4 Lois usuelles de probabilités Exercice 1 Taux de germination Un lot de graines est connu pour avoir un taux de germination de 85%. La germination est indépendante d’une graine à l’autre. On appelle X la variable aléatoire rprésentant le nombre de graines germées sur un échantillon de 20 graines. 1. Quelle est la loi suivie par X ? Justifier et présenter l’expression de la fonction de densité. 2. Calculer les valeurs caractéristiques de X et interpréter l’espérance de X. 3. Quelle est la probabilité que 15 graines ou plus germent ? Exercice 2 Contrôle en fin de chaîne Une chaîne de production donne un taux de rejet en temps normal de 3% pour divers défauts. Afin de contrôler la qualité de fabrication, on réalise un échantillon de 30 produits indépendants les uns des autres. On appelle X la variable aléatoire représentant le nombre d’articles défectueux dans l’échantillon. 4. Quelle est la probabilité qu’au moins 3 individus soient inaptes à reconnaître le goût du PTC ? Exercice 4 Conformité des bouteilles Une entreprise de jus de fruits contrôle les lots de bouteilles livrées par ses fournisseurs en comptant le nombre de bouteilles non conformes sur un échantillon aléatoire simple de 50 bouteilles. On note p la proportion de bouteilles non conformes dans un lot. On désigne par X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de bouteilles non conformes sur un échantillon de 50 bouteilles extrait de ce lot. 1. Quelle est la loi de probabilité de X ? Justifier la réponse. 2. Exprimer en fonction de p l’espérance mathématique et la variance de X. 1. Quelle est la loi suivie par X ? Justifier et présenter l’expression de la fonction de densité. 3. On considère pour la suite de l’exercice que, dans le lot contrôlé, la proportion de bouteilles non conformes est égale à 0,065. Quel est le nombre moyen de bouteilles non conformes par échantillon de 50 bouteilles ? 2. Calculer les valeurs caractéristiques de X et interpréter l’espérance de X. Exercice 5 3. Quelle est la probabilité que tous les articles de l’échantillon soient corrects ? Soit U la variable aléatoire normale centrée réduite. Déterminer les probabilités suivantes : 4. Quelle est la probabilité qu’au moins un article soit défectueux ? 1. P(0 ¶ U ¶ 0, 5) 6. P(U > 2, 33) 2. P(0 < U < 2, 1) 7. P(U < −1, 64) Exercice 3 3. P(1, 62 ¶ U ¶ 1, 94) 8. P(U > −1, 0) Avoir du goût Dans une population d’effectif élevé, 70% des individus sont aptes à reconnaître le goût du phénylthiocarbamide (PTC). On prélève au hasard un échantillon de 15 individus. On appelle X la variable aléatoire représentant le nombre de personnes inaptes à reconnaître le goût du PTC. 4. P(U ¶ −1, 86, 5) 9. P(−2 ¶ U ¶ −1, 0) 1. Quelle est la loi suivie par X ? Justifier et présenter l’expression de la fonction de densité. 2. Calculer les valeurs caractéristiques de X et interpréter l’espérance de X. 3. Quelle est la probabilité que 10 individus soient aptes à reconnaître le goût du PTC ? 5. P(−1, 8 ¶ U ¶ 0, 94) 10. P(−0, 5 ¶ U ¶ 0) Exercice 6 Soit U la variable aléatoire normale centrée réduite. Déterminer k de sorte que : 1. P(U ¶ k) = 0, 3085 4. P(−k ¶ U ¶ k) = 0, 9902 2. P(U ¾ k) = 0, 025 5. P(k ¶ U ¶ 1, 9) = 0, 9485 3. P(U ¶ k) = 0, 1587 6. P(U ¶ k) = 0, 5 BTS ACSE/GPN/TV Exercice 7 L’entreprise Granulex distribue un certain aliment dans un contenant métallique dont le poids après remplissage est en moyenne de 340 grammes. Toutefois, on peut ajuster le processus de remplissage pour obtenir une valeur moyenne désirée. Le poids est distribué normalement avec un écart-type de 6 grammes. 1. Quelle est la probabilité qu’un contenant choisi au hasard de la production ait un poids entre 334 et 346 g ? 2. Quelle est la probabilité qu’un contenant ait un poids qui diffère de la moyenne par moins de 2 grammes ? 3. Sur une production de 1000 contenants, combien auront un poids inférieur à 330 grammes ? 4. À quelle valeur doit être fixé le niveau moyen de remplissage pour assurer que seulement 1 contenant sur 100 aura un poids inférieur à 340 grammes ? 5. À quel niveau moyen doit-on fixer le remplissage de sorte que seulement 5% des contenants auront un poids supérieur à 348 grammes ? Exercice 8 Efficacité d’un fongicide Une étude statistique montre que la probabilité de guérison d’une plante lorsqu’on lui applique un traitement fongicide est de 0,31. On prélève un échantillon aléatoire simple de 500 plantes auxquelles on applique le traitement. X désigne la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de plantes guéries sur un échantillon de 500 plantes. 1. Déterminer la loi de probabilité de X. Une justification précise est demandée. 2. Déterminer la moyenne et l’écart type de X. 3. Par quelle loi peut on approcher la loi de X ? La réponse sera justifiée. 4. Calculer la probabilité que le nombre de plantes guéries soit compris au sens large entre 150 et 170. 5. Calculer la probabilité que le nombre de plantes guéries soit strictement supérieur à 180. 13 Exercices 4. En utilisant cette loi approchée, calculer les probabilités des événements suivants : (a) A : « Plus de 70% des greffes sont réussies ». (b) B : « Le nombre de greffes réussies est strictement compris entre 82 et 97 ». Exercice 10 BTSA 2006 Dans une coopérative agricole, une machine trie les pommes de terre en fonction de leur diamètre équatorial. On note X la variable aléatoire prenant pour valeur le diamètre, exprimé en centimètres, d’une pomme de terre prise au hasard dans la production. On admet que X est distribuée selon la loi normale de moyenne 4, 5 et d’écart type 1, 2. 1. Quelle est la probabilité qu’une pomme de terre prise au hasard dans la production ait un diamètre supérieur à 5, 1 cm ? 2. Une pomme de terre est commercialisable si son diamètre est compris entre 3 et 6 cm. Calculer le pourcentage de pommes de terre commercialisables dans cette production. 3. Déterminer la valeur du nombre réel positif a tel que le pourcentage de pommes de terre ayant un diamètre appartenant à l’intervalle [4, 5 − a; 4, 5 + a] soit de 95%. Exercice 11 Erreurs d’étiquetage Les erreurs d’étiquetage dans un magasin provoquent des retards aux caisses ou des pertes sur le montant des articles. Dans un magasin, la probabilité pour qu’un article qui passe en caisse ait une erreur ou un défaut d’étiquetage est de 2%. On considère ces erreurs indépendantes les unes des autres. On appelle X la variable aléatoire représentant le nombre d’erreurs d’étiquetage. Partie A Sur une journée, une caissière saisit les prix de 2800 articles. 1. Quelle est la loi suivie par X ? 2. Déterminer les valeurs caractéristiques de X et interpréter l’espérance. Exercice 9 3. Par quelle loi peut-on approcher la loi de X ? BTSA 2007 Le taux de réussite du greffage dans une pépinière viticole est de 60%. Une équipe réalise 150 greffes en une heure. X désigne la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de greffes réussies sur 150. 4. Quelle est la probabilité pour qu’il y ait plus de 60 erreurs ? 1. Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Justifier la réponse. Partie B Chaque erreur d’étiquetage coûte en moyenne 1,50 €. Soit Y la variable aléatoire représentant le coût total sur une journée (2800 articles) pour une caissière. Déterminer les valeurs caractéristiques de Y et interpréter l’espérance. 2. Calculer l’espérance et la variance de la variable aléatoire X. 3. Par quelle loi peut-on approcher la loi de la variable aléatoire X ? Justifier la réponse. 5. Quelle est la probabilité pour qu’il y ait moins de 40 erreurs ? 6. Déterminez a tel que P(X > a) = 0, 95.