Probabilités.

Probabilités.
I-
Rappel : trois exemples.
Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles.
Tous les élèves sont blonds ou bruns.
 Parmi les filles, 6 sont blondes.
 Parmi les garçons, 3 sont blonds.
On choisit au hasard un élève de la classe.
Tous les élèves ont la même probabilité d’être choisis.
On définit les évènements suivants.
F : « l’élève choisi est une fille »
G : « l’élève choisi est un garçon »
B : « l’élève choisi est blond (ou blonde) »
Quelle est la probabilité de l’évènement F ?
Rappelez la formule et expliquez pourquoi vous pouvez l’utiliser.
Quelle est la probabilité de l’évènement G ?
Rappelez la formule utilisée.
Que signifie l’événement F ∩ B ?
Calculer sa probabilité.
Que signifie l’événement F ∪ B ?
Calculer sa probabilité. Rappelez la formule utilisée.
Donner la signification des évènements suivants puis calculer leur
probabilités.
B ; 𝐵̅ ; G ∩ B ; G ∪ B ; 𝐹̅ ∩ 𝐵̅ .
Exemple 2 : On dispose d’un dé truqué.
On sait que :
p(1) = p(2) =1/6 ;
p(3) = 1/3
p(4) = p(5) =1/12
1) Que signifie p(1) ?
2) Calculer p(6).
Exemple 3 : On lance deux pièces de monnaie équilibrées.
1) Utiliser un arbre pour déterminer les événements élémentaires, puis
définir une loi de probabilité.
L’ensemble des événements élémentaires est appelé l’univers.
Ω=
2) Déterminer un autre univers pour cette expérience puis définir une loi
de probabilité.
II -
Variables aléatoires.
Définition : Lorsqu’à chaque événement élémentaire d’une expérience
aléatoire on associe un nombre réel, on définit une variable aléatoire.
Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x1 ;….xn.
L’événement « X prend la valeur xi » est noté (X = xi ).
Définir une loi de probabilité de X, c’est donner la valeur de p(X = xi),
pour tout i, avec 1 ≤ i ≤ n.
2) On tire deux boules avec remise.
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X donnant le
nombre de points.
(on pourra faire une tableau ou un arbre pondéré pour avoir toutes les
issues possibles)
Exemple 3 : Une partie de « chance » coûte 2 € à un stand ;
La partie consiste à lancer trois pièces de monnaie équilibrées.
Si on obtient trois fois Pile, on gagne 10 €.
Sinon on perd.
Exemple 1: On lance deux pièces de monnaie équilibrées. On définit une
loi de probabilité X sur l’univers Ω = {PP ; PF ; FP ;FF} égale au nombre
de fois que l’on a obtenu « Face ».
1) Faire un arbre pour avoir toutes les issues
2) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G donnant le
Gain (algébrique)
Les valeurs prises par cette variable sont : 0 , 1 et 2.
On a :
(X = 0) = {PP}
; (X=1) = {PF ;FP} ; (X=2) = {FF}
3) Que fait cet algorithme ?
Loi de probabilité :
Valeur xi prises
par X.
0
1
2
Probabilité
Entieraléatoire(n ;p)
Est une instruction qui renvoie
un entier aléatoire entre n et p.
TI : Math + PRB
entAlea (
Algo simulation
Début
Entieraléatoire(0,1) ↦ A
Entieraléatoire(0,1) ↦ B
Casio : OPTN + prob
Entieraléatoire(0,1) ↦ C
: RanInt(
A+B+C↦N
Si N = 3
Alors afficher « vous avez gagné 8 € »
Sinon afficher « vous avez perdu 2 € »
Exemple 2 : Une urne contient 9 boules indiscernables au toucher.
5 boules noires, 3 boules blanches et 1 boule jaune.
Une boule noire fait perdre 1 point.
Une boule blanche fait gagner 2 point.
La boule jaune fait gagner 3 points.
Finsi
1) On tire une boule de l’urne. Définir la loi de probabilité de la variable
aléatoire X donnant le nombre de points.
Peut-on remplacer les trois lignes Entieraléatoire (…)
par un ligne Entieraléatoire(0 ;3)
Remarque :
Si on remplace A + B + C ↦ N par A×B×C ↦ N
que doit-on mettre après : Si N = …
4) Ecrire un algorithme qui simule plusieurs parties et qui donne le gain
final.
En entrée : le nombre de parties à simuler
En sortie : Le gain final.
6) Programmation (livre p V)
Sur TI
Sur casio
Algorithme n_parties_chance
Program gain moy
: Disp “ nb de parties”
: prompt N
: 0↦G
: For ( i, 1,N)
: entAlea (0,1)↦A
: entAlea (0,1)↦B
: entAlea (0,1)↦C
:A+B+C↦D
: If D = 3
: Then
:G+8↦G
: Else
:G–2↦G
: End
: End
: Disp “ le gain est : “, G
: Disp " le gain moyen ", G/N
====gain moy=========
“nb de parties”
?↦ N
0↦G
for 1 ↦ I to N step 1
ranint(0,1) ↦A
ranint(0,1) ↦B
ranint(0,1) ↦C
A+B+C↦D
If D = 3
Then G + 8 ↦ G
Début
Afficher "nombre de parties »
Entrer N
0↦G
Pour i allant de 1 à N faire
Entieraléatoire(0,1) ↦ A
Entieraléatoire(0,1) ↦ B
Entieraléatoire(0,1) ↦ C
A +B + C ↦ D
Si D = 3
Alors G + 8 ↦G
Sinon G -2 ↦ G
Finsi
Finpour
Afficher "le gain est : ", G
TI : « = » se
trouve dans test
Fin
else G – 2 ↦ G
Endif
Next
“le gain est :" : G
" le gain moyen ", G/N
5) Modifier l’algorithme pour qu’il donne le gain moyen par partie.
Remarques : Si on effectue un très grand nombre de fois cette partie, on
pourrait voir que le gain moyen se rapproche de -0,75.
On pourrait donc dire que l’on peut espérer gagner -0,75€ par partie on
plutôt on dirait que l’on peut espérer perdre 0,75 € par partie !!!
La valeur -0,75 est l’espérance de la variable aléatoire du gain.
L’espérance est à une variable aléatoire ce que la moyenne est à une série
statistique.
L’espérance est un des outils de base des assureurs, banquiers, joueurs de
poker averti.
III - Espérance, variance et écart-type.
Soit X une variable aléatoire.
Valeur xi
x1
Probabilité
p1
x2
p2
….
…
xn
pn
Définitions :
 L’espérance mathématique de la variable aléatoire X est le réel
E(X) défini par :
E(X) = x1 p1+ x2 p2 + … + xn pn = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑝𝑖

La variance de la variable aléatoire X est le réel positif V(X)
défini par :
V(X) = p1 ×(x1- E(X))2+ p2 ×(x2- E(X))2+ …+ pn ×(xn- E(X))2
Propriétés :
E(aX + b) = aE(X) + b
V(aX) = a2 ×V(X)
Démonstration : p 187
E(aX + b) = p1(ax1 +b) + p2(ax2 +b)+ …+ pn(axn +b)
= a × (p1x1 + p2x2 + …+ pnxn) +b× (p1 + p2+ …+ pn)
=a× E(X) + b
V(aX)
V(X) =∑𝑛𝑖=1 𝑝𝑖 × (𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋))²

Notons Y la variable aléatoire définie par : Y = aX + b avec a et b deux
réels.
Valeur de Y
a×x1 + b
a×x2 + b
….
a×xn + b
Probabilité
p1
p2
…
pn
2
= ∑𝑛𝑖=1 𝑝𝑖 × (𝑎𝑥𝑖 − 𝐸(𝑎𝑋)) = ∑𝑛𝑖=1 𝑝𝑖 × (𝑎𝑥𝑖 − 𝑎𝐸(𝑋))
= ∑𝑛𝑖=1 𝑝𝑖 × 𝑎2 (𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋))
L’écart type σ est défini par : σ = √𝑉(𝑋)
Exemple : Espérance de la partie « chance »
Gain xi
8
Probabilité
1/8
1
7
6
E(X) = 8× 8 + (-2) ×8 = − 8 = - 0, 75
En moyenne, on peut espérer perdre 0,75 € par partie.
La variance est :
2
2
1
7
V(X) = 8 × (8 − (−0,75)) + 8 (−2 − (−0,75)) .
V(X) = 10,9375
L’écart type est : σ = √𝑉(𝑋) ≈ 3, 31
2
2
= 𝑎2 ∑𝑛𝑖=1 𝑝𝑖 × (𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋))²
= 𝑎2 𝑉(𝑋)
-2
7/8
Exemple : On lance deux dés. La variable aléatoire X donne la somme du
nombre de points des deux dés.
1) Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire X puis calculer
l’espérance de X. (On pourra faire un tableau pour avoir toutes les issues)
2) Chaque point rapporte deux euros. Calculer l’espérance de la variable
aléatoire G donnant le gain.
3) a) Si on fait payer 5 euros la partie. Calculer l’espérance de la variable
aléatoire B donnant le gain effectif.
b) Combien doit-on faire payer une partie pour qu’elle soit équitable ?