Activité La marche de l`ivrogne

Activité La marche de l’ivrogne Objectifs -­‐
Modélisation d’une marche aléatoire -­‐
Travailler l’algorithmique -­‐
Réinvestir la loi binomiale Une personne fortement alcoolisée quitte ses amis à la sortie d’un restaurant (!). Elle décide de prendre le bus pour rentrer ; l’arrêt de bus (!) est situé en face d’elle. A cause de son état, elle se dirige en direction de cet arrêt de manière aléatoire, en diagonale vers la gauche ou la droite avec la même probabilité ! = 0,5. On suppose que la personne fait exactement 20 pas et que la distance parcourue à chaque pas est identique. La figure ci-­‐contre illustre une marche de deux pas à gauche, puis un à droite, deux à gauche, cinq à droite, sept à gauche et enfin trois à droite. La personne R n’atteint pas ici l’arrêt de bus. Partie A. Algorithmique On a écrit en langage naturel un algorithme qui modélise cette marche aléatoire. 1. Expliquer comment est simulée cette marche aléatoire. En particulier, expliquer le rôle de la variable P. 2. Que représente la variable D ? Quelles valeurs peut prendre cette variable ? 3. a. On suppose qu’une fois le programme exécuté, la variable D a la valeur 10. Interptéter ce résultat. b. En déduire l’instruction à ajouter dans cet algorithme pour contrôler si la personne a rejoint exactement l’arrêt de bus. 4. On souhaite calculer, approximativement, la probabilité qu’a cette personne de rejoindre l’arrêt de bus. Pour cela on a complété l’algorithme précédent et on a utilisé le logiciel Algobox pour le programmer. Il manque à la capture d’écran ci-­‐contre les dernières instructions permettant d’obtenir le résultat voulu. a. Que représente la variable ! ? la variable ! ? b. Compléter la fin de l’algorithme pour qu’il affiche le résultat souhaité. 5. Programmer cet algorithme sur Algobox et déterminer une valeur approchée de la probabilité que la personne ivre rejoigne son arrêt de bus. Variables !, !, ! entiers naturels Début 0 → ! Pour ! allant de 1 à 20 (Nbre aléatoire entre 0 et 1) → ! Si ! = 0 alors ! + 1 → ! FinSi FinPour Fin Partie B. Avec une variable aléatoire 1. On note ! la variable aléatoire qui, à toute marche aléatoire de 20 pas, associe le nombre de pas effectués à droite. Justifier que cette variable aléatoire ! suit la loi binomiale de paramètres ! = 20 et ! = 0,5. 2. a. Quelle est la probabilité que cette variable aléatoire prenne la valeur 10 ? b. Interpréter ce résultat, puis vérifier la cohérence de ce dernier avec les simulations effectuées à la question 5. Partie A. B