Séries Numériques

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Cours de
mathématiques
2A S2
2010
2011
Cours de mathématiques du 2nd semestre de 2ème année Esstin.
Professeur : Valein Julie.
Amélie
Caissial
Quentin
Grandemange

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Chapitre 1 : Séries numériques
Sommaire
I) Définitions et premières propriétés ................................................................................................ 2
1) Définitions ................................................................................................................................... 2
2) Premières propriétés ................................................................................................................... 3
3) Convergence absolue .................................................................................................................. 5
II) Série à termes positifs ..................................................................................................................... 5
1) Critère de base ............................................................................................................................ 5
2) Critères de comparaison ............................................................................................................. 6
3) Séries de comparaison ................................................................................................................ 7
A) Séries de Riemann ................................................................................................................... 7
B) Séries de Bertrand ................................................................................................................... 8
4) Critères classiques ....................................................................................................................... 8
III) Séries à termes quelconques..................................................................................................... 10
1) Méthodes générales .................................................................................................................. 10
A) Rappel .................................................................................................................................... 10
B) Méthode ................................................................................................................................ 10
2) Séries alternées ......................................................................................................................... 11
3) Règle d’Abel ............................................................................................................................... 13

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I) Définitions et premières propriétés
Soit  une suite de nombres réels complexes. On note  .
Notati ons : Pour  , le nombr e  se not e 
Plus généralement, pour  tel que , la somme 
On remarque :  
1) Définitions
Définition 1 : On appelle série de terme général  la suite définie par : 
Pour tout ,  est la somme partielle d’ordre n de la série. La série de terme général , se
note 
Définition 2 : On dit que la série de terme général  converge ou est convergente si la suite 
des sommes partielles admet une limite (finie) dans . Dans le cas contraire on dit qu’elle diverge.
La somme de la série  convergente est la limite de la suite  de ses sommes partielles et est
notée 
 .
Etudier la nature d’une série, c’est étudier la convergence de la série. On dit que 2 séries sont de
même nature si elles sont toutes les deux convergentes, ou toutes les deux divergentes.
Ne pas confondre :
  : Série de terme général 
 : Somme partielle
 : Somme de la série
 : Somme partielle commençant à 
 : Somme commançant à 
Exemples divers :
 Toute série dont le terme général est nul à partir d’un certain rang converge car  est
une suite stationaire.
 Pour tout , ,  est divergente, car  .
 Série Arithmétiques :
Les séries de la forme  diverge si .
car   si .
 Soit  la suite définie par  
 pour 
En remarquant que 
, on a pour  :

3
La série  converge et sa somme 
 .
Exemple : Série Harmonique
On considère la série de terme général 
Soit, pour   ; 
Et donc 
 en intégrant entre k et k+1
En sommant pour  variant entre  et , 
Or :
On a donc montré que pour tout 
Ainsi : 
 La série Harmonique 
 diverge.
Exemple : Série Géométrique
On appelle série géométrique de raison  la série  les sommes partielles se la série sont
égales à 
 (avec )
et  admet une limite si et seulement si  et cette limite vaut 
 La série géométrique  converge si et seulement si  et dans ce cas la somme de la
série vaut 
Par exemple 
, 
.
2) Premières propriétés
Proposition : On ne change pas la nature d’une série en modifiant un nombre fini de ses termes.
Par contre, si la série est convergente, la somme va être modifiée.
Retenons que l’indice de départ est sans importance pour la nature de la série.
Preuve : Soit  et  deux séries qui ne different que par un nombre fini de termes. Il existe
 tel que  . Notons  la somme 
 et 
Alors, pour  
Donc  converge si et seulement si  converge et par consequant  et  sont de
même nature.

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Exemple :
 et   sont toutes deux convergentes mais 
Théorème : Le terme général d’une série convergente tend vers 0. C’est-à-dire, si converge, alors
.
Preuve : Supposons que  converge. Donc la suite des sommes partielles  tend vers .
On a :  (
Corollaire : Critère de Divergence
Si la suite  ne tend pas vers 0, alors la série  diverge. On dit alors que la série diverge
grossièrement.
Exemple :
 La série  diverge grossièrement car  n’admet pas de limite.
 Les séries géométriques  de raison  sont divergentes car 
La réciproque est fausse. C’est-à-dire :  n’implique pas  converge.
Contre-exemple :
 La série harmonique 
 diverge et 
 Soit 
Alors,  et  diverge.
En effet : 
Et donc, 
Donc , et la série  diverge.
 , (à faire)
Proposition : L’ensemble des séries convergentes forme un -espace vectoriel et l’application
Somme est linéaire. C’est-à-dire :
  est convergente et  
 Pour tout  est convergente et 
Remarques :
 La somme d’une série convergente et d’une série divergente est divergente.
 On ne peut rien dire en général de la somme de deux séries divergentes.
Exemple :
 diverge,   diverge.
 et   divergent et   =   converge