Exercice 1

Entiers naturels
Principe de descente in…nie (il n’existe pas dans N de suite d’entiers strictement décroissante)
Exercice 1) : Soit A une partie de N telle que 8n 2 A, 12 n 2 A: Montrer que A est vide.
Dé…nition de suites par récurrence et raisonnements par récurrence
Exercice 2) : Montrer que 8n 2 N, 8x 2 [0; 2 [, tan(n) (x)
0:
Exercice 3) : Soit f : [0; 1] ! [0; 1] une fonction croissante.
a) Soit a 2 [0; 1], on considère (un )n2N dé…nie par u0 = a et un+1 = f (un ): Montrer qu’il existe L = limn!+1 un .
b) Montrer que a 7 ! L(a) est croissante.
Solution : a) Si u0
u1 , on a par récurrence un
un+1 , donc (un )n2N croissante. De même, si u0
u1 , on a (un )n2N
décroissante. Donc (un )n2N monotone, d’où l’existence de L = limn!+1 un :
b) Si a
b, on a par récurrence un (a)
un (b) donc par passage à la limite des inégalités larges, L(a)
L(b):
Exercice 4) : Montrer que toute suite tendant vers +1 admet une suite extraite croissante (tendant vers +1).
Principe des tiroirs
Exercice 5) : Soit n 2 N . Etant donnés n + 1 réels x0 ; :::; xn dans [0; 1], il existe i 6= j tels que jxi
xj j
Cardinaux
Exercice 6) : On pose [[1; n]] = f1; 2; :::; ng.
a) Déterminer le nombre d’applications de [[1; p]] dans [[1; n]]:
b) Déterminer le nombre d’injections de [[1; p]] dans [[1; n]]:
c) Déterminer le nombre de surjections de [[1; p]] dans [[1; n]] pour p
n + 1:
Exercice 7) : On suppose card E = n. Calculer m = cardf(A; B) 2 P(E)2 j A \ B = ;g.
Solution : Pour A …xée, il y a card P(E n A) choix pour B. Donc m =
P
En regroupant les termes selon la valeur de k = card A, on obtient m =
Coe¢ cients binomiaux
A2P(E)
Pn
k=0
n
k
2n
2n
card A
k
:
= (1 + 2)n = 3n :
Exercice 8) : Enoncer et montrer (par un argument combinatoire) la formule du triangle de Pascal.
2n
Exercice 9) : Montrer que 8k 2 f0; 1; :::; n 1g, 2n
n = max0 k 2n k . En déduire
k + 1 2n
2n
Solution : On a 2n
, donc pour tout k < n, 2n
k = 2n
k < k+1 :
k k+1
2n
2n
2n
2n
2n
Donc 2n
n = max0 k n k , et comme k = 2n k , alors n = max0 k 2n k :
On a
P2n
k=0
2n
k
D’autre part,
= 22n = 4n . Donc a fortiori
P2n
k=0
2n
k
(2n + 1) max0
2n
n
k 2n
1
n
2n+1 4
2n
n
4n :
2n
k
, donc 4n
(2n + 1)
2n
n
:
Arithmétique
Exercice 10) : Un entier n 2 N est premier ssi n 6= 1 et 8(a; b) 2 N2 , n = ab ) (n = a ou n = b):
Exprimer la négation (formelle) de cette assertion.
4n :
1
n:
Exercice 11) : Enoncer et prouver la propriété de division euclidienne.
Exercice 12) : Soit n 2 N . Montrer que Un = fz 2 C j z n = 1g = f1; !; ! 2 ; :::; ! n
Exercice 13) : On pose j = e2i
=3
1
g, où ! = e2i
=n
:
: Calculer 1n + j n + j 2n pour tout n 2 N:
Exercice 14) : Montrer que les racines réelles du polynôme P = X 3
3X + 1 sont irrationnelles.
Remarque : Plus généralement, montrer que les racines rationnelles d’un polynôme unitaire à coe¢ cients entiers sont nécesp
sairement des entiers. On retrouve ainsi le fait que m, qui est racine du polynôme X 2 m, est rationnel ssi m carré.
Solution : Supposons par l’absurde que r =
p
q
est racine de P . Alors p3
3pq 2 + q 3 = 0:
On peut supposer p et q premiers entre eux. Or, q divise 3pq 2 et q 3 , donc q divise p3 : Donc q = 1:
De même, p divise p3
Or, ni 1 ni
3pq 2 , donc p divise q 3 , donc p =
1: Donc r =
1.
1 ne sont racines de P . D’où une contradiction.
mr
1
Exercice 15) : Montrer que dans N, le nombre de diviseurs de n = pm
est (m1 + 1)(m2 + 1):::(mr + 1):
1 :::pr
Solution : Il faut considérer naturellement ici que les pi sont des nombres premiers (deux à eux distincts).
Les diviseurs de n sont les d = pv11 :::pvrr , avec 0
vi
mi :
Il y a (mi + 1) choix pour vi , et chaque famille (v1 ; :::; vr ) est associée à un diviseur di¤érent.
Donc il y a (m1 + 1)(m2 + 1):::(mr + 1) diviseurs (entiers naturels) de n.
Exercice 16) : a) Soit m 2 N . Montrer que m et m + 1 sont premiers entre eux (c’est-à-dire sans facteur premier commun).
b) En considérant (n!) + 1, montrer que l’ensemble des nombres premiers est in…ni.
Solution : a) Si d divise m et m + 1, d divise 1, donc d = 1:
b) Il résulte de a) que tout diviseur premier de N = (n!) + 1 est nécessairement > n: Comme n peut être choisi arbutrairement
grand, il résulte de b) que l’ensemble des nombres premiers n’est pas majorée, donc est in…ni.
Exercice 17) : On suppose x et y premiers entre eux. Montrer que pgcd(x + y; x
Solution : Si d divise (x + y) et (x
y), alors d divise 2x = (x + y) + (x
y) vaut 1 ou 2.
y) et 2y = (x + y)
(x
Comme x et y sont premiers entre eux, alors d divise 2, donc d vaut 1 ou 2. Donc pgcd(x + y; x
Exercice 18) : a) Montrer que si a divise b, alors 2a
b) Montrer que si 2n
1 divise 2b
y):
y) vaut 1 ou 2.
1:
1 est un nombre premier, alors n est un nombre premier.
Partie entière
Exercice 19) : Montrer que E(2x)
Solution : Posons n = E(x). On a n
2E(x) 2 f0; 1g: Que dire plus généralement de E(px)
x < n + 1, donc 2n
Plus généralement, E(px) = pE(x) + r, avec r 2 f0; 1; :::; p
pE(x), si p 2 N ?
2x < 2x + 2, donc E(2x) vaut n ou n + 1:
1g.
Exercice 20) : (Approximation d’un réel par un multiple de ).
a) Soit
> 0. Montrer que pour tout réel x > 0, il existe un unique entier n 2 Z tel que n
Autrement dit, tout réel x s’écrit de façon unique x = n + r, avec r 2 [0; [:
b) Soit f : R ! R une fonction continue T -périodique de moyenne nulle. Montrer que 8x 2 R,
x<n + :
Rx
0
f (t) dt
RT
0
jf (t)j dt: