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I) Définitions et premières propriétés
Soit une suite de nombres réels complexes. On note .
Notati ons : Pour , le nombr e se not e
Plus généralement, pour tel que , la somme
On remarque :
1) Définitions
Définition 1 : On appelle série de terme général la suite définie par :
Pour tout , est la somme partielle d’ordre n de la série. La série de terme général , se
note
Définition 2 : On dit que la série de terme général converge ou est convergente si la suite
des sommes partielles admet une limite (finie) dans . Dans le cas contraire on dit qu’elle diverge.
La somme de la série convergente est la limite de la suite de ses sommes partielles et est
notée
.
Etudier la nature d’une série, c’est étudier la convergence de la série. On dit que 2 séries sont de
même nature si elles sont toutes les deux convergentes, ou toutes les deux divergentes.
Ne pas confondre :
: Série de terme général
: Somme partielle
: Somme de la série
: Somme partielle commençant à
: Somme commançant à
Exemples divers :
Toute série dont le terme général est nul à partir d’un certain rang converge car est
une suite stationaire.
Pour tout , , est divergente, car
.
Série Arithmétiques :
Les séries de la forme diverge si .
car
si .
Soit la suite définie par
pour
En remarquant que
, on a pour :