FICHE METHODE SYSTEMES LINEAIRES d`INEQUATIONS I) A

FICHE METHODE SYSTEMES LINEAIRES d’INEQUATIONS
a) Exemples :
 On veut transporter au moins 100 personnes avec des véhicules à 2 places et d ’autres
à 4 places ! sans dépasser 30 véhicules au total !
Quels sont les 2 nombres de véhicules possibles ? 2x + 4y ≥ 100
x + y ≤ 30
 On cherche combien on peut acheter d ’articles à 1 euro ou 2 euros pour ne pas dépasser
400 euros mais pour avoir au moins 100 articles ! x + y ≥ 100
1x + 2y ≤ 400
 Les lots A à 6 euros contiennent 2 boissons et 3 casse-croûtes.
Les lots B à 9 euros contiennent 4 boissons et 5 casse-croûtes.
Combien de lots de chaque sorte prendre pour avoir au moins
10 boissons et 20 casse-croûtes sans dépasser 50 euros
2x + 4y ≥ 10
3x + 5y ≥ 20
6x + 9y ≤ 50
b) Remarques :
Parmi tous les problèmes que l’on peut rencontrer, il en est une infinité qui peuvent être résolus de
la même façon par la résolution d’un système linéaire d’inéquations à 2 inconnues.
Quels sont ces problèmes ? qu ’ont-ils de commun ? Comment les résoudre ?
Définition 1: ( SYSTEME LINEAIRE D’ INEQUATIONS A 2 INCONNUES )
Un système linéaire de 2 inéquations à 2 inconnues x et y est de la forme : ax + by < e
cx + dy > f
où a, b, c, d, e et f sont 6 nombres réels connus et non tous nuls.
x et y deux réels inconnus. (on peut avoir <, >, ≥
≥≥
≥ ou ≤
≤≤
≤ ).
Exemples :  2x + 4y ≥ 100
x + y ≤ 30
x + y ≥ 100
1x + 2y ≤ 400 
2x – 1
3 y < π
-0,125x –3y > 2 .
Définition 2 : ( COUPLE SOLUTION )
Soit : ax + by < e
cx + dy > f un système linéaire.
Un couple de nombres réels ( x
0
;y
0
) est un couple-solution du système si et seulement si
les inégalités obtenues en remplaçant x par x
0
et y par y
0
sont des inégalités vraies.
I) A quoi sert un système linéaire à 2 inéquations et 2 inconnues
?
II) Qu’est ce qu’un système linéaire
d’inéquations à 2 inconnues ?

Exemples et contres-exemples :
 (105;2) est un couple-solution du système x + y < 110
x – y > 100 car
105 + 2 = 107 < 110 : vrai
105 – 2 = 103 > 100 : vrai
 (100;5) n’est pas un couple-solution de x + y < 110
x – y > 100 car
100 + 5 = 105 < 110 : vrai
100 – 5 = 95 > 100 : Faux
Définition 3 : ( RESOUDRE UN SYSTEME )
Soit : ax + by < e
cx + dy > f un système linéaire.
Résoudre le système linéaire, c’est trouver , s’il y en a tous les couples-solution- du système.
■ Propriété 1 : ( REGIONNEMENT DU PLAN, DROITES OBLIQUES )
Soient a ≠ 0 et b ≠ 0 deux nombres réels non nuls
Soit (d) la droite d’équation y = ax + b.
1) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient
l’inégalité y > ax +b est le ½ plan infini situé au dessus de la droite (d)
2) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient
l’inégalité y < ax +b est le ½ plan infini situé en dessous
de la droite (d)
3) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient
l’égalité y = ax +b est la droite (d) elle même.
Preuve : ( admis )
Remarque : La propriété ci dessus signifie que l’inéquation y < ax + b admet une infinité
de couples-solutions qui forment un ½ plan sous une droite si on les place dans un repère.
Exemple :
y > – x + 4 :
On construit la droite d’équation y = –x + 4 (tableau de valeurs avec au moins 3 valeurs de x )
x 0 2 4
y 4 2 0
Puis on supprime le ½ plan qui ne convient pas en le hachurant et en « laissant propre »
le ½ plan qui convient : ( celui qui est au dessus de la droite dans le cas présent ).
x
y
-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
0
1
2
3
4
III) Comment résoudre un système linéaire
?
x
y
01234567
0
2
4
6
x
y
01234567
0
2
4
6
y > – x + 4
y > ax +b
y < ax +b

■ Propriété 2 : ( REGIONNEMENT DU PLAN, DROITES VERTICALES )
Soit a un nombre réel.
Soit (d) la droite parallèle à l’axe (oy) et d’équation x = a.
1) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient
l’inégalité x < a est le ½ plan infini situé à gauche de la droite (d)
2) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient
l’inégalité x > a est le ½ plan infini situé à droite de la droite (d)
3) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient
l’égalité x = a est la droite (d) elle même.
Preuve : ( admis )
Exemple : x < 2 :
On construit la droite ( qui est « verticale » , parallèle à l’axe (oy) )
Puis on supprime le ½ plan qui ne convient pas en le hachurant et en « laissant propre »
le ½ plan qui convient : ( celui qui est à gauche de la droite (d) dans le cas présent ).
■ Propriété 3 : ( REGIONNEMENT DU PLAN, DROITES HORIZONTALE )
Soit a un nombre réel.
Soit (d) la droite d’équation y = a.
1) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient
l’inégalité y < a est le ½ plan infini situé en dessous de la droite (d)
2) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient
l’inégalité y > a est le ½ plan infini situé au dessus de la droite (d)
3) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient
l’égalité y = a est la droite (d) elle même.
Preuve : ( admis )
Exemple : y < 4 :
On construit la droite ( qui est « horizontale » , parallèle à l’axe (ox) )
Puis on supprime le ½ plan qui ne convient pas en le hachurant et en « laissant propre »
le ½ plan qui convient : ( celui qui est en dessous de la droite (d) dans le cas présent ).
x
y
-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
0
1
2
3
4
x
y
-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
0
1
2
3
4
x > 4
x
y
-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
0
1
2
3
4
x < 2
x
y
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
0
2
4
6
x
y
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
0
2
4
6
x > 4
x < 4
x
y
-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
0
1
2
3
4
x < a
x > a
y < a
y > a

■ Propriété 4 : ( INEGALITE ET 4 OPERATIONS DE BASE ( + ; – ; × ; / )
Quels que soient les nombres réels a et b, et quel que soit le réel c on a :
1 ) a < b ⇔
⇔⇔
⇔ a + c < b + c 2) a < b ⇔
⇔⇔
⇔ a – c < b – c
( ajouter ou soustraire un même nombre aux 2 membres d’une inégalité donne une inégalité de même sens )
3) . Pour c > 0 : a < b ⇔
⇔⇔
⇔ a ×
××
× c < b ×
××
× c
POur c < 0 : a < b ⇔
⇔⇔
⇔ a ×
××
× c > b ×
××
× c 4) .
Pour c > 0 : a < b ⇔
⇔⇔
⇔ a
c < b c
Pour c < 0 : a < b ⇔
⇔⇔
⇔ a
c > b c
( multiplier ou diviser par un même nombre les 2 membres d’une inégalité donne une nouvelle inégalité
de même sens si le nombre est positif strict, de sens contraire si le nombre est négatif strict )
Application : On cherche à trouver l’ensemble des couples solution de : 2x + 4y < 10
Pour cela on isole y pour trouver une inéquation « réduite ». ( y … ax +b )
2x + 4y < 10
⇔ 2x + 4y – 2x < 10 – 2x
⇔ 4y < –2x + 10
⇔ 4y
4 < –2x + 10 4
⇔ y < –2x
4 + 10 4
⇔ y < – 0,5x + 2,5. donc l’ensemble des couples solutions de l’inéquation : 2x + 4y < 10
se trouve en dessous de la droite d’équation y = – 0,5x + 2,5.
Remarque : Pour résoudre un système linéaire d’inéquations à 2 inconnues, on procède
Graphiquement ainsi :
1) Pour chaque inéquation on isole y ( ou x s’il n’y a pas de y ) afin
d’obtenir une inéquation réduite ( propriété 4)
2) On supprime les ½ plans qui ne conviennent pas ( propriété 1,2 ou 3 )
3) On conclue en mettant en évidence sur le graphique l’ensemble des couples
solution du système s’il y en a !
Exemple : x + y < 10
4x +2y > 20
y > 0 équivaut à
y < –x +10 → 1/2 plan en dessous
y > –2x + 10 → 1/2 plan au dessus
y > 0 → 1/2 plan au dessus ( à vérifier )
x
y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
2
4
6
8
10
L’ensemble des couples solutions correspond au triangle « laissé propre » ci dessus.