33 Cours - Variables aléatoires.nb

Variables aléatoires
variable aléatoire réelle, VAR, univers image, X=a,XœA,X<a,a<X<b, SCE associé à une VAR, loi d’une VAR, P
X
,
loi uniforme,
X
~U
H
E
L
, loi de Bernouilli, X~B
H
p
L
, loi binomiale, B
H
n,p
L
, image d’une VAR, couple de VAR, loi conjointe,
VAR indépendantes (mutuellement indépendantes), espérance, E
H
X
L
, varianve, écart type, V
H
X
L
,s
H
X
L
,
I) Variable aléatoire II) Loi d’une variable aléatoire III) Couples de variables aléatoires
IV) Variables aléatoires indépendantes V) Espérance VI) Variance et écart type
Le couple
H
W,P
L
désigne un espace probabilisé fini.
I) Variable aléatoire
1) Définitions
• Une variable aléatoire réelle (VAR) sur un espace probabilisé fini
H
W,P
L
est une application de W dans .
• L’univers image de la VAR X:W ö  est l’ensemble X
H
W
L
=
8
X
H
w
L
ê
w œ W
<
a) X le nombre de FACE lors de 100 lancers successifs d’une pièce de monnaie. X
H
W
L
=
8
0, 1, ..., 100
<
b) S la somme des points obtenus lors du lancer simultané de deux dés cubiques. S
H
W
L
=
8
2, 3, ..., 12
<
2) Notations d’événements associés à une variable aléatoire
Soit X une VAR sur
H
W,P
L
. Alors, pour a,bœ et
A
Õ
, on note:
(1)
I
X=a
M
=X
-1
H
8
a
<
L
(2)
H
XŒA
L
=X
-
1
H
A
L
(3)
H
X<a
L
=X
-
1
H
E
- ¶,a
@
M
et
H
Xba
L
=X
-
1
H
E
- ¶,a
E
M
(de même avec des > ou r)
(4)
H
a<X<b
L
=X
-
1
H
E
a,b
@
M
et
H
abXbb
L
=X
-
1
H
@
a,b
D
L
Avec S la somme des points obtenus lors du lancer simultané de deux dés cubiques, écrire (
S
= 5) et (
S
> 11) .
3) Système complet d’événements associé à une VAR
Soit X une VAR sur
H
W,P
L
dont l’univers image est
X
H
W
L
=
8
x
1
, ..., x
n
<
. Alors:
H
X=x
1
L
,
H
X=x
2
L
,...,
H
X=x
n
L
forment un système complet d’événements de W, appelé SCE associé à la VAR X.
En effet W est la réunion disjointe des X
-
1
H
8
w
<
L
avec
w
œ
X
H
W
L
.
II) Loi d’une variable aléatoire
1) Théorème et définition
Soit X une VAR sur
H
W,P
L
.
L’application notée P
X
:
H
X
H
W
L
L
ö
@
0, 1
D
AöP
H
XœA
L
définit une loi de probabilité sur X
H
W
L
appelée loi de la VAR X .
En effet, si on note E=X
H
W
L
, P
H
E
L
=P
H
XœE
L
=1 et si A et B sont deux parties disjointes de
E
, alors
H
X
œ
A
L
et
H
X
œ
B
L
sont disjoints donc
PX
H
A
‹
B
L
=P
H
XœA
‹
B
L
=P
H
H
XœA
L
‹
H
XœB
L
= P
H
XœA
L
+P
H
XœB
L
=PX
H
A
L
+PX
H
B
L
.
33 Cours - Variables aléatoires.nb 1/9

2) Remarques importante
(1) Lorsque X
H
W
L
=
8
x
1
, ..., x
n
<
, définir la loi P
X
de X revient à donner les valeurs des P
I
X=x
k
M
, c’est à dire les
probabilités des événements du système complet d’événements de W associé à la VAR X.
(2) On a S
k
=
1
n
P
I
X=x
k
M
=1
(3) La connaissance de P
X
ne permet pas de reconstituer la probabilité
P
, sauf si X est injective.
3) Notation usuelle de la loi de X sous forme de tableau
x
k
x
1
x
2
... x
n-1
x
n
P
I
X=x
k
M
p
1
p
2
... p
n-1
p
n
a) Déterminer P
X
avec X = somme des points obtenus lors du lancer de deux dés
b) Déterminer P
X
avec X = nombre de FACE lors de 3 lancers successifs d’une pièce équilibrée
4) Loi uniforme
La VAR X suit une loi uniforme sur E=
8
x
1
, ..., x
n
<
ñ X
H
W
L
=E et "kœ
8
1, ..., n
<
,P
I
X=x
k
M
=
1
n
. On note X~U
H
E
L
On a bien S
k=
1
n
1
n
=1.
Cette loi intervient de la même façon que la probabilité uniforme pour modéliser des événements équiprobables. Par exemple:
• Pour modéliser un dé équilibré à 6 faces, on utilisera une variable X telle que X~U
H
8
1, ..., 6
<
L
.
• Si on choisit au hasard un nombre entre 1 et
n
, la variable aléatoire représentant le numéro suit la loi U
H
8
1, ..., n
<
L
5) Loi de Bernouilli de paramètre p
Jacques ou Jakob Bernoulli (1654 - 1705), mathématicien et physicien suisse.
La VAR X suit une loi de Bernouilli de paramètre pœ
@
0, 1
D
ñX
H
W
L
=
8
0, 1
<
et P
H
X=1
L
=p et P
H
X=0
L
=1-p.
On note X~B
H
p
L
On a bien p+
H
1-p
L
=1
Cette loi intervient pour modéliser une expérience n’ayant que deux issues: succès / échec. Par exemple:
• Pour modéliser le lancer d’une pièce équilibrée, on utilisera une variable X telle que X ~ B
J
1
2
N
, (avec X(PILE) = 1 et
X(FACE) = 0 et P(X = 1) =
1
2
= P(X = 0)) .
• Pour modéliser le choix d’un trèfle lorsqu’on choisit au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes, on utilisera une variable
X telle que X ~
B
J
1
4
N
, (avec X(trèfle) = 1 et X(reste) = 0 et P(X = 1) =
1
4
)
Soit
A
Õ W un événement de probabilité
p
. Alors la fonction indicatrice 1
A
de
A
suit une loi de Bernouilli de paramètre
p
.
6) Loi binomiale de paramètres n et p
La VAR X suit une loi binomiale de paramètres nœ
*
et pœ
@
0, 1
D
ñ X
H
W
L
=
8
0, ..., n
<
et "kœ
8
0, ..., n
<
,P
H
X=k
L
=
n
kp
k
H
1-p
L
n-k
. On note X~B
H
n,p
L
33 Cours - Variables aléatoires.nb 2/9

On a bien S
k=0
n
n
k
pk
H
1-p
L
n-k=
H
p+
H
1-p
L
L
n=1n=1
La loi de Bernouilli de paramètre
p
est la loi binomiale B
H
1, p
L
.
La loi binomiale intervient pour modéliser la répétition (
n
fois) d’une expérience n’ayant que deux issues: succès / échec. En effet:
Soit X la VAR égale au nombre de succès lors de la répétition n fois et dans les mêmes conditions d’une expérience à deux
issues succès et échec telles que P
H
succès
L
=p. Alors X~B
H
n,p
L
.
Notons S = succès, E = échec, Ai l’événement “la i
ième
expérience est un succès” et Ek l’ensemble des parties à k éléments de
8
1, 2, ..., n
<
.
Alors: P
H
X=k
L
=P
‹
IœE
k
›
iœI
Ai
›
›
j–I
Aj (il doit y avoir k succès) = S
IœE
k
P
›
iœI
Ai
›
›
j–I
Aj (les événements sont disjoints)
= S
IœE
k
P
iœI
P
H
Ai
L
P
j–I
P
H
Aj
L
(les événements sont indépendants) = S
IœE
k
p
k
H
1-p
L
n
-
k
=
n
k
pk
H
1-p
L
n-k. Voir aussi IV)) 7)
Exemples typiques: jeu de pile ou face et tirage sans remise dans une urne
a) Si X = le nombre de PILE dans
n
lancers successifs d’une pièce de monnaie équilibrée, alors X~B
J
n,
1
2
N
et donc
P
H
X=k
L
=
n
k
1
2
k
1
2
n-k
=
1
2
n
n
k.
b) Dans une urne contenant N boules indiscernables dont
R
boules rouges. Si X = le nombre de boules rouges dans
n
tirages
successifs avec remise d’une boule dans l’urne, alors
X
~B
H
n,p
L
où
p
=
R
N
est la probabilité de tirer une boule rouge. On a alors
P
H
X=k
L
=
n
kp
k
H
1-p
L
n-k
7) Image d’une variable aléatoire par une fonction
L’image notée
f
H
X
L
de la VAR X:W ö  par la fonction
f
:X
H
W
L
öest la variable aléatoire
f
H
X
L
:W ö 
wöf
H
X
H
w
L
L
Soient X une VAR sur
H
W,P
L
et
f
:X
H
W
L
ö une fonction. On note X
H
W
L
=
8
x
1
, ..., x
n
<
. Alors:
"yœf
H
X
L
H
W
L
,P
f
H
X
L
H
y
L
=P
H
f
H
X
L
=y
L
=
⁄
x
i
œX
H
W
L
ê
f
H
x
i
L
=y
P
H
X=x
i
L
.
Car
H
f
H
X
L
=y
L
est la réunion disjointe des
H
X=xi
L
tels que
f
H
xi
L
=y.
Soit P
X
avec X = somme des points obtenus lors du lancer de deux dés. Calculer P
Y
avec
Y
=
X
-
6
.
8) Exercices
a) On note X l’entier choisit au hasard par un ordinateur dans l’intervalle [1, 100]. Calculer P(17 < X < 25)
b) On tire 20 fois de suite une carte dans un jeu de 32 cartes et on note X le nombre total de trèfles tirés. Calculer P(X=5).
c) On choisit un entier au hasard entre 1 et 9 et on note X l’entier choisi. On construit le rectangle de côtés X et 10 - X, on note Y
sa surface. Calculer les lois P
X
et P
Y
.
d) Dans une classe il y a a 10 garçons et 20 filles. On choisit au hasard un groupe de 5 élèves et on note X le nombre de filles
dans le groupe. Calculer la loi de X.
e) Un joueur ayant un capital de 30 euros lance trois fois de suite deux dés cubiques. A chaque lancer, il gagne 10 euros si la
somme des deux dés est impaire et il perd 10 euros si la somme des deux dés est paire. On note X la somme d’argent restant
après les trois lancers. Calculer P
X
.
f) Un sac contient 5 jetons numérotés de 1 à 5. On tire simultanément trois jetons et on note X le nombre de jetons impairs.
33 Cours - Variables aléatoires.nb 3/9

Déterminer P
X
.
g) On permute au hasard les lettres du mot mississipi et on note S le nombre de s consécutifs au début du mot obtenu. Déterminer
P
S
.
h) On tire simultanément 5 boules dans une urne contenant 10 boules numérotées de 1 à 10. On note X le plus grand numéro
parmi les boules tirées. Calculer P
X
.
i) On lance n fois de suite une pièce équilibrée. On dit qu’il y a un changement dans un lancer si le résultat (PILE ou FACE) est
différent de celui du lancer précédent. On note X le nombre de changements. Déterminer la loi de X.
III) Couples de variables aléatoires
1) Définition
On appelle couple des VAR X et Y, et on note
H
X,Y
L
l’application Z=
H
X,Y
L
définie par: Z:W ö 
2
wö
H
X
H
w
L
,Y
H
w
L
L
2) Système complet d’événements associé à un couple de variables aléatoires
Soit Z=
H
X,Y
L
un couple de VAR sur
H
W,P
L
telles que X
H
W
L
=
8
x
1
, ..., x
n
<
et Y
H
W
L
=
9
y
1
, ... y
p
=
. Alors:
(1) La famille des näp événements
I
H
X=x
i
L
›
I
Y=y
j
M
M
H
i
,
j
L
œ
8
1
,
..
,
n
<
ä
8
1
,
..
,
p
<
est un SCE de W associé à
Z
.
(2) En particulier S
H
i,j
L
œ
8
1,..,n
<
ä
8
1,..,p
<
P
I
H
X=x
i
L
›
I
Y=y
j
M
M
=1
3) Loi conjointe d’un couple de variables aléatoires
La loi conjointe des VAR X et Y ou encore la loi du couple Z=
H
X,Y
L
l’application P
Z
:X
H
W
L
äY
H
W
L
ö
H
x,y
L
öP
H
H
X=x
L
›
H
Y=y
L
L
Avec X
H
W
L
=
8
x
1
, ..., x
n
<
et Y
H
W
L
=
9
y
1
, ... y
p
=
, on représente la loi conjointe de X et Y par le tableau de terme général
p
i
,
j
=P
I
H
X=x
i
L
›
I
Y=y
j
M
M
:
X \ Y y
1
y
2
∫y
p
x
1
p
1,1
p
1,2
∫p
1,p
x
2
p
2,1
p
2,2
∫p
2,p
ª ª ª ª
x
n
p
n,1
p
n,2
∫p
n,p
Une urne contient 3 boules indiscernables numérotées de 1 à 3. On tire successivement deux boules avec remise et on note X
1
et
X
2
les numéros obtenus. On pose enfin X=X
1
et Y=min
H
X
1
,X
2
L
. Déterminer la loi conjointe des lois X et Y.
4) Lois marginales d’un couple de variables aléatoires
Les lois marginales du couple de VAR Z=
H
X,Y
L
sont les lois de X et de Y .
33 Cours - Variables aléatoires.nb 4/9

Soit Z=
H
X,Y
L
un couple de VAR sur
H
W,P
L
.
On note X
H
W
L
=
8
x
1
, ..., x
n
<
et Y
H
W
L
=
9
y
1
, ... y
p
=
,
p
i
,
j
=P
I
H
X=x
i
L
›
I
Y=y
j
M
M
Alors les lois marginales sont données par:
(1) "iœ
8
1, ..., n
<
,P
H
X=x
i
L
= S
j=
1
p
p
i,j
(somme de la i
ème
ligne du tableau)
(2) "jœ
8
1, ..., p
<
,P
I
Y=y
j
M
= S
i
=
1
n
p
i,j
(somme de la
j
ème
colonne du tableau)
Et donc: la loi du couple de VAR Z=
H
X,Y
L
permet de calculer les lois des VAR X et Y, mais les lois des VAR X et Y ne
permettent pas de calculer la loi du couple Z=
H
X,Y
L
D’où l’appellation lois marginales car on retrouve ces lois dans les “marges” du tableau.
Comme
I
Y=yj
M
jbp est un SCE, alors P
H
X=xi
L
= S
j=1
p
P
I
H
X=xi
L
›
I
Y=yj
M
M
d’où
p
i•= S
j=1
p
pi,j et idem pour l’autre.
Avec l’exemple du 3)
X \ Y 1 2 3 Loi de X
1
3
9
0 0
3
9
2
1
9
2
9
0
3
9
3
1
9
1
9
1
9
3
9
Loi de Y
5
9
3
9
1
9
, donc les lois marginales de X et Y sont:
Loi de X :
x
i
123
p
i •
1
3
1
3
1
3
et loi de Y :
y
j
123
p
• j
5
9
3
9
1
9
5) Exercice
Une urne contient
n
boules indiscernables numérotées de 1 à
n
. On tire deux boules et on note X et Y le plus petit et le plus
grand numéro des deux boules. Déterminer la loi du couple (X, Y):
a) Lorsque les tirages se font avec remise.
b) Lorsque les tirages se font sans remise.
6) Lois conditionnelles
Soient X et Y deux VAR sur
H
W,P
L
. On note X
H
W
L
=
8
x
1
, ..., x
n
<
et Y
H
W
L
=
9
y
1
, ... y
p
=
. Alors:
Soit jœ
8
1, ..., p
<
tel que P
I
Y=y
j
M
>0. La loi conditionnelle sachant Y=y
j
de X est l’application
A:X
H
W
L
ö
x
i
öP
Y=yj
H
X=x
i
L
=
P
I
H
X=xi
L
›
I
Y=yj
M
M
P
I
Y=yj
M
On définit de même la loi conditionnelle de Y sachant X=x
i
lorsque P
H
X=x
i
L
>0 .
Avec l’exemple du 3), la loi de X sachant Y=1 est :
x
i
1 2 3
P
Y=1
I
X=x
i
M
3
5
1
5
1
5
33 Cours - Variables aléatoires.nb 5/9