Le groupe (Z/pZ) est cyclique

Sandrine CARUSO
Le groupe (Z/pZ)×est cyclique
Référence : Francinou-Gianella-Nicolas, Oraux X-ENS, algèbre 1
Théorème. Le groupe (Z/pZ)×est cyclique.
Ce groupe est de cardinal p−1, il suffit donc de montrer qu’il a un élément d’ordre
p−1. Tout d’abord, montrons que si qest un nombre premier et α > 0un entier tels
que qαdivise p−1, alors (Z/pZ)×admet un élément d’ordre qα.
Pour cela, on note, pour x∈(Z/pZ)×,yx=xp−1
qα. D’après le petit théorème de Fer-
mat, yqα
x= 1, donc l’ordre de yxest de la forme qrxavec rx6α. Soit r= max{rx, x ∈
(Z/pZ)×}. Montrons que r=α.
Pour tout x∈(Z/pZ)×,yqr
x= 1 c’est-à-dire x
p−1
qα−r= 1. Ainsi, tout élément de
(Z/pZ)×est racine du polynôme X
p−1
qα−r−1, qui a donc au moins p−1racines distinctes
dans le corps Z/pZ. Par conséquent, il est de degré au moins p−1, ce qui assure que
r=α. Donc (Z/pZ)×admet au moins un élément d’ordre qα.
Maintenant, pour conclure, nous allons utiliser le lemme suivant.
Lemme. Soit Gun groupe abélien. On suppose que Gadmet un élément xd’ordre pet
un élément yd’ordre qtels que pet qsont premiers entre eux. Alors xy est d’ordre pq.
Démonstration. Soit kl’ordre de xy. Déjà, on a (xy)pq = (xp)q(yq)p= 1, ce qui assure
que kdivise pq.
Ensuite, comme (xy)k= 1, on a aussi 1 = (xy)qk =xqk, et puisque xest d’ordre p,
pdivise qk. Or, pet qsont premiers entre eux donc pdivise k. De même, qdivise k. Le
fait que pet qsoient premiers entre eux implique alors encore que pq divise k.
Finalement, k=pq.
En décomposant p−1 = qα1
1· · · qαr
ren facteurs premiers, on montre par récurrence
que (Z/pZ)×admet un élément d’ordre p−1.
Application. Soit pun nombre premier. Si p≡1 (mod 4), alors −1est un carré dans
Z/pZ.
Soit aun générateur de (Z/pZ)×. L’hypothèse revient à dire que p−1
4est entier. Soit
alors b=ap−1
4. Puisque aest un générateur de (Z/pZ)×,ap−1= 1 mais ap−1 26= 1,
c’est-à-dire b4= 1 mais b26= 1 :b2est une racine carrée de 1qui n’est pas 1, donc
b2=−1.
Remarque. Réciproquement, si −1est un carré dans Z/pZ, alors p= 2 ou p≡1
(mod 4) (notons que si p= 2,−1est un carré dans Z/pZ). En effet, si p6= 2 et si
−1 = b2dans Z/pZ, alors (−1)p−1
2=bp−1= 1, et donc p−1
2est pair.
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