(a) f(x)

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Feuille no1 : Limites et continuit´e
1. D´eterminer la limite en ade la fonction fdans les cas suivants:
(a) f(x) = −x2+ 3x−2; a= +∞
(b) f(x) = x3+x2;a=−∞
(c) f(x) = 2x+ 1
x−3;a= +∞
(d) f(x) = x2−6x+ 7
3x2−5;a=−∞
(e) f(x) = √x2+x+ 1; a=−∞, a = +∞
(f) f(x) = sin 1
x;a=−∞, a = +∞
(g) f(x) = 1−cos x
x;a= 0
(h) f(x) = 2−√x+ 1
x−3;a= 3
(i) f(x) = √x+ 1 −2
√x−2−1;a= 3
(j) f(x) = 1−cos 2x
x2;a= 0
(k) f(x) = 1−cos x
x2;a= 0
(l) f(x) = sin 3x
1−2 cos x;a=π 3
(m) f(x) = √x2−1−x;a=−∞, a = +∞
(n) f(x) = √4x2+ 2x−1−2x+ 3; a=−∞, a = +∞
(o) f(x) = √4x2+x+ 1 −x
3x;a=−∞
2. Dans les exemples ci-dessous , la fonction fpeut-elle ˆetre prolong´ee par continuit´e en a?
Si oui, pr´ecisez le prolongement obtenu.
(a) Sur ]0 + ∞[, f:x$→ tan x
x;a= 0.
(b) Sur ]0 + ∞[, f:x$→ 1−cos 2x
3x2;a= 0.
(c) Sur ] 1
2+∞[, f :x$→ cos(πx) 2x−1;a=1 2.
(d) Sur ]0 + ∞[, f :x$→ sin x
x2;a= 0.
(e) f(x) = x2+|x|
x;a= 0.
(f) f(x) = (x−2)2
x2+x−6;a= 2.

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3. Soit fla fonction d´efinie par f(x) = 
x2+ax si x∈]− ∞,−1]
2x−1 si x∈]−1,1[
b(x2−1) si x∈]1,+∞[
(a) Peut-on trouver une valeur de apour laquelle fest continue sur ] − ∞,1] ?
(b) Peut-on trouver une valeur de bpour laquelle fest continue sur [−1,+∞[ ?
4. Soient fet gles fonctions r´eelles de la variable r´eelle d´efinies par
f(t) = t
t−1e
−2
t−1g(t) = tf(t).
D´eterminer le domaine de d´efinition Dde fet get ´etudier le comportement de ces fonctions
aux extr´emit´es des intervalles de D(possibilit´e de prolongement, branches infinies).
5. On d´efinit la fonction num´erique gpar
g(0) = a g(x) = x
ex−1pour x'= 0 .
Pour quelle valeur de ala fonction gest-elle continue ?
6. D´emontrer que lim
x→+∞
sin x2
E(x)= 0 (E(x) d´esigne la partie enti`ere de x).
7. D´emontrer que la fonction d´efinie par f(x) = sin x2n’a pas de limite quand xtend vers
+∞.
8. Soit fune fonction continue sur R+∗v´erifiant
∀(x, y)∈R+∗×R+∗f(x.y) = f(x) + f(y) Propri´et´e (P)
(a) Calculer f(1).
(b) Calculer f(xn) en fonction de f(x) (par r´ecurrence).
(c) Calculer f(1
x) en fonction de f(x).
(d) Montrer que lim
x→+∞f(x) = +∞.
(e) En d´eduire la limite `a droite de fen 0.
(f) Trouver une fonction qui v´erifie la propri´et´e (P).

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Feuille no2 : Fonctions d´erivables
1. Etablir pour tout x > 0, les in´egalit´es
x
x+ 1 <log (1 + x)< x .
2. D´eterminer les limites suivantes
(a) lim
x→0
1−ex2
1−cos x
(b) lim
x→0
1
sin2x−1
x2
(c) lim
x→0%x2+x+ 1 −3
%x3+x+ 1
3. Un voilier est au mouillage en un point Asitu´e `a 9 km de la cˆote suppos´ee rectiligne. La
ville la plus proche est `a 15 km du point Bde la cˆote le plus pr`es du voilier. Pour rejoindre
la ville le matelot dispose d’un canot pour rejoindre la cˆote et termine ensuite son voyage
`a pied. Sachant qu’il se d´eplace `a 4 km `a l’heure en canot et `a 5 km `a l’heure `a pied et
qu’il est press´e, calculer l’endroit de la cˆote o`u il a int´erˆet `a d´ebarquer pour que le temps
de parcours total soit le plus court.
4. On consid`ere la fonction d´efinie sur Rpar
f(x) = 2−%2x2(1 + x2)
x−1.
(a) Quel est le domaine de d´efinition de f.
(b) On pose x= 1 + h. Etudier lim
h→0f(1 + h). En d´eduire que fpeut ˆetre prolong´ee par
continuit´e en x= 1 en une fonction encore not´ee f.
(c) Montrer que fest d´erivable sur R−{0,1}. Calculer sa d´eriv´ee.
(d) Etudier l’existence de la d´eriv´ee au point x= 1 puis au point x= 0.
5. Soit fl’application d´efinie sur Rpar
f(x) = x2cos ( 1
x) si x'= 0, f(0) = 0.
Montrer que fest d´erivable sur Rmais que sa d´eriv´ee n’est pas continue en 0.

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Feuille no3 : Fonctions usuelles
1. Trouver les domaines de d´efinition et calculer les d´eriv´ees des fonctions suivantes:
(a) f(x) = 1
2(Arcsin x−x√1−x2)
(b) g(x) = Arccos √x
(c) h(x) = ln (ln (x))
(d) k(x) = ln(%1−2 sin2x)
2. R´esoudre dans Rles ´equations (resp. in´equations) suivantes:
(a) (ln x)2−ln (x2)−3 = 0
(b) ln [(x−1)(x−4)] >ln (x+ 4)
(c) 4e−5x+ 3e−3x−e−x= 0
(d) 4x−3x−1/2= 3x+1/2−22x−1
3. Le carbone 14, isotope radioactif du carbone se d´esint`egre selon la loi dQ
dt =−k Q(t), o`u
Q(t) est la quantit´e de carbone 14 pr´esent au temps tet o`u kd´esigne une constante de
proportionalit´e. On appelle p´eriode ou demie-vie, le temps n´ecessaire pour que cette
quantit´e diminue de moiti´e.
(a) Sachant que la demie-vie du carbone 14 est de 5568 ann´ees, d´eterminer la constante
k.
(b) Si Qoest la quantit´e initiale, donner l’expression de Q(t) en fonction de t.
(c) On mesure pour un certain fossile v´eg´etal la quantit´e Q/Qoet on trouve 0.25.
D´eterminer quand la d´esint´egration a commenc´e.
4. Calculer la d´eriv´ee de y= Arctan ( x2−2x+ 1
x2+ 2x−1), comparer le r´esultat `a la d´eriv´ee de
Arctan x. En d´eduire une expression simple de y.
5. Etudier et repr´esenter graphiquement les fonctions suivantes, dont on pr´ecisera les asymp-
totes ´eventuelles:
(a) f(x) = 1
2πexp(−x2 2)
(b) g(x) = ln (|x
x+ 1|)

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Feuille no4 : Formule de Taylor
1. Ecrire un d´eveloppement limit´e au voisinage du point et `a l’ordre indiqu´e entre parenth`eses
pour les fonctions suivantes:
(a) 1
1 + 2x(0; 4);
(b) ecos x(0; 4)
(c) (1 + x)x(0; 3);
(d) (1 + x)α,α∈R∗(1; 2)
(e) sin x(π
4; 3)
2. D´eterminer les limites suivantes
(a) lim
x→0(log (1 + x))x;
(b) lim
x→0(log x)x;
(c) lim
x→0(sin x
x)1
x.
3. D´eterminer les asymptotes des courbes d’´equation y=f(x) et la position de la courbe par
rapport `a l’asymptote lorsque f(x) vaut
(a) x2−1
xe1
x;
(b) e1
x+ 1
e1
x−1;
(c) x3+x2−2x−3
x2−3.