Lois usuelles de probabilités

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Lois usuelles de probabilités
Exercice 1
Taux de germination
Un lot de graines est connu pour avoir un taux de germina-
tion de 85%. La germination est indépendante d’une graine
à l’autre. On appelle X la variable aléatoire rprésentant le
nombre de graines germées sur un échantillon de 20 graines.
1. Quelle est la loi suivie par X ? Justifier et présenter l’expres-
sion de la fonction de densité.
2. Calculer les valeurs caractéristiques de X et interpréter l’es-
pérance de X.
3. Quelle est la probabilité que 15 graines ou plus germent ?
Exercice 2
Contrôle en fin de chaîne
Une chaîne de production donne un taux de rejet en temps
normal de 3% pour divers défauts. Afin de contrôler la qua-
lité de fabrication, on réalise un échantillon de 30 produits
indépendants les uns des autres. On appelle X la variable
aléatoire représentant le nombre d’articles défectueux dans
l’échantillon.
1. Quelle est la loi suivie par X ? Justifier et présenter l’expres-
sion de la fonction de densité.
2. Calculer les valeurs caractéristiques de X et interpréter l’es-
pérance de X.
3. Quelle est la probabilité que tous les articles de l’échantillon
soient corrects ?
4. Quelle est la probabilité qu’au moins un article soit défec-
tueux ?
Exercice 3
Avoir du goût
Dans une population d’effectif élevé, 70% des individus
sont aptes à reconnaître le goût du phénylthiocarbamide
(PTC). On prélève au hasard un échantillon de 15 individus.
On appelle X la variable aléatoire représentant le nombre de
personnes inaptes à reconnaître le goût du PTC.
1. Quelle est la loi suivie par X ? Justifier et présenter l’expres-
sion de la fonction de densité.
2. Calculer les valeurs caractéristiques de X et interpréter l’es-
pérance de X.
3. Quelle est la probabilité que 10 individus soient aptes à re-
connaître le goût du PTC ?
4. Quelle est la probabilité qu’au moins 3 individus soient in-
aptes à reconnaître le goût du PTC ?
Exercice 4
Conformité des bouteilles
Une entreprise de jus de fruits contrôle les lots de bouteilles
livrées par ses fournisseurs en comptant le nombre de bou-
teilles non conformes sur un échantillon aléatoire simple de
50 bouteilles.
On note pla proportion de bouteilles non conformes dans
un lot.
On désigne par X la variable aléatoire prenant pour valeur
le nombre de bouteilles non conformes sur un échantillon de
50 bouteilles extrait de ce lot.
1. Quelle est la loi de probabilité de X ? Justifier la réponse.
2. Exprimer en fonction de pl’espérance mathématique et la
variance de X.
3. On considère pour la suite de l’exercice que, dans le lot
contrôlé, la proportion de bouteilles non conformes est
égale à 0,065.
Quel est le nombre moyen de bouteilles non conformes par
échantillon de 50 bouteilles ?
Exercice 5
Soit U la variable aléatoire normale centrée réduite. Déter-
miner les probabilités suivantes :
1. P(0¶U¶0,5)
2. P(0<U<2,1)
3. P(1,62 ¶U¶1,94)
4. P(U¶−1,86,5)
5. P(−1,8 ¶U¶0,94)
6. P(U>2,33)
7. P(U<−1,64)
8. P(U>−1,0)
9. P(−2¶U¶−1,0)
10. P(−0,5 ¶U¶0)
Exercice 6
Soit U la variable aléatoire normale centrée réduite. Déter-
miner kde sorte que :
1. P(U¶k) = 0,3085
2. P(U¾k) = 0,025
3. P(U¶k) = 0,1587
4. P(−k¶U¶k) = 0,9902
5. P(k¶U¶1,9) = 0, 9485
6. P(U¶k) = 0,5

BTS ACSE/GPN/TV 13 Exercices
Exercice 7
L’entreprise Granulex distribue un certain aliment dans un
contenant métallique dont le poids après remplissage est en
moyenne de 340 grammes. Toutefois, on peut ajuster le pro-
cessus de remplissage pour obtenir une valeur moyenne dési-
rée. Le poids est distribué normalement avec un écart-type de
6 grammes.
1. Quelle est la probabilité qu’un contenant choisi au hasard
de la production ait un poids entre 334 et 346 g ?
2. Quelle est la probabilité qu’un contenant ait un poids qui
diffère de la moyenne par moins de 2 grammes ?
3. Sur une production de 1000 contenants, combien auront un
poids inférieur à 330 grammes ?
4. À quelle valeur doit être fixé le niveau moyen de remplis-
sage pour assurer que seulement 1 contenant sur 100 aura
un poids inférieur à 340 grammes ?
5. À quel niveau moyen doit-on fixer le remplissage de sorte
que seulement 5% des contenants auront un poids supé-
rieur à 348 grammes ?
Exercice 8
Efficacité d’un fongicide
Une étude statistique montre que la probabilité de guérison
d’une plante lorsqu’on lui applique un traitement fongicide est
de 0,31.
On prélève un échantillon aléatoire simple de 500 plantes
auxquelles on applique le traitement. X désigne la variable
aléatoire prenant pour valeur le nombre de plantes guéries sur
un échantillon de 500 plantes.
1. Déterminer la loi de probabilité de X. Une justification pré-
cise est demandée.
2. Déterminer la moyenne et l’écart type de X.
3. Par quelle loi peut on approcher la loi de X ? La réponse sera
justifiée.
4. Calculer la probabilité que le nombre de plantes guéries soit
compris au sens large entre 150 et 170.
5. Calculer la probabilité que le nombre de plantes guéries soit
strictement supérieur à 180.
Exercice 9
BTSA 2007
Le taux de réussite du greffage dans une pépinière viticole
est de 60%. Une équipe réalise 150 greffes en une heure. X dé-
signe la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de
greffes réussies sur 150.
1. Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Justi-
fier la réponse.
2. Calculer l’espérance et la variance de la variable aléatoire X.
3. Par quelle loi peut-on approcher la loi de la variable aléa-
toire X ? Justifier la réponse.
4. En utilisant cette loi approchée, calculer les probabilités des
événements suivants :
(a) A : « Plus de 70% des greffes sont réussies ».
(b) B : « Le nombre de greffes réussies est strictement com-
pris entre 82 et 97 ».
Exercice 10
BTSA 2006
Dans une coopérative agricole, une machine trie les
pommes de terre en fonction de leur diamètre équatorial. On
note X la variable aléatoire prenant pour valeur le diamètre,
exprimé en centimètres, d’une pomme de terre prise au hasard
dans la production. On admet que X est distribuée selon la loi
normale de moyenne 4,5 et d’écart type 1,2.
1. Quelle est la probabilité qu’une pomme de terre prise au
hasard dans la production ait un diamètre supérieur à 5, 1
cm ?
2. Une pomme de terre est commercialisable si son diamètre
est compris entre 3 et 6 cm. Calculer le pourcentage de
pommes de terre commercialisables dans cette production.
3. Déterminer la valeur du nombre réel positif atel que le
pourcentage de pommes de terre ayant un diamètre appar-
tenant à l’intervalle [4,5 −a;4, 5 +a]soit de 95%.
Exercice 11
Erreurs d’étiquetage
Les erreurs d’étiquetage dans un magasin provoquent des
retards aux caisses ou des pertes sur le montant des articles.
Dans un magasin, la probabilité pour qu’un article qui passe
en caisse ait une erreur ou un défaut d’étiquetage est de 2%.
On considère ces erreurs indépendantes les unes des autres. On
appelle X la variable aléatoire représentant le nombre d’erreurs
d’étiquetage.
Partie A
Sur une journée, une caissière saisit les prix de 2800 ar-
ticles.
1. Quelle est la loi suivie par X ?
2. Déterminer les valeurs caractéristiques de X et interpréter
l’espérance.
3. Par quelle loi peut-on approcher la loi de X ?
4. Quelle est la probabilité pour qu’il y ait plus de 60 erreurs ?
5. Quelle est la probabilité pour qu’il y ait moins de 40 er-
reurs ?
6. Déterminez atel que P(X>a) = 0,95.
Partie B
Chaque erreur d’étiquetage coûte en moyenne 1,50 €. Soit
Y la variable aléatoire représentant le coût total sur une jour-
née (2800 articles) pour une caissière.
Déterminer les valeurs caractéristiques de Y et interpréter
l’espérance.