SVTE 101 Exercices Probabilités conditionnelles, Bayes Bernhard

SVTE 101 Exercices Probabilit´es conditionnelles, Bayes Bernhard Haak
Exercice 1 On a un test de s´erologie pour identifier une maladie qui atteint 0,5%
de la population. Sur 99% des malades, le test r´eagit (c’est `a dire,99% des malades sont
identifi´es par le test) mais sur 2% des sains, le test montre une fausse r´eaction positive.
Patient Afait un test qui revient positif. Quel est la probabilit´e d’ˆetre malade?
Refaisons des calculs avec des chiffres de la vraie vie:
1. pour d´etecter un cancer des femmes `a partir de 50 ans font une mammographie.
On sait que 1% des femmes `a cet ˆage sont atteint par un cancer. La d´etection d’un
cancer sur le mammogramme fonctionne dans 9 sur 10 cas. Par contre une fausse
d´etection (c’est `a dire des femmes saines aux quels un cancer est ’d´etect´e) est de 9%.
Une femme vient d’apprendre une mammographie positive. Quel est la probabilit´e
d’avoir vraiment un cancer?
2. Cancer du colon : la rate de ce cancer `a l’ˆage de 50 est de 0,3%. Le m´edecin offre
un test de d´etection de sang dans les selles. A 50% des personnes qui souffrent d’un
cancer d’intestin, ce test est positif. Les d´etections faux-positives sont de 3%. Quel
est la probabilit´e de souffrir d’un cancer sachant que le test `a ´et´e positives?
3. SIDA: Le test double standard (ELIZA et Western-Blot) d´etectent dans 99,9% des
le virus IH et la rate de faux-positifs est de 0,01%. Une personne sans facteurs de
risque particuliers appartient `a un groupe dans lequel seulement 0,01% portent le
virus VIH. Son test et positif. Quel est la probabilit´e d’ˆetre porteur de VIH?
Remarque: Selon une enquˆete de l’institut Max-Planck, si on demande `a des m´edecins de
choisir comme r´epoinse `a la question (1) entre 3 probabilit´es possibles (`a peu pr`es 90%, `a
peu pr`es 50% ou `a peu pr`es 9%) seul un tiers des m´edecins trouvent la bonne r´eponse ...
Source: http://www.mpib-berlin.mpg.de/de/forschung/abc/rechenbeispiele.htm)
Exercice 2 (DS 2007)
Lors de l’impression d’un quotidien on peut avoir deux types d’erreurs, appel´es erreur A
et erreur B. La probabilit´e d’avoir l’erreur A est 0.2, la probabilit´e d’avoir l’erreur B mais
pas l’erreur A est 0.1 et la probabilit´e d’avoir simultan´ement les erreurs A et B est 0.05
1. Avec quelle probabilit´e a t-on l’erreur B ?
2. Avec quelle probabilit´e n’a t-on ni l’erreur A ni l’erreur B ?
3. Avoir l’erreur A et avoir l’erreur B sont-ils deux ´ev´enements ind´ependants ?
4. ( cette question n’´etait pas dans le DS )
Calculer la probabilit´e d’avoir l’erreur Asachant qu’on a l’erreur Bet la probabilit´e
d’avoir l’erreur Bsachant qu’on a l’erreur A
Exercice 3 (Examen 2007-2008, Session 1)
Dans un certain pays il y a deux r´egions : celle du Nord o`u habite 40% de la population
et celle du Sud o`u habite le reste. En ´et´e, 30% des habitants du Nord part en vacances

`a l’´etranger mais seulement 15% des habitants du Sud part en ´et´e `a l’´etranger. Si vous
rencontrez `a l’´etranger un habitant de ce pays, quelle est la probabilit´e qu’il vienne du
Sud ?
Exercice 4 (Examen 2007-2009, Session 2)
Un appareil est ´equip´e de 3 capteurs a,bet c. La probabilit´e de panne du capteur aest
0.15, celle du capteur best 0.05 et celle du capteur cest 0.08. Les pannes des trois capteurs
sont ind´ependantes et l’appareil fonctionne si deux au moins des capteurs fonctionnent.
On note Al’´ev´enement “la capteur aest en panne”, Bl’´ev´enement “la capteur best en
panne” et Cl’´ev´enement “la capteur cest en panne”.
1. Calculer la probabilit´e de l’´ev´enement A∩B∩C(c’est-`a-dire de l’´ev´enement “aet
bfonctionnent et cest en panne”).
2. Exprimer en fonction de A,B,Cet des ´ev´enements contraires A,Bet Cl’´ev´enement
“l’appareil fonctionne”.
3. Calculer la probabilit´e que l’appareil fonctionne.
4. Sachant que l’appareil fonctionne, qu’elle est la probabilit´e que le capteur csoit en
panne ?
Exercice 5 (Examen 2008-2009 Session 1)
Deux tireurs Aet Btirent ind´ependamment une fois au but chacun. La probabilit´e
d’atteindre le but par le tireur Aest ´egale `a 0.8 et elle est de 0.4 pour le tireur B.
1. Ils ont tir´e tous les deux, calculer la probabilit´e que le but soit atteint exactement
une fois.
2. Ils ont tir´e tous les deux et on constate que le but est atteint exactement une fois.
(a) Trouver la probabilit´e que le but ait ´et´e atteint par le tireur A.
(b) Trouver la probabilit´e que le but ait ´et´e atteint par le tireur B
Exercice 6 On a un canal de communication sur lequel des signaux, cod´es en ’mots’
form´es de l’alphabet 0 et 1, sont transmises. Dans ces mots, les ’0’ ne repr´esentent que
10% des ’lettres’ et les ’1’ en repr´esentent 90%.
La r´eception ´etant perturb´e, on sait que 80% des lettres sont bien re¸cues et que 20% sont
invers´es, c’est `a dire 20% des ’0’ ´emises sont re¸cues comme des ’1’ et 20 % des ’1’ ´emises
sont re¸cues comme des ’0’ (faire une petite esquisse de la transmission!)
Pour minimiser les erreurs de transmission, les ing´enieurs ont d´ecid´e d’envoyer chaque
lettre 7 fois a la suite, c’est `a dire s’ils souhaitent transmettre un seul 0, ls envoient
0.00.00.00 et s’ils souhaitent transmettre un seul 1 ils transmettent 1.11.11.11.
L’appareil de r´eception capte la suite 0.10.01.10. Est-ce qu’on va plutˆot d´ecider que
0.00.00.00 ou que 1.11.11.11 a ´et´e envoy´e?