FICHE METHODE SYSTEMES LINEAIRES d’INEQUATIONS I) A quoi sert un système linéaire à 2 inéquations et 2 inconnues ? a) Exemples : On veut transporter au moins 100 personnes avec des véhicules à 2 places et d ’autres à 4 places ! sans dépasser 30 véhicules au total ! 2x + 4y ≥ 100 Quels sont les 2 nombres de véhicules possibles ? x + y ≤ 30 On cherche combien on peut acheter d ’articles à 1 euro ou 2 euros pour ne pas dépasser x + y ≥ 100 400 euros mais pour avoir au moins 100 articles ! 1x + 2y ≤ 400 Les lots A à 6 euros contiennent 2 boissons et 3 casse-croûtes. Les lots B à 9 euros contiennent 4 boissons et 5 casse-croûtes. Combien de lots de chaque sorte prendre pour avoir au moins 2x + 4y ≥ 10 10 boissons et 20 casse-croûtes sans dépasser 50 euros 3x + 5y ≥ 20 6x + 9y ≤ 50 b) Remarques : Parmi tous les problèmes que l’on peut rencontrer, il en est une infinité qui peuvent être résolus de la même façon par la résolution d’un système linéaire d’inéquations à 2 inconnues. Quels sont ces problèmes ? qu ’ont-ils de commun ? Comment les résoudre ? II) Qu’est ce qu’un système linéaire d’inéquations à 2 inconnues ? Définition 1: ( SYSTEME LINEAIRE D’ INEQUATIONS A 2 INCONNUES ) Un système linéaire de 2 inéquations à 2 inconnues x et y est de la forme : ax + by < e cx + dy > f où a, b, c, d, e et f sont 6 nombres réels connus et non tous nuls. x et y deux réels inconnus. (on peut avoir <, >, ≥ ou ≤ ). Exemples : 2x + 4y ≥ 100 x + y ≤ 30 x + y ≥ 100 1x + 2y ≤ 400 2x – 1 y < π 3 -0,125x –3y > . 2 Définition 2 : ( COUPLE SOLUTION ) ax + by < e Soit : cx + dy > f un système linéaire. Un couple de nombres réels ( x0 ;y0 ) est un couple-solution du système si et seulement si les inégalités obtenues en remplaçant x par x0 et y par y0 sont des inégalités vraies. Exemples et contres-exemples : x + y < 110 105 + 2 = 107 < 110 : vrai (105;2) est un couple-solution du système x – y > 100 car 105 – 2 = 103 > 100 : vrai x + y < 110 100 + 5 = 105 < 110 : vrai (100;5) n’est pas un couple-solution de x – y > 100 car 100 – 5 = 95 > 100 : Faux III) Comment résoudre un système linéaire ? Définition 3 : ( RESOUDRE UN SYSTEME ) Soit : ax + by < e un système linéaire. cx + dy > f Résoudre le système linéaire, c’est trouver , s’il y en a tous les couples-solution- du système. ■ Propriété 1 : ( REGIONNEMENT DU PLAN, DROITES OBLIQUES ) Soient a ≠ 0 et b ≠ 0 deux nombres réels non nuls Soit (d) la droite d’équation y = ax + b. 1) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient l’inégalité y > ax +b est le ½ plan infini situé au dessus de la droite (d) y y > ax +b 6 4 2 0 0 2) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient l’inégalité y < ax +b est le ½ plan infini situé en dessous de la droite (d) x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 3) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient l’égalité y = ax +b est la droite (d) elle même. Preuve : ( admis ) 4 2 0 0 x 1 2 3 4 5 6 7 y < ax +b Remarque : La propriété ci dessus signifie que l’inéquation y < ax + b admet une infinité de couples-solutions qui forment un ½ plan sous une droite si on les place dans un repère. Exemple : y >–x+4: On construit la droite d’équation y = –x + 4 (tableau de valeurs avec au moins 3 valeurs de x ) x 0 2 4 y 4 2 0 Puis on supprime le ½ plan qui ne convient pas en le hachurant et en « laissant propre » le ½ plan qui convient : ( celui qui est au dessus de la droite dans le cas présent ). y 4 3 y >–x+4 2 1 x 0 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 ■ Propriété 2 : ( REGIONNEMENT DU PLAN, DROITES VERTICALES ) Soit a un nombre réel. Soit (d) la droite parallèle à l’axe (oy) et d’équation x = a. x<a 1) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient l’inégalité x < a est le ½ plan infini situé à gauche de la droite (d) 2) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient l’inégalité x > a est le ½ plan infini situé à droite de la droite (d) 3) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient l’égalité x = a est la droite (d) elle même. y 4 3 2 1 -0,5 0 0 0,5 1 x 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 y 4 3 x>a 2 1 Preuve : ( admis ) Exemple : x < 2 : On construit la droite ( qui est « verticale » , parallèle à l’axe (oy) ) Puis on supprime le ½ plan qui ne convient pas en le hachurant et en « laissant propre » le ½ plan qui convient : ( celui qui est à gauche de la droite (d) dans le cas présent ). -0,5 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 x 3 3,5 4 4,5 6 7 8 9 6 7 8 9 y 4 x<2 3 x > 4 2 1 x 0 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 ■ Propriété 3 : ( REGIONNEMENT DU PLAN, DROITES HORIZONTALE ) Soit a un nombre réel. Soit (d) la droite d’équation y = a. 1) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient l’inégalité y < a est le ½ plan infini situé en dessous de la droite (d) 2) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient l’inégalité y > a est le ½ plan infini situé au dessus de la droite (d) 3) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient l’égalité y = a est la droite (d) elle même. y 6 4 2 0 0 -1 1 y <a x 2 3 4 5 -2 y y >a 6 4 2 0 0 -1 1 x 2 3 4 5 Preuve : ( admis ) Exemple : y < 4 : On construit la droite ( qui est « horizontale » , parallèle à l’axe (ox) ) Puis on supprime le ½ plan qui ne convient pas en le hachurant et en « laissant propre » le ½ plan qui convient : ( celui qui est en dessous de la droite (d) dans le cas présent ). -2 y 4 3 x<4 x > 4 2 1 x 0 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 ■ Propriété 4 : ( INEGALITE ET 4 OPERATIONS DE BASE ( + ; – ; × ; / ) Quels que soient les nombres réels a et b, et quel que soit le réel c on a : 1) a<b ⇔ a+c<b+c 2) a < b ⇔ a – c < b – c ( ajouter ou soustraire un même nombre aux 2 membres d’une inégalité donne une inégalité de même sens ) Pour c > 0 : a < b ⇔ a × c < b × c POur c < 0 : a < b ⇔ a × c > b × c 3) . 4) Pour c > 0 : a < b ⇔ a < b c c . a b Pour c < 0 : a < b ⇔ c > c ( multiplier ou diviser par un même nombre les 2 membres d’une inégalité donne une nouvelle inégalité de même sens si le nombre est positif strict, de sens contraire si le nombre est négatif strict ) Application : On cherche à trouver l’ensemble des couples solution de : 2x + 4y < 10 Pour cela on isole y pour trouver une inéquation « réduite ». ( y … ax +b ) 2x + 4y < 10 ⇔ 2x + 4y – 2x < 10 – 2x ⇔ 4y < –2x + 10 4y –2x + 10 ⇔ < 4 4 –2x 10 ⇔ y< + 4 4 ⇔ y < – 0,5x + 2,5. donc l’ensemble des couples solutions de l’inéquation : 2x + 4y < 10 se trouve en dessous de la droite d’équation y = – 0,5x + 2,5. Remarque : Pour résoudre un système linéaire d’inéquations à 2 inconnues, on procède Graphiquement ainsi : 1) Pour chaque inéquation on isole y ( ou x s’il n’y a pas de y ) afin d’obtenir une inéquation réduite ( propriété 4) 2) On supprime les ½ plans qui ne conviennent pas ( propriété 1,2 ou 3 ) 3) On conclue en mettant en évidence sur le graphique l’ensemble des couples solution du système s’il y en a ! Exemple : x + y < 10 4x +2y > 20 y > 0 équivaut à y < –x +10 → 1/2 plan en dessous y > –2x + 10 → 1/2 plan au dessus y > 0 → 1/2 plan au dessus ( à vérifier ) y 10 8 6 4 2 x 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L’ensemble des couples solutions correspond au triangle « laissé propre » ci dessus.