Géométrie plane, formules de trigonométrie

Géométrie plane, formules de trigonométrie :
cosinus, sinus, tangente
Denis Vekemans
1
∗
Définition de cosinus, sinus et tangente
Le triangle ABC est supposé rectangle en A.
[ l’angle en B du triangle ABC.
Notons Bb = ABC
Pour cet angle en B, on nomme
— AB le côté adjacent ;
— AC le côté opposé ;
— et BC l’hypothénuse.
b comme étant
On définit ensuite le cosinus de l’angle en B que l’on note cos(B)
b =
cos(B)
∗
côté adjacent
AB
=
.
BC
hypothénuse
Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
1
b comme étant
De même, on définit le sinus de l’angle en B que l’on note sin(B)
b =
sin(B)
côté opposé
AC
=
.
BC
hypothénuse
Tels que définis ici, les cosinus et sinus d’un angle sont des nombres réels compris entre 0 et 1.
b comme étant
On peut aussi définir la tangente de l’angle en B que l’on note tan(B)
b =
tan(B)
2
Valeurs remarquables
α
0
◦
cos(α) sin(α)
1
√
60
1
√2
2
√2
3
2
90◦
0
1
45◦
◦
tan(α)
0
3
√2
2
2
1
2
30◦
3
AC
côté opposé
=
.
AB
côté adjacent
0
√1
3
=
√
3
3
1
√
3
non défini
Théorème d’Al-Kashi ou Loi des cosinus
Dans un triangle ABC quelconque (pas nécessairement rectangle comme auparavant), on a
[
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 × AB × AC × cos(BAC).
Ainsi, de la connaissance des longueurs des côtés d’un triangle, on peut déduire les cosinus de chacun
des angles (et par conséquent les angles, soit par lecture inverse de la table des cosinus, soit par utilisation
de la touche cos−1 d’une calculatrice) de ce triangle.
[ est droit, cos(BAC)
[ = 0 et on obtient BC 2 =
Remarque. Dans le cas particullier où l’angle BAC
AB 2 + AC 2 (théorème de Pythagore).
[ = 30◦ et BC = 5.
ABC est un triangle rectangle en A tel que ABC
Exercice 1
1. Donner AB.
2. Donner AC.
Solution 1
√
AB
3
◦
1. cos(30 ) =
. Donc AB = 5 × cos(30 ) = 5 ×
BC
2
1
AC
. Donc AC = 5 × sin(30◦ ) = 5 × =
2. sin(30◦ ) =
BC
2
◦
2
√
5× 3
=
.
2
5
.
2
[ = 60◦ et AB = 7.
ABC est un triangle rectangle en A tel que ACB
Exercice 2
1. Donner BC.
2. Donner AC.
Solution 2
7
7
14 ×
AB
√ =
. Donc BC =
=
1. sin(60 ) =
3
BC
sin(60◦ )
3
◦
√
3
.
2
√
7
7
AB
7× 3
. Donc AC =
=√ =
.
2. tan(60 ) =
AC
tan(60◦ )
3
3
◦
Exercice 3
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 4 et AC = 3.
1. Donner BC.
[
2. Donner ACB.
Solution 3
1. Le triangle ABC est rectangle en A, donc, d’après le théorème de Pythagore, BC 2 = AB 2 + AC 2 ,
√
√
puis BC = AB 2 + AC 2 = 42 + 32 = 5.
[ = AB . Donc tan(ACB)
[ = 4.
2. tan(ACB)
AC
3
[ ≈ 53, 1◦ .
Puis, d’après la calculatrice, ACB
Exercice 4
[ = 50◦ et AB = AC = 5.
ABC est un triangle isocèle en A tel que BAC
Déterminer BC.
Solution 4
[
D’après le théorème d’Al Kashi, BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 × AB × AC × cos(BAC).
D’où, BC =
q
52 + 52 − 2 × 5 × 5 × cos(50◦ ) =
q
50 − 50 × cos(50◦ ) ≈ 4, 2.
ABC est un triangle tel que AB = 2, AC = 3 et BC = 4.
[
DéterminerBAC.
Exercice 5
[
D’après le théorème d’Al Kashi, BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 × AB × AC × cos(BAC).
2
2
2
[ Puis cos(BAC)
[ = 2 + 3 − 4 = −3 = −1 .
D’où, 42 = 22 + 32 − 2 × 2 × 3 × cos(BAC).
2×2×3
12
4
[ ≈ 104, 4◦ .
Puis, d’après la calculatrice, BAC
Solution 5
3