Chapitre 6 Qu`est-ce qu`un polynôme

Chapitre 6
truc
Qu’est-ce qu’un polynôme ?
Complément au chapitre «nombres complexes»
L’objectif de ce polycopié est de tenter de définir ce qu’est un polynôme, et surtout de préciser ce qui
peut donner le droit d’«identifier» les coefficients de deux polynômes, pour en finir avec l’identification
sauvage (qui sera sévèrement réprimée à l’avenir).
1 Non-définition
Considérons un polynôme, par exemple X3+ 2X+ 1. Notons-le P. On écrira donc :
P=X3+ 2X−3ou P(X) = X3+ 2X−3.
Précisons d’abord ce qu’un polynôme n’est pas :
– Le polynôme Pn’est pas un nombre, et ce que l’on note Xnon plus.
Par contre, si on note aun nombre réel ou complexe, on peut définir le nombre P(a) = a3+ 2a−3.
Ainsi, pour a= 2, on obtient P(2) = 23+ 2 ·2−3 = 8 + 4 −3 = 9.
– Le polynôme Pn’est pas une équation, et Xn’est pas une inconnue.
Ceci dit, il est bien sûr très intéressant de résoudre l’équation P(x) = 0, d’inconnue xréelle ou
complexe. Les racines de cette équation sont appelée les racines du polynôme P.
En l’occurence, ce sont (dans l’ordre décroissant) : 1,−3+√3
2et −3−√3 2.
– Enfin, le polynôme Pn’est pas une fonction.
Cependant, si Aest une partie de C, on associe tout naturellement à Pune fonction, notée ˜ P, de
Adans R(ou C), définie par : ∀a∈A, ˜ P(a) = P(a) = a3+ 2a−3.
On choisira souvent comme partie Aun intervalle de R, ou l’ensemble des entiers naturels N.
Qu’est-ce donc que le polynôme P? On peut dire que c’est une «expression formelle» en X(ce qui ne
dit pas grand-chose...). Quant à X, on l’appellera l’indéterminée, ce qui signifie qu’on ne cherchera
surtout pas à déterminer plus précisément ce que c’est !
2 Définition
Un polynôme est une somme (finie) de puissances de l’indéterminée, chacune affectée d’un coefficient
(généralement réel ou complexe). Dire que Qest un polynôme à coefficients réels en l’indéterminée
Xsignifie donc qu’il existe un entier net des réel a0, a1, a2, . . . , antels que :
Q=a0+a1X+a2X2+. . . +anXn
Bien sûr, si on choisit un entier mstrictement supérieur à n, on pourra tout aussi bien écrire :
Q=a0+a1X+a2X2+. . . +anXn+an+1Xn+1 +. . . +amXm,
en convenant que les coefficients an+1, . . . , amsont tous nuls. Ainsi, on peut écrire :
P=−3 + 2X+ 0.X2+ 1.X3+ 0.X4+ 0.X5+. . .
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En pratique, pour éviter la référence à l’indice n, on notera parfois :
Q=
+∞
!
k=0
akXk=a0+a1X+a2X2+. . . +akXk+. . .
(étant entendu que la somme est en fait finie, c’est-à-dire que les coefficients aksont tous nuls à
partir d’un certain rang).
3 Egalité de deux polynômes
Un polynôme est donc essentiellement une suite de coefficients, tous nuls à partir d’un certain rang.
Par convention, on dira que deux polynômes sont égaux s’ils ont les mêmes coefficients. Par exemple,
le polynôme Q="+∞
k=0 akXkest égal au polynôme P=X3+ 2X−3si, et seulement si :
a0=−3,a1= 2,a2= 0,a3= 1 et, pour tout entier k!4,ak= 0.
Attention : il ne suffit pas que les polynômes Pet Qprennent les mêmes valeurs en quelques réels
pour qu’ils soient égaux. Par exemple, pour P=X3+ 2X−3et Q= 3X2−3, on a P$=Q, et
pourtant :
P(0) = Q(0) = −3, P (1) = Q(1) = 0, P (2) = Q(2) = 9.
Ecrire P(x) = Q(x)ou P(n) = Q(n)ne donne aucune indication sur Pet Qsi ces égalités ne sont
vraies que pour un nombre fini de valeurs de xou de n.
4 Un résultat important
On prouvera, plus tard dans l’année, le :
Théorème. Soient Pet Qdeux polynômes à coefficients réels ou complexes. Supposons qu’il existe
une partie infinie Ade Ctelle que, pour tout élément ade A,P(a) = Q(a).
Alors les polynômes Pet Qsont égaux, c’est-à-dire que leurs coefficients sont, deux à deux, égaux.
Par exemple, si on peut prouver que, pour tout entier naturel n,P(n) = Q(n), alors les polynômes P
et Qsont égaux : on peut «identifier» leurs coefficients.
Il est FORMELLEMENT INTERDIT d’«identifier» les coefficients de deux polynômes si on n’a pas
prouvé qu’ils sont égaux à l’aide de ce théorème.
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