Chapitre 3 : Fonctions d`une variable réelle 1 Langage topologique

Universit´es Paris 6 et Paris 7
M1 MEEF
Analyse (UE 3)
2014-2015
Chapitre 3 : Fonctions d’une variable r´eelle
1 Langage topologique dans R
D´efinition 1 Soit aun point de R. Un ensemble V⊂Rest un voisinage de as’il existe un
r´eel r > 0tel que : ]a−r , a +r[⊂V.
D´efinition 2 Soit Aune partie de R. Un point x∈Rest adh´erent `a Asi tout voisinage de
xcontient un point de A. L’ensemble Ades points adh´erents `a Aest appel´e l’adh´erence de A
et on a : A⊂A. On dit que Aest ferm´e si on a : A=A.
D´efinition 3 Soit Aune partie de R. Un point x∈Rest int´erieur `a Asi Aest un voisinage
de x. L’ensemble ◦
Ades points int´erieurs `a Aest appel´e l’int´erieur de Aet on a : ◦ A⊂A. On
dit que Aest ouvert si on a : ◦
A=A.
2 Limites et continuit´e
Soit Aune partie de Ret f:A→Rune application. L’ensemble A, souvent not´e Df, fait
“partie int´egrante” de f: ainsi, la fonction f:R→Rd´efinie par f(x) = x2et sa restriction
f+`a R+sont des objets math´ematiques distincts et n’ont pas les mˆemes propri´et´es, puisque
f+est croissante alors que fne l’est pas.
D´efinition 4 Soit a∈Run point adh´erent `a Dfet soit `∈R. On dit que fadmet `comme
limite au point asi pour tout r´eel ε > 0, il existe un voisinage Vde atel que : |f(x)−`|< ε
pour tout x∈V∩Df. Dans ce cas, le r´eel `est unique et on note :
lim
x→af(x) = ` .
D´efinition 5 Soit Bune partie de Ret soit a∈Run point adh´erent `a Df∩B. On dit que
f(x)tend vers `quand xtend vers aen restant dans Bsi la restriction de f`a B∩Dfadmet
la limite fau point a. Dans ce cas, on note :
`= lim
x→a,x∈Bf(x).
Si on a respectivement B= ] a , +∞[ , B= ] − ∞ , a [ ou B=R\ {a}, on note ainsi :
lim
x→a+f(x) = lim
x→a , x>a f(x),lim
x→a−
f(x) = lim
x→a , x<a f(x) et lim
x→a,x6=af(x)
et les deux premi`eres sont appel´ees la limite `a droite et la limite `a gauche de fau point a.
La troisi`eme est souvent utilis´ee comme d´efinition de la limite au niveau universitaire (alors
que nous adoptons ici les conventions utilis´ees au lyc´ee), ce qui rend moins tautologique la
d´efinition suivante.
D´efinition 6 Soit aun point de Df. On dit que fest continue au point asi fadmet f(a)
comme limite au point a.
En effet, si fest d´efinie au point aet admet une limite en ce point, cette limite ne peut
ˆetre que f(a) d’apr`es notre d´efinition, contrairement au cas suivant.
D´efinition 7 Soit aun point de Df. On dit que fest continue `a droite (resp. `a gauche) au
point asi fadmet f(a)comme limite `a droite (resp. `a gauche) au point a.
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Proposition 1 Soit aun point de Df. La fonction fen continue en asi et seulement si elle
est continue `a droite et `a gauche au point a.
D´efinition 8 On dit que la fonction fest continue si elle est continue en tout point de son
domaine de d´efinition Df.
Th´eor`eme 1 Soit aun point de Df. La fonction fest continue au point asi et seulement
si : pour toute suite (un)`a valeurs dans Dfconvergeant vers a, la suite (f(un)) converge
vers f(a).
Exercice 1 D´emontrer ce th´eor`eme : pour la r´eciproque, on pourra raisonner par contra-
pos´ee.
D´efinition 9 On suppose qu’il existe un r´eel ctel que Dfcontient l’intervalle ]c , +∞[, et
soit `∈R. On dit que fadmet `comme limite en +∞si pour tout r´eel ε > 0, il existe un
r´eel Atel que : pour tout x∈Dfv´erifiant x>A, on a : |f(x)−`|< ε . On note alors :
lim
x→+∞f(x) = ` .
Exercice 2 Soient `∈Ret a∈Run point adh´erent `a Df.´ Ecrire les d´efinitions de :
lim
x→−∞ f(x) = ` , lim
x→af(x) = ±∞ et lim
x→±∞ f(x) = ±∞ .
Exercice 3 Soit Iun intervalle de Ret soit f:I→Rune fonction monotone.
a) Montrer qu’en tout point int´erieur `a I, la fonction fadmet une limite `a droite et une
limite `a gauche. Que se passe-t-il aux bornes de l’intervalle ?
b) On suppose que f(I) est un intervalle. Montrer que fest continue (on pourra raisonner
par contrapos´ee).
3 Fonctions continues sur un intervalle
Th´eor`eme 2 Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires. Soit Iun intervalle de Ret soit
f:I→Rune fonction continue. Alors f(I)est un intervalle.
En d’autres termes, pour tous points a , b ∈Iet tout r´eel λcompris entre f(a) et f(b) , il
existe un r´eel ccompris entre aet btel que : f(c) = λ.
Th´eor`eme 3 Th´eor`eme de la bijection monotone. Soit Iun intervalle de Ret soit
f:I→Rune fonction continue et strictement monotone. Alors fd´efinit une bijection de I
dans l’intervalle J=f(I)et sa bijection r´eciproque f−1:J→Rest continue et a la mˆeme
monotonie que f.
Th´eor`eme 4 Th´eor`eme sur l’image d’un segment. Soit Iun segment de Ret soit
f:I→Rune fonction continue. Alors f(I)est un segment.
En d’autres termes, toute fonction continue sur un segment (intervalle ferm´e et born´e) est
born´ee et atteint ses bornes.
D´efinition 10 Soit f:Df→Rune application. On dit que fest uniform´ement continue
si : pour tout r´eel ε > 0, il existe un r´eel δ > 0tel que pour tous point x , y ∈Dfv´erifiant
|x−y|< δ , on a : |f(x)−`|< ε .
Th´eor`eme 5 Th´eor`eme de Heine. Soit Iun segment de Ret soit f:I→Rune fonction
continue. Alors fest uniform´ement continue.
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Exercice 4 D´emonstration du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.
Soit Iun intervalle de Ret soit f:I→Rune fonction continue. Soient a<bdeux points
de Iv´erifiant f(a)< f(b) et soit λun r´eel tel que : f(a)< λ < f(b) . On pose :
A={x∈[a , b]/ f(x)< λ}.
a) Montrer que Aadmet une borne sup´erieure c∈[a , b] et qu’on a : f(c)6λ.
b) Montrer que a<c<bet que pour tout x∈]c , b] on a : f(x)>λ.
c) En d´eduire le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.
d) En d´eduire le th´eor`eme de la bijection monotone.
Exercice 5 D´emonstration du th´eor`eme sur l’image d’un segment.
Soient a<bdeux r´eels et f: [a , b]→Rune fonction continue.
a) On suppose que fn’est pas major´ee : montrer qu’il existe une suite (xn) de points de
[a , b] telle que f(xn)>npour tout n∈N. En utilisant le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass,
obtenir une contradiction. En d´eduire que fest born´ee.
b) On pose M= sup(f) : montrer qu’il existe une suite (xn)n>1de points de [a , b] v´erifiant :
f(xn)> M −1
npour tout entier n>1.
En utilisant le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass, en d´eduire que fatteint ses bornes.
Exercice 6 D´emonstration du th´eor`eme de Heine.
Soient a < b deux r´eels et f: [a , b]→Rune fonction continue. On suppose que fn’est pas
uniform´ement continue.
a) Montrer qu’il existe un r´eel ε > 0 et deux suites (xn)n>1et (yn)n>1de points de [a , b]
v´erifiant :
|f(xn)−f(yn)|>εet |xn−yn|<1
npour tout entier n>1.
b) Montrer qu’il existe une suite (xσ(p))p∈Nextraite de (xn)n>1qui converge vers un point
c∈[a , b] . Montrer que la suite (yσ(p))p∈Nconverge aussi vers c.
c) En utilisant la continuit´e de fau point c, obtenir une contradiction. Conclure.
Exercice 7 Soit f:R→Rune fonction continue qui admet des limites finies en +∞et en
−∞ . Montrer que fest born´ee.
Exercice 8 Soit f:R→Rune fonction continue. Les affirmations suivantes sont-elles
vraies ou fausses ?
a) Si Iest un intervalle ouvert, alors f(I) est un intervalle ouvert.
b) Si Iest un intervalle ferm´e, alors f(I) est un intervalle ferm´e.
c) Si Iest un intervalle ouvert, alors f−1(I) est un intervalle ouvert.
d) Si Iest un intervalle ferm´e, alors f−1(I) est un intervalle ferm´e.
Exercice 9 Soit T > 0 un r´eel et soit f:R→Rune fonction T-p´eriodique.
a) Montrer que si fest monotone, alors elle est constante.
b) Montrer que si fadmet une limite en +∞ou en −∞ , alors elle est constante.
c) Montrer que si fest continue, alors elle est born´ee et atteint ses bornes.
d) Montrer que si fest continue, alors elle est uniform´ement continue.
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4 D´erivation
D´efinition 11 Soit aun point de Ret soit fune fonction `a valeurs r´eelles d´efinie sur un
voisinage Vde a. On dit que fest d´erivable en asi la fonction g:V\ {a} → Rd´efinie par :
g(x) = f(x)−f(a)
x−a
admet une limite r´eelle au point a. Cette limite se note alors f0(a)et est appel´ee la d´eriv´ee
de fen a. On dit que fest d´erivable si Dfest ouvert et fest d´erivable en tout point de Df.
Proposition 2 Si fest d´erivable au point a, alors elle est continue en a.
En effet, pour tout x∈Df\ {a}on a : |f(x)−f(a)|=|g(x)| | x−a|et si gadmet une
limite au point a, elle est born´ee au voisinage (´epoint´e) de ace qui montre qu’il existe une
constante positive Ctelle que pour tout point x6=aassez proche de a, on a :
|f(x)−f(a)|6C|x−a|
donc f(x) tend vers f(a) quand xtend vers a. La r´eciproque est bien sˆur fausse, et on peut
mˆeme construire des fonctions continues sur Rqui ne sont d´erivables en aucun point.
Les th´eor`emes ci-dessous reposent sur la remarque fondamentale suivante.
Proposition 3 Si fest d´erivable en aet admet un extremum local au point a, alors on a :
f0(a)=0.
Remarquons tout d’abord qu’il est essentiel ici que le domaine de d´efinition Dfsoit un
ouvert. En effet, la fonction f: [0 ,1] d´efinie par f(x) = xadmet des extrema (globaux)
en 0 et en 1 , mais sa d´eriv´ee ne s’annule nulle part ! Pour prouver ce r´esultat, on raisonne
par contrapos´ee en supposant f0(a)6= 0 . La fonction gest alors de signe constant (celui de
f0(a)) sur V0\ {a}o`u V0est un voisinage de aet on a : f(x)−f(a) = g(x) (x−a) pour tout
x∈V0\ {a}donc la fonction f−f(a) change de signe sur tout voisinage de adonc fne peut
pas avoir d’extremum local au point a.
Th´eor`eme 6 Th´eor`eme de Rolle. Soient a < b deux r´eels et soit f: [a , b]→Rune
fonction continue qui est d´erivable sur ]a , b [.Siona:f(a) = f(b), alors il existe un r´eel
c∈]a , b [tel que : f0(c)=0.
Th´eor`eme 7 Th´eor`eme des accroissements finis. Soient a , b deux r´eels tels que a<b
et soit f: [a , b]→Rune fonction continue qui est d´erivable sur ]a , b [. Il existe un r´eel
c∈]a , b [tel que : f(b)−f(a) = (b−a)f0(c).
Th´eor`eme 8 Th´eor`eme sur le sens de variation. Soit Iun intervalle et soit f:I→R
une fonction continue qui est d´erivable `a l’int´erieur de I. Alors :
1) fest constante si et seulement si on a : f0(x) = 0 pour tout x∈◦
I,
2) fest croissante si et seulement si on a : f0(x)>0pour tout x∈◦
I,
3) si on a : f0(x)>0pour tout x∈◦
I, alors fest strictement croissante.
En changeant fen −f, on en d´eduit les cas de d´ecroissance en renversant les in´egalit´es,
et il faut noter que le troisi`eme point n’admet pas de r´eciproque comme le montre l’exemple
de f:R→Rd´efinie par f(x) = x3.
Exercice 10 Soient a<bdeux r´eels et soit f: [a , b]→Rune fonction continue qui est
d´erivable sur ] a , b [ . On suppose que f0x)>0 pour tout x∈]a , b [ et que f0ne s’annule
qu’en un nombre fini de points de ] a , b [ . Montrer que fest strictement croissante.
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D´efinition 12 Soient a , r deux r´eels tels que r > 0et soit f: [a , a +r[→Rune fonction.
On dit que fest d´erivable `a droite en asi la fonction g: ] a , a +r[→Rd´efinie par :
g(x) = f(x)−f(a)
x−a
admet une limite `a droite r´eelle au point a. Cette limite se note alors f0
d(a)et est appel´ee la
d´eriv´ee `a droite de fen a.
On d´efinit de mˆeme la d´eriv´ee `a gauche, et une fonction fd´efinie au voisinage de aest donc
d´erivable en asi et seulement si elle est d´erivable `a droite et `a gauche en aet f0
d(a) = f0
g(a) .
Exercice 11 Soient a , r deux r´eels tels que r > 0 et soit f: [a , a +r[→Rune fonction
continue qui est d´erivable sur ] a , a +r[ . On suppose que sa fonction d´eriv´ee f0admet au
point aune limite `a droite r´eelle `. Montrer que fest d´erivable `a droite en aet que f0
d(a) = `.
Exercice 12 Soit f:R→Rune fonction d´erivable. Les affirmations suivantes sont-elles
vraies ou fausses ? En donner une d´emonstration ou un contre-exemple.
a) Si fadmet un minimum local au point a, alors il existe un r´eel r > 0 tel que fsoit
d´ecroissante sur ] a−r , a] et croissante sur [a , a +r[ .
b) Si fadmet une limite finie en +∞, alors f0tend vers 0 en +∞.
c) Si f0admet une limite finie `en +∞, alors on a : lim
x→+∞
f(x)
x=`.
5 D´eriv´ees d’ordre sup´erieur
Soit Iun intervalle ouvert de Ret soit f:I→Rune application.
D´efinition 13 On dit que fest continˆument d´erivable (ou de classe C1) si elle est d´erivable
et si la fonction f0est continue.
On dit que fest deux fois d´erivable si fest d´erivable et si la fonction f0est d´erivable : sa
d´eriv´ee not´ee f00 ou encore f(2) est alors appel´ee la d´eriv´ee seconde de f. Plus g´en´eralement,
les d´eriv´ees successives sont d´efinies de mani`ere r´ecursive en posant f(0) =f:
D´efinition 14 Pour tout entier n>1, on dit que fest nfois d´erivable si fest n−1fois
d´erivable et si la fonction f(n−1) est d´erivable : sa d´eriv´ee f(n)=f(n−1) 0est alors appel´ee la
d´eriv´ee n-i`eme de f. On dit que fest de classe Cnsi elle est nfois d´erivable et si la fonction
f(n)est continue.
Nous avons suppos´e connues les r`egles de calcul sur les limites, les fonctions continues et
les fonctions d´erivables (qu’il est commode d’appeler “th´eor`emes g´en´eraux” dans une copie).
Rappelons cependant :
Proposition 4 Formule de Leibniz. Soit nun entier naturel. Si les fonctions f , g :I→R
sont nfois d´erivables, alors la fonction f g est nfois d´erivable et on a :
f g(n)=
n
X
k=0 n
kf(k)g(n−k).
6 Exercices compl´ementaires
Exercice 13 Soit f:R→Rla fonction d´efinie par : f(x) = xsi x∈Qet f(x)=1/x si
x∈R\Q.
a) Montrer que fest bijective.
b) Montrer que fest continue en 1 et en −1 .
c) Soit a∈R\ {−1,1}: montrer que fn’est pas continue en a.
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