Séries Numériques

Cours de
mathématiques
2A S2
2010
2011
Cours de mathématiques du 2nd semestre de 2ème année Esstin.
Professeur : Valein Julie.
Amélie
Caissial
Quentin
Grandemange
Si vous trouvez des erreurs dans ce cours, veuillez me les signaler à [email protected]
Chapitre 1 : Séries numériques
Sommaire
I)
Définitions et premières propriétés ................................................................................................ 2
1)
Définitions ................................................................................................................................... 2
2)
Premières propriétés ................................................................................................................... 3
3)
Convergence absolue .................................................................................................................. 5
II)
Série à termes positifs ..................................................................................................................... 5
1)
Critère de base ............................................................................................................................ 5
2)
Critères de comparaison ............................................................................................................. 6
3)
Séries de comparaison ................................................................................................................ 7
A)
Séries de Riemann ................................................................................................................... 7
B)
Séries de Bertrand ................................................................................................................... 8
4)
Critères classiques ....................................................................................................................... 8
III)
Séries à termes quelconques..................................................................................................... 10
1)
Méthodes générales .................................................................................................................. 10
A)
Rappel .................................................................................................................................... 10
B)
Méthode ................................................................................................................................ 10
2)
Séries alternées ......................................................................................................................... 11
3)
Règle d’Abel ............................................................................................................................... 13
1
I) Définitions et premières propriétés
Soit (
) une suite de nombres réels complexes. On note
Notations : Pour
, le nombre
Plus généralement, pour
.
se note
tel que
∑
∑
, la somme
On remarque : ∑
(
)
∑
1) Définitions
∑
Définition 1 : On appelle série de terme général
la suite( ) définie par :
Pour tout
, est la somme partielle d’ordre n de la série. La série de terme général
note ∑
, se
Définition 2 : On dit que la série de terme général
converge ou est convergente si la suite ( )
des sommes partielles admet une limite (finie) dans 𝕂. Dans le cas contraire on dit qu’elle diverge.
La somme de la série ∑ convergente est la limite de la suite ( ) de ses sommes partielles et est
notée ∑
.
Etudier la nature d’une série, c’est étudier la convergence de la série. On dit que 2 séries sont de
même nature si elles sont toutes les deux convergentes, ou toutes les deux divergentes.
Ne pas confondre :
 ∑
: Série de terme général
 ∑
: Somme partielle
 ∑
: Somme de la série
 ∑
: Somme partielle commençant à
 ∑
: Somme commançant à
Exemples divers :
 Toute série dont le terme général est nul à partir d’un certain rang converge car (
une suite stationaire.
) est
 Pour tout
,
, ∑ est divergente, car
 Série Arithmétiques :
Les séries de la forme ∑ diverge si
.
.
car
 Soit (
∑
∑
) la suite définie par
En remarquant que
(
)
(
)
∑
→
si
→
.
pour
, on a pour
:
2
∑
(
)
∑
(
)
(
(
La série ∑
∑
)
∑
)
converge et sa somme ∑
→
.
Exemple : Série Harmonique
On considère la série de terme général
Soi
[
t, pour
];
∫
Et donc
en intégrant entre k et k+1
En sommant pour
Or : ∑
variant entre
∫
et
[
∫
(
), ∑
]
(
(
On a donc montré que pour tout
Ainsi :
∑
∫
)
( )
(
)
)
⇒ La série Harmonique ∑ diverge.
Exemple : Série Géométrique
On appelle série géométrique de raison
égales à
et (
(
∑
)
(avec
la série ∑
)
) admet une limite si et seulement si | |
⇒ La série géométrique ∑
série vaut
Par exemple
les sommes partielles se la série sont
et cette limite vaut
converge si et seulement si | |
et dans ce cas la somme de la
∑
,∑
.
2) Premières propriétés
Proposition : On ne change pas la nature d’une série en modifiant un nombre fini de ses termes.
Par contre, si la série est convergente, la somme va être modifiée.
Retenons que l’indice de départ est sans importance pour la nature de la série.
Preuve : Soit ∑ et ∑ deux séries qui ne different que par un nombre fini de termes. Il existe
∑
tel que
. Notons la somme ∑
et
∑ (
)
Alors, pour
Donc ( ) converge si et seulement si ( ) converge et par consequant ∑ et ∑ sont de
même nature.
3
Exemple :
∑
(
)
et ∑
(
)
sont toutes deux convergentes mais ∑
(
∑
)
Théorème : Le terme général d’une série convergente tend vers 0. C’est-à-dire, si ∑
.
Preuve : Supposons que ∑
On a :
(
converge. Donc la suite des sommes partielles (
)
Corollaire : Critère de Divergence
Si la suite ( ) ne tend pas vers 0, alors la série ∑
grossièrement.
(
)
converge, alors
) tend vers
𝕂.
diverge. On dit alors que la série diverge
Exemple :
 La série ∑( ) diverge grossièrement car (( ) ) n’admet pas de limite.
 Les séries géométriques ∑ de raison
sont divergentes car
n’implique pas ∑
La réciproque est fausse. C’est-à-dire :
converge.
Contre-exemple :
 La série harmonique ∑ diverge et
(
 Soit
)
et ∑
Alors,
(
En effet :
Et donc,
Donc

√
(
)
[ (
∑
diverge.
)
( )
)
(
)
( )]
, et la série ∑ diverge.
( )
(
)→
√ , (à faire)
Proposition : L’ensemble des séries convergentes forme un 𝕂-espace vectoriel et l’application
Somme est linéaire. C’est-à-dire :
) est convergente et ∑ (
) ∑
∑
 ∑(
∑
 Pour tout
𝕂∑
est convergente et ∑
Remarques :
 La somme d’une série convergente et d’une série divergente est divergente.
 On ne peut rien dire en général de la somme de deux séries divergentes.
Exemple :
 ∑ diverge, ∑ (
 ∑ et ∑
)
∑
divergent et ∑ (
∑ diverge.
)=∑
(
)
converge
4
Proposition : Pour qu’une série à termes complexes ∑
séries ∑ ( ) et ∑ ( ) convergent. Dans ce cas ∑
converge, il faut et il suffit que les deux
∑
( ) ∑
( )
3) Convergence absolue
Définition : On dit que la série ∑
∑| | converge.
converge absolument ou est absolument convergente si la série
Théorème : Toute série absolument convergente est convergente. Si c’est le cas, on a alors :
|∑
|
|
∑|
Exemple :
∑
(
(
)
)
est absolument convergente donc convergente, car |
(
(
)
|
)
(
)
avec ∑
(
)
converge.
De même ∑
(
)
converge absolument car |
La réciproque est fausse, ∑
(
)
|
(
)
converge n’implique pas que ∑
converge absolument.
Contre-exemple :
∑
(
)
converge (Voir §I.3.2), mais ne converge pas absolument.
II) Série à termes positifs
Définition : On dit qu’une série ∑
est à termes positifs si
.
1) Critère de base
Proposition : Soit ∑ une série à termes positifs.
 La série converge si et seulement si la suite (
somme est alors :
.
 La série diverge si et seulement si
Idée – Preuve : Comme
, la suite (
) de ses sommes parallèles est majorée. Sa
.
) est croissante.
5
2) Critères de comparaison
Théorème de majoration : Soient ∑
et ∑ deux séries à termes positifs. Supposons qu’il existe
tel que pour tout
,
.
Alors :
 Si ∑ converge, alors ∑ converge.
 Si ∑
diverge, alors ∑ diverge.
Preuve : La nature d’une série ne dépendant pas de ses premiers termes, on peut supposer que
∑
∑
. Notons
et
.
Par hypothèse, pour tout
,
.
Donc, par le critère de base :
 Si ∑ converge, alors ( ) est majorée, et donc ( ) est aussi majorée ; par le critère de
base, ∑ converge.
 Si ∑
diverge, alors ( ) tend vers
, et donc ( ) tend aussi vers
; par le critère
de base, ∑ diverge.
Exemple 1 :
Pour tout
∑
(
,
)
(
)
(
)
. Or, nous avons vu que ∑
(
)
est convergente.
⇒ Par le théorème de majoration, ∑
converge.
Exemple 2 :
Considérons ∑
Pour tout
∑ .
,
et
. De plus,
⇒ Par le théorème de majoration, ∑
pour
avec ∑ divergente.
diverge.
Exemple 3 :
Soit ∑ et ∑ deux séries divergentes à termes positifs. Alors, comme
∑(
) diverge par le théorème de majoration.
,
Le théorème est faux si les séries ne sont pas à termes positifs.
Contre-exemple :
(
)
∑
∑
Théorème d’équivalence : Soit ∑
∑ sont de même nature.
(
)
et ∑
(Voir III. 2))
alors ∑
deux séries à termes positifs. Si
6
et
Preuve : Supposons que
, alors
. Donc à partir d’un certain rang,
⇔
On conclut à l’aide du théorème de majoration.
Exemple 1 :
Considérons la série ∑
( ). Pour tout
( )
donc
( )
 Comme
∑
 Comme∑
∑
,
diverge (c’est la série harmonique), par le théorème d’équivalence,
( ) diverge.
Exemple 2 :
Considérons ∑
.
 Pour
,
et donc
( )
 De plus,
Or, ∑ ( ) est la série géométrique de raison
d’équivalence, ∑
, donc convergente. D’après le théorème
est convergente.
Ce résultat est faux si les séries ne sont pas à termes positifs.
Contre-exemple :
(
)
(
√
)
(
)
avec
√
convergente et d’une divergente). ∑
∑
diverge
(car
somme
d’une
converge (car somme de deux séries convergentes).
3) Séries de comparaison
A) Séries de Riemann
Nous allons étudier les séries de la forme ∑

Si

Si

Si

Si
∑
→
∑
∑
∑
(
diverge grossièrement.
diverge grossièrement.
∑
)
diverge.
Comme ∑ diverge par le théorème de
majoration, ∑

Supposons
. Soit
((
)
)
Pour
on a :
∫
*
∫
7
+
D’où, en sommant pour
∑
∑
:
((
)
)
⇒ D’après les critères de base, ∑
Théorème : La série de Riemann ∑
(
c’est-à-dire ∑
)
converge pour
converge si et seulement si
B) Séries de Bertrand
Théorème : La série de Bertrand ∑
(
)
(
converge si et seulement si
)
Exemple :
Etudions ∑
On a
(
(
)
( )
√
( ) donc
(
) donc
( )
(
De plus :
Ainsi :
)
(
)
√
(
)
( )
( )
√
( ))
( )
( )
(
( ))
( ).
∑
Donc
∑
est une série
convergent (série de Riemann de paramètre 2>1).
⇒ Par le théorème d’équivalence, ∑ converge.
4) Critères classiques
Règle de d’Alembert : Soit ∑
Alors :
 Si
 Si
une série à termes strictement positifs. Supposons que
∑
∑
Remarque :
On ne peut rien dire dans le cas où
Exemples :


∑
(
)
∑
On essayera d’appliquer la règle de d’Alembert lorsque le terme général de la série contient des
produits et des factorielles (et des puissances nièmes, même s’il est préférable d’utiliser la règle de
Cauchy).
8
Exemple 1 :
Etudions la série de terme général
 Pour tout
(
 Pour
(
(
)
(
)
(
)
)
(
(
)
)
D’après la règle de d’Alembert, ∑
(
)
→
Car
)
(
(
)
(
)
)
.
converge.
Exemple 2 :
, la série ∑
Etudions pour
(
On pose
)
(
)
 Pour tout
(
( (
 On a
et
(
(
)
))
(
(
→
)
(
)
(
)
(
(
, on a
)
converge.
, la série ∑
 Pour
)
)(
.
D’après la règle de d’Alembert, ∑
Exemple 3 :
Etudions pour
 Pour
)
(
)
)(
)
.
)
(
)
→
Donc d’après la règle de d’Alembert :
∑
 Si
∑
 Si
∑
 Si
∑
∑
, série de Riemann qui converge si et seulement si
–
Règle de Cauchy : Soit ∑
Alors :
 Si
, alors ∑
 Si
, alors ∑
Remarque : Si
Exemples :

une série à termes positifs. Supposons que
converge.
diverge.
, on ne peut rien dire a priori.
(
)
⁄
(

⁄
∑
(
)
→
)
donc ∑
avec
diverge grossièrement.
⁄
converge comme série de Riemann de paramètre 2>1 et
⁄
⁄
On essaiera d’appliquer la règle de Cauchy lorsque le terme général contient des puissances
nièmes.
9
Exemple 1 :
Etudions ∑
(
avec
la règle de Cauchy, ∑
) . Pour tout
⁄
On a
→
. D’après
converge.
Exemple 2 :
Etudions ∑
règle de Cauchy, ∑
III)
(
avec
)
√
Pour
On a
⁄
→
√
D’après la
converge.
Séries à termes quelconques
1) Méthodes générales
A) Rappel
Pour déterminer la nature d’une série ∑
à termes quelconques (complexes ou réels), on peut
commencer par étudier sa convergence absolue, en appliquant à ∑| | les méthodes des séries à
termes positifs.
Ainsi, la convergence absolue (et donc la convergence) de ∑
est établie si on connait une série à
termes réels convergente ∑ vérifiant :
 | |
à partir d’un certain rang,

|
|
.
Exemple 1 :
La série ∑
est absolument convergente car |
paramètre
|
et ∑
est une série de Riemann de
donc convergente.
Exemple 2 :
Considérons ∑
Or,
⁄
avec
⁄
et ∑
. Alors, pour tout
⁄
⁄
|
|
est une série de Riemann de paramètre
Donc, par le théorème d’équivalence (
de majoration, on en déduit que ∑
⁄
), ∑
.
⁄
, donc convergente.
converge ; par suite, par le théorème
est absolument convergente (donc converge).
B) Méthode
Pour étudier la convergence d’une série pour ∑
non-absolument convergente, on fera (si c’est
possible), un développement asymptotique (développement limité en
) du terme général
de
la série, le dernier terme étant :
 Soit le terme général d’une série absolument convergente
 Soit à signe constant
10
Exemple :
Etudions la série ∑
 On a |
(
avec
|
)
:
⁄
⁄
avec ∑
⁄
⁄
est une série de Riemann de paramètre
,
donc divergente.
Ainsi, par le théorème d’équivalence, ∑
diverge et donc n’est pas absolument
convergente (par le théorème d’équivalence).
Convergence absolue ⇒ convergence mais convergence absolue ⇍ convergence.
 Effectuons un développement asymptotique de
:
( )
Suivant le développement limité de
(
C'est-à-dire
(
)
(
)
⁄
)
(
⁄
)
(
⁄
⁄
(
)
(
⁄
)
( )
⁄
)
⁄
( )→
(
⁄
( ))
⁄
avec ( ) →
Or :
(
 ∑
)
⁄
 Pour
|
(
est une série alternée convergente (Voir §III.2))
assez grand, tel que | ( )|
)
(
⁄
Comme ∑
)
⁄
∑
⁄
⁄
( )|
:
⁄
⁄
⁄
est une série de Riemann de paramètre
, donc convergente, par le
théorème de majoration.
∑(
(
)
(
⁄
Conclusion : ∑
convergente).
)
⁄
( )) est absolument convergente.
converge (Somme d’une série convergente et d’une série absolument
2) Séries alternées
Définition : On appelle série alternée, une série de la forme∑(
est une suite à termes positifs.
)
(ou ∑(
)
) où (
)
Théorème : Critère des séries alternées
Soit ( ) , une suite de nombres réels positifs. Si la suite ( ) est décroissante et tend vers 0, alors
la série alternée ∑( )
(ou ∑( )
) est convergente.
De plus, si
est la somme partielle d’ordre de la série, et est la somme de la série, alors :
|
| |∑
( )
| et |
| est du signe de ( )
(ou ( )
).
| |
(
0
(
)
)
11
Exemple 1 :
(
La série harmonique alternée ∑
→
)
est une série qui vérifie le critère de série alternée car
( ) est une suite décroissante, elle est donc convergente.
Exemple 2 :
Plus généralement, considérons les séries de Riemann alternées ∑
 Si
le terme général
(
)
(
)
(
)
où
:
ne tend pas vers 0, et donc la série diverge
grossièrement.
, ( ) est une suite à termes positifs décroissants qui tend vers 0, d’après le
 Si
(
critère des séries alternées, ∑
)
converge.
Cependant cette série ne converge pas absolument, car ∑
diverge quand
. On dit
qu’elle est semi-convergente.
, la série ∑
 Si
Le résultat est faux si (
(
converge absolument car ∑
converge.
) ne décroit pas.
(
Contre-exemple : ∑
)
(
)
)
√
C’est une série alternée car
décroissante car √
(
(
)
)
⇔
√
. Mais ((
pour
√
(
)
)
√
) n’est pas une suite
√
√
Effectuons un développement asymptotique :
(
(
)
)
(
(
√
)
)
√
(
(
(
(
)
)
⁄
√
)
(
)
(
(
√
√
(
)
)
(
√
(
( )
⁄
)
)
(
√
)
)
( )) avec ( ) →
√
(
)
(
)
⁄
√
( )
⁄
Or :
 ∑
(
)
est une série qui vérifie le critère des séries alternées et donc elle converge.
√
 ∑ est divergente, c’est la série harmonique.
 A partir d’un certain rang, tel que | ( )|
Comme ∑
⁄
(
)
⁄
est une série de Riemann de paramètre
théorème de majoration : ∑ (
Conclusion : ∑
, on a |
(
)
(
⁄
)
⁄
(
)
⁄
( )|
⁄
⁄
⁄
donc convergente, par le
( )) est absolument convergente.
diverge.
Remarque : Cet exemple nous donne également un contre-exemple au théorème d’équivalence, le
fait que les séries soient à termes positifs est essentiel.
En effet : (
(
)
)
(
√
)
√
avec ∑ (
(
)
)
√
diverge et ∑
(
)
√
converge.
12
3) Règle d’Abel
Règle d’Abel : Soit ( ) une suite à termes complexes tel que
.
Pour tout
. Supposons que :
 ( ) est une suite de nombres réels positifs, décroissante et qui tend vers 0.
|
 Il existe
tel que pout tout
, |∑
.
Alors, la série ∑
converge.
Remarque : Le critère des séries alternées est un cas particulier de la règle d’Abel (en prenant
( ) ).
et
Exemple :
Considérons ∑
qui tend vers 0.
On a :
 |∑
et (
où
|
 Avec |
|
|
(
)
|
|
|
|
(
) est une suite de nombres positifs, décroissantes et
|
)
(
)
( )
Donc :
 |∑
|
|
( )|
. D’après la règle d’Abel, ∑
On en déduit en particulier que pour tout
, la série ∑
Par conséquent, les séries alternées réelles ∑
(
)
s et ∑
converge pour
converge avec
(
)
convergent.
13
.