Groupe opérant sur un ensemble

Préparation à l’agrégation externe de mathématiques
Université de Nice-Sophia-Antipolis
Année 2005-2006
Groupe opérant sur un ensemble - Théorèmes de Sylow
Un groupe fini G ne possède pas nécessairement un sous-groupe d’ordre k, pour un entier k
divisant |G|. Par exemple :
Exercice 1. — Le groupe alterné A4 n’a pas de sous-groupe d’ordre 6.
1.a- Donner les 12 éléments de A4 et leurs ordres (les ordres sont 1, 2 et 3).
1.b- Montrer que le centre Z(A4 ) est réduit à {e} (Ind. Si tel n’est pas le cas il existe σ d’ordre
2 et s d’ordre 3 qui commutent, mais alors l’ordre de σ.s est 6, ce qui contredit la première question).
1.c- Monter que A4 possède un unique sous-groupe K d’ordre 4 et que K / A4 .
1.d- Montrer que A4 n’a pas de sous-groupe d’ordre 6 (Ind. Si L est un sous-groupe de A 4
d’ordre 6, considérer G = K ∩ L. Montrer que G / A4 et |G| = 2. En déduire alors que G ≤ Z(A4 )).
En revanche on va montrer que si |G| = spn avec p un nombre premier qui ne divise pas s, il
existe des sous-groupes de G d’ordre pr , pour 0 ≤ r ≤ n (premier théorème de Sylow).
0. Rappels. Soit G un groupe opérant sur un ensemble E. On note l’action par :
G×E
(g, x)
→ E
7→ g.x
Définitions . — • On appelle G-orbite d’un élément x de E l’ensemble : Ω x = {g.x, g ∈ G}.
• On appelle stabilisateur d’un élément x de G le sous-groupe G x = {g ∈ G; g.x = x} de G.
• On appelle EG = {x ∈ E; g.x = x, ∀g ∈ G} = {x ∈ E; Gx = G} l’ensemble des points fixes de
E sous l’action de G.
Lorsque G opère sur G par conjugaison Gx , est appelé le centralisateur de x dans G, car il s’agit
de l’ensemble des éléments de G qui commutent avec x.
Lorsque G opère sur l’ensemble de ses parties P(G), pour S ∈ P(G), on appelle G S le
normalisateur de S dans G, car si S est un sous-groupe de G, S est normal dans G S . On note
NG (S) le normalisateur de S dans G.
On montre que (équation aux classes) :
card(Ωx ) = [G : Gx ]
et card(E) =
k
X
[G : Gxi ],
i=1
lorsque les xi sont des représentants des G-orbites distinctes.
Pour montrer (∗) il suffit de prouver que pour tout x ∈ E, Ωx → G/Gx définie par g.x 7→ g.Gx
est une bijection.
Lemme 1. — Soit G un groupe fini d’ordre pn avec p un nombre premier et n ≥ 1. Si G opère
sur l’ensemble fini E, alors card(EG ) = card(E) [p].
Comme x ∈ EG ssi Ωx = {x}, EG est l’ensemble des orbites ponctuelles. On écrit :
k
X
card(E) = card(EG ) +
[G : Gxi ], où p divise [G : Gxi ], pour tout i ∈ {1, · · · , k}. 2
Preuve.
i=1
Lemme 2. — Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe G avec :
- [G : H] = r,
- |K| = pn où p est un nombre premier qui ne divise pas r et n ≥ 1,
alors il existe x ∈ G tel que K ≤ xHx−1 .
Preuve. Posons E = G/H, E est alors un ensemble de cardinal r. Si K opère sur E par
translation à gauche, d’après le Lemme 1, card(EK ) = r[p] 6= 0, puisque p ne divise pas r. On a donc
EK 6= ∅. On a : x.H ∈ EK ssi ∀k ∈ K, k(x.H) = x.H ssi K ≤ Gx.H . Mais g ∈ Gx.H ssi g.x.H = x.H
ssi g.x ∈ x.H ssi g ∈ x.H.x−1 . 2
1
(∗)
1. Premier théorème de Sylow.
Théorème (Premier théorème de Sylow, 1872). — Soit G un groupe fini d’ordre sp n
avec p un nombre premier qui ne divise pas s. Pour tout 0 ≤ r ≤ n, il existe un sous-groupe de G
d’ordre pr .
Preuve (H. Wielandt, 1959). Soit F l’ensemble des parties à pr éléments de G.
pr
n−r
, avec p qui ne divise pas λ.
• On a card(F ) = Csp
n = λ.p
r
−1
pY
n
n
sp
sp − k
pr
. Si on écrit k = qpα , avec 0 ≤ α < r et q non divisible par p,
En effet Csp
n =
pr
k
k=1
spn − k
spn−α − q
on a alors :
=
et p ne divise pas spn−α − q.
k
q
• Notons que G opère sur F par translation à gauche puisque si A ⊂ G, g ∈ G, card(g.A) =
card(A). Si A1 , · · · Ak représentent les G-orbites de F , on a :
λpn−r =
k
X
[G : GAi ],
i=1
où GAi est le stabilisateur de Ai dans G. Par conséquent il existe j ∈ {1, · · · , k} tel que pn−r+1 ne
divise pas [G : GAj ].
• On va montrer que H = GAj est d’ordre pr . Comme spn = |H| · [G : GAj ] et que pn−r+1 ne
divise pas [G : GAj ], on écrit : spn = |H| · s0 pβ , avec 0 ≤ β ≤ n − r. Ce qui donne :
|H| = s00 pn−β ,
avec n − β ≥ r.
D’autre part si x ∈ Aj , comme H 3 g 7→ g.x ∈ Aj est injective, on aussi |H| ≤ card(Aj ) = pr .
2
2. Second théorème de Sylow.
Définition. — Soit p un nombre premier. On appelle p-sous-groupe de G un sous-groupe
d’ordre une puissance de p. On appelle p-sous-groupe de Sylow de G, ou plus simplemement p-Sylow
de G, un groupe d’ordre pn , lorsque |G| = spn , avec s non divisible par p.
Lemme 3. — Soit G un groupe fini et S un p-sylow de G, alors S est l’unique p-Sylow du
normalisateur NG (S) de S dans G.
Preuve. On note spn = |G| et s0 pn = |NG (S)| (puisque S est un p-Sylow de NG (S)). Si K est
un autre p-Sylow de NG (S), on a [NG (S) : K] = s0 et par le Lemme 2 il existe x ∈ NG (S) tel que
K ≤ xSx−1 . Mais xSx−1 = S et |S| = |K| = pn donne S = K. 2
Théorème (Second théorème de Sylow, 1872). — Soit G un groupe fini d’ordre sp n , avec
p nombre premier ne divisant pas s et n ≥ 1.
1- Tout p-sous-groupe de G est contenu dans un p−Sylow.
2- Les p-Sylow sont conjugués.
3- Leur nombre est 1[p] et divise s.
Preuve. 1- Soit K un p-sous-groupe de G. Par le premier théorème de Sylow, il existe un
p-Sylow S. D’après le Lemme 2 il existe x ∈ G tel que K ≤ xSx−1 . Mais comme |xSx−1 | = |S| = pn ,
xSx−1 est un p-Sylow.
2- On applique à nouveau le Lemme 2.
3- Soit S l’ensemble des p-Sylow. D’après 2, G opère transitivement par conjugaison sur S,
d’où quel que soit S ∈ S : card(S) = card(ΩS ) = [G : NG (S)]. On en déduit que card(S) divise
[G : S] = s, puisque [G : NG (S)] divise [G : S].
De plus S opérant sur S par conjugaison, par le Lemme 1 : card(S) = card(S S ) [p]. Notons que
S 0 ∈ S S ssi sS 0 s−1 = S 0 , pour tout s ∈ S ssi S ≤ NG (S 0 ). Par le Lemme 3, S 0 est le seul p-Sylow de
NG (S 0 ), donc card(S S ) = 1 et card(S) = 1 [p].
2
Corollaire 4. — Un groupe fini G possède un unique p-Sylow S ssi S / G. En particulier si G
est abélien, G possède un unique p-Sylow.
2
2
Corollaire 5. — Un p-Sylow est un p-sous-groupe maximal pour l’inclusion parmi les p-sous2
groupes.
3. Applications.
Rappel. Soit ζ une racine primitive n-ième de l’unité dans C, ie que ζ n = 1 et ζ m 6= 1, pour
0 < m < n. Une telle racine est un générateur du groupe cyclique des racines
Y n-ième de l’unité. On
note πn l’ensemble des racines primitives n-ième de l’unité et Φ n (X) =
(X − ζ) est appelé le
ζ∈πn
n-ième polynôme cyclotomique. On a alors :
Xn − 1 =
Y
Φd (X).
d/n
En effet les racines de X n − 1 sont les racines n-ième de l’unité. Une telle racine ζ a un ordre d
qui divise n et ainsi X − ζ divise
Y Φd (X), puisque ζ est une racine d-ième primitive de l’unité. On
(X − ζ). Réciproquement, si d/n, une racine d-ième primitive de
en conclut que X n − 1 divise
ζ∈πn
l’unité est une racine de l’unité, donc
Y
(X − ζ) divise X n − 1. Comme ces deux polynômes sont
ζ∈πn
unitaires, on a bien l’égalié annoncée.
Théorème de Wedderburn. Tout corps fini est commutatif.
Solution. Soit k un corps fini de p sa caractéristique et Z le centre de k.
• On a Fp ⊂ Z et en notant r la dimension du Fp -espace vectoriel Z, on obtient card(Z) = pr = q.
De même en notant n = dimZ (k), card(k) = q n = prn .
• Soit x ∈ k, notons kx = {y ∈ k; yx = xy} le centralisateur de x dans k. Soit kx∗ = kx \ {0}.
Comme Z ⊂ kx , en notant d(x) = dimZ (kx ) on obtient card(kx ) = q d(x) . Comme kx∗ est un sousgroupe de k ∗ , q d(x) − 1 divise q n − 1. En écrivant : n = sx d(x) + tx , avec 0 ≤ tx < d(x), on
a:
sX
x −1
q n − 1 = [(q d(x) )sx − 1]q tx + q tx − 1 = (q d(x) − 1)
q tx +id(x) + q tx − 1,
i=0
et donc q d(x) − 1 divise aussi q tx − 1. Comme q ≥ 2 et tx < d(x), on a tx = 0 et ainsi d(x) divise n.
On va montrer que n = 1, ie que Z = k.
• On fait opérer k ∗ par conjugaison sur lui-même. L’équation aux classes (∗) donne :
qn − 1 = q − 1 +
X qn − 1
,
qd − 1
d∈D
où D est un certain ensemble de diviseurs de n distincts de n, d’après le point précédent et non vide
ssi n > 1. On sait que :
Y
Y
qn − 1 =
Φm (q), q d − 1 =
Φm (q).
m/n
m/d
On tire de (1) et (2) que Φn (q) divise q − 1 et donc que |Φn (q)| ≤ q − 1.
• Soit ζ une racine primitive n-ième de l’unité. Puisque n est supposé > 1, on a : |q − ζ| > q − 1.
Il s’ensuit que : |Φn (q)| > (q − 1)ϕ(n) où ϕ(n) est le nombre d’entier < n et premier avec n. En
particulier : |Φn (q)| > q − 1. Ce qui contredit le point précédent. 2
Exercice 1. Soit k un corps de caractéristique p et de cardinal q = p r . Soit G = Gln (k) le
groupe des matrices inversibles n × n à coeffiicients dans k.
n
Y
1- Montrer que |G| = prn(n−1)/2
(q i − 1).
2- Montrer que
n
Y
i=1
i
(q − 1) est premier à q et à p.
i=1
3- Soit S le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures à coefficients diagonaux égaux
à 1. Montrer que S est un p-Sylow de G.
3
(1)
(2)
1− L’ordre de G est le nombre de bases du k-espace k n . Ce nombre est :
n
n
Y
Y
(q i − 1) = prn(n−1)/2
(q i − 1).
(q n − 1)(q n − q) · · · (q n − q n−1 ) = q n(n−1)/2
Solution.
i=1
i=1
2- On montre que q et q i − 1 n’ont pas de diviseur commun autre que 1, pour i = 1 · · · n. En
effet pour i = 1, c’est trivial. Si i > 1, q i − 1 = q(q i − 1) + q − 1. Si q et q i − 1 avait un diviseur
commun autre que 1, il en serait de même de q et q − 1.
3- Le groupe S est d’ordre qq 2 · · · q n−1 = q n(n−1)/2 = prn(n−1)/2
Rappel. On dit qu’un groupe G est simple ssi G 6= e, et les seuls sous-groupes normaux de G
sont {e} et G.
Exercice 2. Si G est un groupe fini d’ordre pn , le centre de G est 6= {e}.
Si G est de plus non abélien, G n’est pas simple.
Solution. On écrit l’équation aux classes (∗) lorsque G agit sur lui-même par conjugaison. En
isolant les classes ponctuelles
X de conjugaison, dont les éléments du centre sont les représentants, on
n
obtient : p = |Z(G)| +
[G : Gxi ], avec I = ∅ si G est abélien. On conclut en disant que p divise
i∈I
[G : Gxi ] dans le cas non abélien.
Supposons maintenant G est de plus non abélien, comme Z(G) 6= G, Z(G) 6= {e} et Z(G) / G,
G n’est pas simple.
Exercice 3. Si G est d’ordre spn et simple alors G possède plusieurs p-Sylow.
Solution. Soit S un p-Sylow de G. Notons que S 6= G par l’exercice pécédent. Si S était
l’unique p-Sylow de G, on aurait S / G, par le Corollaire 4.
Exercice 4. Si G est d’ordre pq, avec p et q deux nombres premiers distincts, alors G n’est pas
simple.
Solution. Supposons par exemple p > q. Le nombre de p-Sylow de G est 1 modulo p et divise
q. Comme p ne peut diviser q − 1, ce nombre est 1, et l’unique p-Sylow de G est propre et normal.
Exercice 5. Soit G un groupe d’ordre pq avec p 6= q, p et q premiers, p 6≡ 1 [q] et q 6≡ 1 [p],
alors G est cyclique.
Solution. G possède un seul p-Sylow Sp puisque le nombre de p-Sylow est 1 + kp et divise q,
soit est égal à q. De même, G possède un seul q-Sylow S q , et par conséquent Sp =< x > est cyclique
et Sp / G, Sq =< y > est cyclique et Sq / G. Montrons que xy = yx. On a x−1 y −1 xy ∈ Sp ∩ Sq car
Sp et Sq sont normaux. Mais comme Sp ∩ Sq = {e}, on a bien xy = yx. L’ordre de xy est alors pq.
Rappel. Soit G et G1 , · · · , Gk des groupes. Alors G est isomorphe au produit direct
k
Y
Gi ssi
i=1
il existe dans G des sous-groupes H1 , · · · , Hk :
i- Gi ' Hi ,
ii- ∀hi ∈ Hi , hj ∈ Hj , hi hj = hj hi ,
iii- G = H1 · · · Hk
iv- ∀i, Hi ∩ H1 · · · Hi−1 Hi+1 · · · Hn = {e}.
αk
1
Exercice 6. Soit g un groupe d’ordre pα
1 · · · pk , avec les pi premiers, distincts et αi > 0. Si
k
Y
Pi .
pour tout i G possède un unique pi -Sylow Pi , G = P1 · · · Pk '
i=1
αk
1
En conséquence si G est abélien et d’ordre pα
1 · · · pk , avec les pi premiers, distincts et αi > 0,
alors G est isomorphe au produit de ses pi -Sylow.
Qk
Solution. Les Pi sont normaux dans G, donc Pi · · · Pk ' i=1 Pi , d’après le rappel. On en
déduit que |Pi · · · Pk | = |P1 | · · · |Pk | = |G|.
Exercice 7. Tout groupe d’ordre 42 n’est pas simple.
Solution. Le nombre de 7-Sylow est 1 + 7k, pour un certain entier k et divise 6. Ce nombre est
donc 1 et ce 7-Sylow est par conséquent normal.
4