; chacune de ses visites
est indépendante des autres et Monsieur C constate que la probabilité qu'il rencontrer effectivement le client
lors d'une visite est 0,8.
X est le nombres de client effectivement rencontrés au cours d'une journée.
1. Donner la loi de X.
2. Déterminer la probabilité que Monsieur C rencontre au moins un client.
−3
3. Déterminer à 10 près la probabilité qu'il rencontre au moins la moitié de ses clients.
4. Combien peut il espérer rencontrer de clients chaque jour ?
1.. Visiter un client avec une probabilité de rencontre de 0,7 est bien une épreuve de
Bernoulli.
Les 12 visites sont indépendantes, elles constituent un schéma de Bernoulli.
La variable X qui dénombre les rencontres effectives suit donc la loi binomiale B ( 12; 0,8 )
2.. C rencontre au moins un client est l'événement ( X⩾1 )
P ( X⩽1 ) =1−P ( X=0 ) 1−0 ,2 12≈0 , 999
3.. L'événement considéré est ici ( X⩾6 ) et P ( X⩾6 ) =1−P ( X⩽5 )≈0 ,996 .
4.. le nombre de clients qu'il peut espérer rencontrer quotidiennement est l'espérance de X
et : E ( X )=n× p=9 ,6
Exercice 3
(7 points)
1
3
x ³− x 2 + x −1
6
2
Dresser le tableau de variation de f sur I.
En déduire un encadrement de f ( x ) pour tout x de I.
Citer, s'il en existe, en quel(s) point(s) la courbe admet une tangente horizontale.
La courbe de f admet elle des tangentes parallèles à la droite y =1,5 x ? Si oui en quels points
et donner alors les équations de ces tangentes
f est la fonction définie sur [ −1; 5 ] par f ( x )=
1.
2.
3.
4.
f est une fonction polynôme donc dérivable sur [-1;5]
1
3 1
f ' ( x ) = x ²−2 x+ = ( x ²−4 x + 3 ) Ce trinôme du second degré admet deux racines
2
2 2
2
-1 et 3 ( Δ =4), et je sais qu'un tel trinôme est toujours du signe de son coefficient en x
sauf entre ses racines, d'où le tableau de signe de f' et par déduction celui des variations de
f regroupés en un seul tableau :
x
-1
signe de f '
1
+
0
3
−
5
0
+
-1/3
7/3
f
-11/3
-1
f admet sur [-1;5] pour minimum -11/3 et pour maximum 7/3 ce qui se traduit par
11
7
l'encadrement : ∀ x ∈ [−1 ; 5 ] : − ⩽x ⩽
3
3
La courbe de f admet des tangentes horizontales lorsque la fonction dérivéede f est nulle,
c'est à dire en les points d'abscisses 1 et 3 soit en les points A(1 ;-1/3) et B(3 ;-1) .
La courbe de f admet des tangentes parallèles à la droite d'équation y=1,5x si le nombre
dérivé de f en l'abscisse de ces points égale le coefficient directeur 1,5=3/2.
Je dois donc résoudre :
3 1
3
1
f ' ( x ) = ⇔ ( x ²−4 x +3 )= ⇔
=0⇔ x ( x −4 ) =0 ⇔ ( x=0 ou x =4 )
2 2
2
x ²−4 x
1
Cf a une tangente parallèle à ( y =1 ,5 x ) en les points E ( 0 ;−1 ) et F 4 ;−
et ces
3
19
tangentes ont alors pour équation : T E : y =1 ,5 x−1 et T F : y=1 ,5 x−
3
(
)