Exercice 1

Entiers naturels
Principe de descente in…nie (il n’existe pas dans Nde suite d’entiers strictement décroissante)
Exercice 1) : Soit Aune partie de Ntelle que 8n2A,1
2n2A: Montrer que Aest vide.
Dé…nition de suites par récurrence et raisonnements par récurrence
Exercice 2) : Montrer que 8n2N,8x2[0;
2[,tan(n)(x)0:
Exercice 3) : Soit f: [0;1] ![0;1] une fonction croissante.
a) Soit a2[0;1], on considère (un)n2Ndé…nie par u0=aet un+1 =f(un):Montrer qu’il existe L= limn!+1un.
b) Montrer que a7! L(a)est croissante.
Solution : a) Si u0u1, on a par récurrence unun+1, donc (un)n2Ncroissante. De même, si u0u1, on a (un)n2N
décroissante. Donc (un)n2Nmonotone, d’où l’existence de L= limn!+1un:
b) Si ab, on a par récurrence un(a)un(b)donc par passage à la limite des inégalités larges, L(a)L(b):
Exercice 4) : Montrer que toute suite tendant vers +1admet une suite extraite croissante (tendant vers +1).
Principe des tiroirs
Exercice 5) : Soit n2N. Etant donnés n+ 1 réels x0; :::; xndans [0;1], il existe i6=jtels que jxixjj  1
n:
Cardinaux
Exercice 6) : On pose [[1; n]] = f1;2; :::; ng.
a) Déterminer le nombre d’applications de [[1; p]] dans [[1; n]]:
b) Déterminer le nombre d’injections de [[1; p]] dans [[1; n]]:
c) Déterminer le nombre de surjections de [[1; p]] dans [[1; n]] pour pn+ 1:
Exercice 7) : On suppose card E=n. Calculer m= cardf(A; B)2 P(E)2jA\B=;g.
Solution : Pour A…xée, il y a card P(EnA)choix pour B. Donc m=PA2P(E)2ncard A:
En regroupant les termes selon la valeur de k= card A, on obtient m=Pn
k=0 n
k2nk= (1 + 2)n= 3n:
Coe¢ cients binomiaux
Exercice 8) : Enoncer et montrer (par un argument combinatoire) la formule du triangle de Pascal.
Exercice 9) : Montrer que 8k2 f0;1; :::; n 1g,2n
n= max0k2n2n k. En déduire 1 2n+1 4n2n n4n:
Solution : On a 2n
k=k+ 1
2nk2n
k+1, donc pour tout k < n,2n k<2n k+1:
Donc 2n
n= max0kn2n k, et comme 2n k=2n 2nk, alors 2n n= max0k2n2n k:
On a P2n
k=0 2n
k= 22n= 4n. Donc a fortiori 2n n4n:
D’autre part, P2n
k=0 2n
k(2n+ 1) max0k2n2n k, donc 4n(2n+ 1)2n n:
Arithmétique
Exercice 10) : Un entier n2Nest premier ssi n6= 1 et 8(a; b)2N2,n=ab )(n=aou n=b):
Exprimer la négation (formelle) de cette assertion.

Exercice 11) : Enoncer et prouver la propriété de division euclidienne.
Exercice 12) : Soit n2N. Montrer que Un=fz2Cjzn= 1g=f1; !; !2; :::; !n1g, où !=e2i=n:
Exercice 13) : On pose j=e2i=3:Calculer 1n+jn+j2npour tout n2N:
Exercice 14) : Montrer que les racines réelles du polynôme P=X33X+ 1 sont irrationnelles.
Remarque : Plus généralement, montrer que les racines rationnelles d’un polynôme unitaire à coe¢ cients entiers sont néces-
sairement des entiers. On retrouve ainsi le fait que pm, qui est racine du polynôme X2m, est rationnel ssi mcarré.
Solution : Supposons par l’absurde que r=p
qest racine de P. Alors p33pq2+q3= 0:
On peut supposer pet qpremiers entre eux. Or, qdivise 3pq2et q3, donc qdivise p3:Donc q= 1:
De même, pdivise p33pq2, donc pdivise q3, donc p=1:Donc r=1.
Or, ni 1ni 1ne sont racines de P. D’où une contradiction.
Exercice 15) : Montrer que dans N, le nombre de diviseurs de n=pm1
1:::pmr
rest (m1+ 1)(m2+ 1):::(mr+ 1):
Solution : Il faut considérer naturellement ici que les pisont des nombres premiers (deux à eux distincts).
Les diviseurs de nsont les d=pv1
1:::pvr
r, avec 0vimi:
Il y a (mi+ 1) choix pour vi, et chaque famille (v1; :::; vr)est associée à un diviseur di¤érent.
Donc il y a (m1+ 1)(m2+ 1):::(mr+ 1) diviseurs (entiers naturels) de n.
Exercice 16) : a) Soit m2N. Montrer que met m+ 1 sont premiers entre eux (c’est-à-dire sans facteur premier commun).
b) En considérant (n!) + 1, montrer que l’ensemble des nombres premiers est in…ni.
Solution : a) Si ddivise met m+ 1,ddivise 1, donc d= 1:
b) Il résulte de a) que tout diviseur premier de N= (n!) + 1 est nécessairement > n: Comme npeut être choisi arbutrairement
grand, il résulte de b) que l’ensemble des nombres premiers n’est pas majorée, donc est in…ni.
Exercice 17) : On suppose xet ypremiers entre eux. Montrer que pgcd(x+y; x y)vaut 1 ou 2.
Solution : Si ddivise (x+y)et (xy), alors ddivise 2x= (x+y)+(xy)et 2y= (x+y)(xy):
Comme xet ysont premiers entre eux, alors ddivise 2, donc dvaut 1 ou 2. Donc pgcd(x+y; x y)vaut 1 ou 2.
Exercice 18) : a) Montrer que si adivise b, alors 2a1divise 2b1:
b) Montrer que si 2n1est un nombre premier, alors nest un nombre premier.
Partie entière
Exercice 19) : Montrer que E(2x)2E(x)2 f0;1g:Que dire plus généralement de E(px)pE(x), si p2N?
Solution : Posons n=E(x). On a nx < n + 1, donc 2n2x < 2x+ 2, donc E(2x)vaut nou n+ 1:
Plus généralement, E(px) = pE(x) + r, avec r2 f0;1; :::; p 1g.
Exercice 20) : (Approximation d’un réel par un multiple de ).
a) Soit  > 0. Montrer que pour tout réel x > 0, il existe un unique entier n2Ztel que n x < n +:
Autrement dit, tout réel xs’écrit de façon unique x=n +r, avec r2[0; [:
b) Soit f:R!Rune fonction continue T-périodique de moyenne nulle. Montrer que 8x2R,
Rx
0f(t)dt
RT
0jf(t)jdt: