TD n˚3 : Eléments de la théorie des probabilités

Biostatistiques 1 – HLMA 315
TD n˚3 : Eléments de la théorie des probabilités
Exercice 1. Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
1. Obtenir un nombre premier (divisible seulement par lui-même et par 1) en lançant un dé
équilibré.
2. Obtenir au moins une fois face en lançant deux fois une pièce équilibrée.
3. Obtenir, en tirant une seule carte dans un jeu de 52 cartes, l’une des cartes suivantes : un as,
le 10 de carreau ou le 2 de pique.
4. Obtenir, en tirant une seule carte dans un jeu de 52 cartes, une figure en pique.
5. Obtenir un total de 7 points en lançant deux dés équilibrés.
Exercice 2. On considère une urne qui contient 6 boules rouges, 4 blanches et 5 vertes.
1. On tire une boule au hasard de cette urne et on observe sa couleur. Déterminer Ω, l’ensemble
des réalisations élémentaires. Déterminer la probabilité de chacune de ces réalisations élémentaires. Déterminer la probabilité pour que la boule soit a) rouge ou blanche, b) blanche et
verte, c) pas rouge, d) ni verte ni rouge.
2. On observe la couleur de deux boules tirées au hasard de cette urne en les replaçant dans
l’urne après chaque tirage. Déterminer Ω, l’ensemble des réalisations élémentaires. Déterminer
la probabilité de chacune de ces réalisations élémentaires. Déterminer la probabilité d’observer
a) 2 boules rouges, b) 1 rouge et 1 blanche, c) la première verte et la seconde rouge, d) aucune
boule rouge.
3. On observe la couleur de deux boules tirées au hasard de cette urne sans les replaçer dans
l’urne. Déterminer Ω, l’ensemble des réalisations élémentaires, et leurs probabilités associées.
Déterminer la probabilité d’observer les mêmes événements qu’en 2).
4. On tire au hasard 3 boules de cette urne. Déterminer la probabilité qu’elles soient tirées dans
l’ordre : verte, rouge, blanche si a) elles sont replacées dans l’urne et b) elles ne sont pas
replacées dans l’urne.
5. Même question qu’en 4) avec l’ordre suivant : verte, verte, blanche.
6. On tire maintenant 5 boules de l’urne. Déterminer la probabilité d’observer 5 boules blanches
si a) elles sont replacées dans l’urne et b) elles ne sont pas replacées dans l’urne.
Exercice 3. Formule de Poincaré
1.
2.
3.
4.
Montrer que, pour tout couple d’événements E et F, on a : P(E ∩ F̄ ) = P(E) − P(E ∩ F ).
Ecrire E ∪ F comme la réunion de 3 événements 2 à 2 incompatibles.
En déduire la formule de Poincaré : P(E ∪ F ) = P(E) + P(F ) − P(E ∩ F ).
On choisit au hasard une personne dans la population européenne et l’on considère les deux
événements suivants : E = "la personne est de nationalité française" et F = "la personne
mesure plus de 1m80". Calculer la probabilité que cette personne soit de nationalité française
et mesure plus de 1m80 si :
a) la probabilité qu’elle soit française est de 0.3
b) la probabilité qu’elle mesure plus de 1m80 est de 0.2
c) la probabilité qu’elle soit française ou de taille supérieure à 1m80 est de 0.4
Exercice 4. Indépendance
On considère deux populations d’individus Ω1 et Ω2 de tailles respectives n1 = 65 et n2 = 85. Ces
individus se répartissent selon deux caractères : le sexe (H ou F) et le fait de fumer ou pas (fumeur
ou non fumeur), de la façon donnée par la table suivante :
Ω1
fumeur
non fumeur
H
10
30
Ω2
F
20
5
H
50
10
F
10
15
1. On choisit une personne au hasard de Ω1 . L’événement A : "la personne est une femme" et
l’événement B : "la personne est fumeur" sont-ils indépendants ?
2. Même question si la personne est tirée de Ω2 , puis de Ω = Ω1 ∪ Ω2 . Commenter.
1
Exercice 5. Déterminer si les variables suivantes sont des variables aléatoires (v.a). Si oui, dire si
elles sont discrètes ou continues et déterminer leur domaine SX :
1. Le nombre de pixels défectueux sur un écran d’ordinateur de 17 pouces d’une marque donnée
après un an d’utilisation.
2. L’état (défectueux ou non) d’un pixel choisi au hasard sur cet écran.
3. Le nombre de pixels sur l’écran.
4. La température (en o C) à la station météorologique du Mont Aigoual demain à 12h00.
5. La température (en o C) en ce moment au même endroit.
6. La température (en o C) hier au même endroit, telle que donnée sur les archives du site internet
de l’observatoire.
Exercice 6. Parmi les couples de variables suivantes, identifiez celles qui, selon vous, peuvent être
supposées indépendantes.
1.
2.
3.
4.
La longueur des deux bras d’une même personne choisie au hasard dans une population.
L’âge des prochains mariés à la Mairie de Lattes.
La marque et la couleur de la prochaine voiture qui va s’engager dans un rond-point donné.
La couleur des cheveux et le fait d’être droitier ou non pour une personne choisie au hasard
dans la population française.
5. La température (en o C) à la station météorologique du Mont Aigoual demain à 12h00 et celle
prise à minuit le même jour
6. Le fait d’être droitier ou non et le sexe d’un individu choisi au hasard dans la population
française.
Exercice 7. Soit X une v.a discrète de fonction de masse :
x
P(X = x)
8
1/8
12
1/6
16
3/8
20
1/4
24
1/12
1. Tracer cette fonction de masse.
2. Déterminer E(X) et V(X).
Exercice 8. Déterminer la loi de probabilité du nombre de garçons dans une famille de trois
enfants choisie au hasard dans la population française (on suppose que le sexe à chaque naissance
est indépendant des naissances qui se sont produites avant ou après) :
1. en supposant une probabilité égale de garçon et de filles à chaque naissance.
2. en supposant que pour chaque fille, il naisse 1,06 garçon.
3. Calculer et comparer l’espérance et l’écart-type des 2 lois.
Exercice 9. On considère qu’un certain traitement contre une maladie permet à 2/3 des patients
d’obtenir une rémission complète. Un médecin suit un certain nombre de patients atteint de cette
maladie. S’il administre le traitement à 10 de ses patients, et qu’il nomme X la v.a. donnant le
nombre de patients guéris de la maladie,
1. Déterminer la loi de probabilité de X.
2. Calculer E(X) et V(X).
3. Calculer P(X > 2) et P(2 < X ≤ 4).
Exercice 10. On estime que 20% des canards vivant dans une certaine région sont porteurs du
virus de la grippe aviaire. Au terme d’une journée de chasse, un chasseur en a abattu 15. Soit X la
variable aléatoire donnant le nombre de canards porteurs du virus dans la besace de notre chasseur.
1. Préciser la loi de X. En donner l’espérance et l’écart-type.
2. Calculer P(X = 3), P(X ≥ 3), P(8 < X < 11).
Exercice 11. Soit Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N (0, 1). Déterminer
les probabilités suivantes : P(Z < 0), P(Z < 1.42), P(Z < −0.25), P(Z ≤ 1.57), P(Z > −2.13), P(|Z| >
1.25), P(|Z| < 1), P(−1 < Z ≤ 2), P(−2 ≤ Z ≤ −1), P(|Z| ≥ 2 ou − 1 < Z < 0), P(−0.5 < Z <
1 et 0 < Z < 0.5).
Exercice 12. L’espérance du poids des porcs d’un élevage est de 151 kg et l’écart-type de 15 kg.
On suppose que ces poids sont distribués selon une loi normale. Si on choisit au hasard un lot de
500 porcs, combien (en moyenne) vont peser
1. entre 120 et 155 kg,
2. plus de 185 kg.
Exercice 13. On lance trois dés à 6 faces équilibrés et on observe leurs points X1 , X2 et X3 .
Déterminer l’espérance et la variance de la somme T = X1 + X2 + X3 de leurs points.
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