Géométrie plane, formules de trigonométrie

Géométrie plane, formules de trigonométrie :
cosinus, sinus, tangente
Denis Vekemans ∗
1 Définition de cosinus, sinus et tangente
Le triangle ABC est supposé rectangle en A.
Notons b B=
[
ABC l’angle en Bdu triangle ABC.
Pour cet angle en B, on nomme
—AB le côté adjacent ;
—AC le côté opposé ;
— et BC l’hypothénuse.
On définit ensuite le cosinus de l’angle en Bque l’on note cos( b B) comme étant
cos( b B) = AB
BC =côté adjacent hypothénuse .
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
1

De même, on définit le sinus de l’angle en Bque l’on note sin( b B) comme étant
sin( b B) = AC
BC =côté opposé hypothénuse.
Tels que définis ici, les cosinus et sinus d’un angle sont des nombres réels compris entre 0 et 1.
On peut aussi définir la tangente de l’angle en Bque l’on note tan( b B) comme étant
tan( b B) = AC
AB =côté opposé côté adjacent.
2 Valeurs remarquables
αcos(α) sin(α) tan(α)
0◦1 0 0
30◦√3
2
1
2
1
√3=√3
3
45◦√2
2
√2
21
60◦1
2
√3
2√3
90◦0 1 non défini
3 Théorème d’Al-Kashi ou Loi des cosinus
Dans un triangle ABC quelconque (pas nécessairement rectangle comme auparavant), on a
BC2=AB2+AC2−2×AB ×AC ×cos(
[
BAC).
Ainsi, de la connaissance des longueurs des côtés d’un triangle, on peut déduire les cosinus de chacun
des angles (et par conséquent les angles, soit par lecture inverse de la table des cosinus, soit par utilisation
de la touche cos−1d’une calculatrice) de ce triangle.
Remarque. Dans le cas particullier où l’angle
[
BAC est droit, cos(
[
BAC) = 0 et on obtient BC2=
AB2+AC2(théorème de Pythagore).
Exercice 1 ABC est un triangle rectangle en Atel que
[
ABC = 30◦et BC = 5.
1. Donner AB.
2. Donner AC.
Solution 1
1. cos(30◦) = AB
BC . Donc AB = 5 ×cos(30◦) = 5 ×
√3
2=5×√3 2.
2. sin(30◦) = AC
BC . Donc AC = 5 ×sin(30◦) = 5 ×1 2=5 2.
2

Exercice 2 ABC est un triangle rectangle en Atel que
[
ACB = 60◦et AB = 7.
1. Donner BC.
2. Donner AC.
Solution 2
1. sin(60◦) = AB
BC . Donc BC =7 sin(60◦)=7
√3
2
=14 ×√3
3.
2. tan(60◦) = AB
AC . Donc AC =7 tan(60◦)=7
√3=7×√3
3.
Exercice 3 ABC est un triangle rectangle en Atel que AB = 4 et AC = 3.
1. Donner BC.
2. Donner
[
ACB.
Solution 3
1. Le triangle ABC est rectangle en A, donc, d’après le théorème de Pythagore, BC2=AB2+AC2,
puis BC =√AB2+AC2=√42+ 32= 5.
2. tan(
[
ACB) = AB
AC . Donc tan(
[
ACB) = 4
3.
Puis, d’après la calculatrice,
[
ACB ≈53,1◦.
Exercice 4 ABC est un triangle isocèle en Atel que
[
BAC = 50◦et AB =AC = 5.
Déterminer BC.
Solution 4 D’après le théorème d’Al Kashi, BC2=AB2+AC2−2×AB ×AC ×cos(
[
BAC).
D’où, BC =q52+ 52−2×5×5×cos(50◦) = q50 −50 ×cos(50◦)≈4,2.
Exercice 5 ABC est un triangle tel que AB = 2, AC = 3 et BC = 4.
Déterminer
[
BAC.
Solution 5 D’après le théorème d’Al Kashi, BC2=AB2+AC2−2×AB ×AC ×cos(
[
BAC).
D’où, 42= 22+ 32−2×2×3×cos(
[
BAC). Puis cos(
[
BAC) = 22+ 32−42
2×2×3=−3 12 =−1 4.
Puis, d’après la calculatrice,
[
BAC ≈104,4◦.
3