33 Cours - Variables aléatoires.nb
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33 Cours - Variables aléatoires.nb 1/9 Variables aléatoires variable aléatoire réelle, VAR, univers image, X = a, X œ A, X < a, a < X < b, SCE associé à une VAR, loi d’une VAR, PX , loi uniforme, X ~ UHEL, loi de Bernouilli, X ~ B HpL, loi binomiale, B Hn, pL, image d’une VAR, couple de VAR, loi conjointe, VAR indépendantes (mutuellement indépendantes), espérance, E HXL, varianve, écart type, V HXL, s HXL, I) Variable aléatoire II) Loi d’une variable aléatoire III) Couples de variables aléatoires IV) Variables aléatoires indépendantes V) Espérance VI) Variance et écart type Le couple HW, PL désigne un espace probabilisé fini. I) Variable aléatoire 1) Définitions • Une variable aléatoire réelle (VAR) sur un espace probabilisé fini HW, PL est une application de W dans . • L’univers image de la VAR X : W ö est l’ensemble XHWL = 8 X HwL ê w œ W< a) X le nombre de FACE lors de 100 lancers successifs d’une pièce de monnaie. XHWL = 80, 1, ..., 100< b) S la somme des points obtenus lors du lancer simultané de deux dés cubiques. SHWL = 82, 3, ..., 12< 2) Notations d’événements associés à une variable aléatoire Soit X une VAR sur HW, PL. Alors, pour a, b œ et A Õ , on note: (1) IX = aM = X -1 H8a<L (2) HX Œ AL = X -1 HAL (3) HX < aL = X -1 HE - ¶, a@M et HX b aL = X -1 HE - ¶, aEM (de même avec des > ou r) (4) Ha < X < bL = X -1 HE a, b@M et Ha b X b bL = X -1 H@a, bDL Avec S la somme des points obtenus lors du lancer simultané de deux dés cubiques, écrire (S = 5) et (S > 11) . 3) Système complet d’événements associé à une VAR Soit X une VAR sur HW, PL dont l’univers image est X HWL = 8x1 , ..., xn <. Alors: HX = x1 L, HX = x2 L,..., HX = xn L forment un système complet d’événements de W, appelé SCE associé à la VAR X . En effet W est la réunion disjointe des X -1 H8w<L avec w œ X HWL . II) Loi d’une variable aléatoire 1) Théorème et définition Soit X une VAR sur HW, PL. L’application notée PX : HX HWLL ö @0, 1D définit une loi de probabilité sur X HWL appelée loi de la VAR X . A öP HX œ AL En effet, si on note E = X HWL, P HEL = P HX œ EL = 1 et si A et B sont deux parties disjointes de E, alors HX œ AL et HX œ BL sont disjoints donc PX HA ‹ BL = P HX œ A ‹ BL = PHHX œ AL ‹ HX œ BL = PHX œ AL + PHX œ BL = PX HAL + PX HBL. 33 Cours - Variables aléatoires.nb 2/9 2) Remarques importante (1) Lorsque X HWL = 8x1 , ..., xn <, définir la loi PX de X revient à donner les valeurs des P IX = xk M, c’est à dire les probabilités des événements du système complet d’événements de W associé à la VAR X . n (2) On a S P IX = xk M = 1 k=1 (3) La connaissance de PX ne permet pas de reconstituer la probabilité P, sauf si X est injective. 3) Notation usuelle de la loi de X sous forme de tableau xk x1 x2 ... xn-1 xn P IX = xk M p1 p2 ... pn-1 pn a) Déterminer PX avec X = somme des points obtenus lors du lancer de deux dés b) Déterminer PX avec X = nombre de FACE lors de 3 lancers successifs d’une pièce équilibrée 4) Loi uniforme 1 La VAR X suit une loi uniforme sur E = 8x1 , ..., xn < ñ X HWL = E et " k œ 81, ..., n<, PIX = xk M = . On note X ~ UHEL n n 1 On a bien S k=1 n = 1. Cette loi intervient de la même façon que la probabilité uniforme pour modéliser des événements équiprobables. Par exemple: • Pour modéliser un dé équilibré à 6 faces, on utilisera une variable X telle que X ~ U H81, ..., 6<L . • Si on choisit au hasard un nombre entre 1 et n, la variable aléatoire représentant le numéro suit la loi U H81, ..., n<L 5) Loi de Bernouilli de paramètre p Jacques ou Jakob Bernoulli (1654 - 1705), mathématicien et physicien suisse. La VAR X suit une loi de Bernouilli de paramètre p œ @0, 1D ñXHWL = 80, 1< et PHX = 1L = p et PHX = 0L = 1 - p. On note X ~ BHpL On a bien p + H1 - pL = 1 Cette loi intervient pour modéliser une expérience n’ayant que deux issues: succès / échec. Par exemple: 1 2 • Pour modéliser le lancer d’une pièce équilibrée, on utilisera une variable X telle que X ~ B J N, (avec X(PILE) = 1 et X(FACE) = 0 et P(X = 1) = 1 = P(X = 0)) . 2 • Pour modéliser le choix d’un trèfle lorsqu’on choisit au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes, on utilisera une variable 1 4 X telle que X ~ B J N, (avec X(trèfle) = 1 et X(reste) = 0 et P(X = 1) = 1 ) 4 Soit A Õ W un événement de probabilité p. Alors la fonction indicatrice 1A de A suit une loi de Bernouilli de paramètre p. 6) Loi binomiale de paramètres n et p La VAR X suit une loi binomiale de paramètres n œ * et p œ @0, 1D n k ñ X HWL = 80, ..., n< et " k œ 80, ..., n<, PHX = kL = p H1 - pLn-k . On note X ~ BHn, pL k 33 Cours - Variables aléatoires.nb n On a bien S k=0 n k 3/9 pk H1 - pLn-k = Hp + H1 - pLLn = 1n = 1 La loi de Bernouilli de paramètre p est la loi binomiale BH1, pL. La loi binomiale intervient pour modéliser la répétition (n fois) d’une expérience n’ayant que deux issues: succès / échec. En effet: Soit X la VAR égale au nombre de succès lors de la répétition n fois et dans les mêmes conditions d’une expérience à deux issues succès et échec telles que P HsuccèsL = p. Alors X ~ BHn, pL . Notons S = succès, E = échec, Ai l’événement “la iième expérience est un succès” et Ek l’ensemble des parties à k éléments de 81, 2, ..., n<. Alors: P HX = kL = P ‹ › Ai › › Aj I œ Ek iœI = S (il doit y avoir k succès) = S I œ Ek j–I P P HAi L P P HAj L (les événements sont indépendants) = S I œ Ek i œ I j–I I œ Ek P › Ai › › Aj iœI pk H1 - pLn-k = (les événements sont disjoints) j–I n k pk H1 - pLn-k . Voir aussi IV)) 7) Exemples typiques: jeu de pile ou face et tirage sans remise dans une urne a) Si X = le nombre de PILE dans n lancers successifs d’une pièce de monnaie équilibrée, alors X ~ BJn, PHX = kL = n k 1 1 1 = n k n-k 2 2 2 1 N et donc 2 n . k b) Dans une urne contenant N boules indiscernables dont R boules rouges. Si X = le nombre de boules rouges dans n tirages successifs avec remise d’une boule dans l’urne, alors X ~ BHn, pL où p = PHX = kL = R est la probabilité de tirer une boule rouge. On a alors N n k p H1 - pLn-k k 7) Image d’une variable aléatoire par une fonction L’image notée f HXL de la VAR X : W ö par la fonction f : X HWL ö est la variable aléatoire f HXL : W ö wöf HX HwLL Soient X une VAR sur HW, PL et f : X HWL ö une fonction. On note X HWL = 8x1 , ..., xn <. Alors: " y œ f HXL HWL, Pf HXL HyL = P Hf HXL = yL = P HX = xi L. ⁄ xi œ X HWLê f Hxi L=y Car Hf HXL = yL est la réunion disjointe des HX = xi L tels que f Hxi L = y. Soit PX avec X = somme des points obtenus lors du lancer de deux dés. Calculer PY avec Y = X -6 . 8) Exercices a) On note X l’entier choisit au hasard par un ordinateur dans l’intervalle [1, 100]. Calculer P(17 < X < 25) b) On tire 20 fois de suite une carte dans un jeu de 32 cartes et on note X le nombre total de trèfles tirés. Calculer P(X=5). c) On choisit un entier au hasard entre 1 et 9 et on note X l’entier choisi. On construit le rectangle de côtés X et 10 - X, on note Y sa surface. Calculer les lois PX et PY . d) Dans une classe il y a a 10 garçons et 20 filles. On choisit au hasard un groupe de 5 élèves et on note X le nombre de filles dans le groupe. Calculer la loi de X. e) Un joueur ayant un capital de 30 euros lance trois fois de suite deux dés cubiques. A chaque lancer, il gagne 10 euros si la somme des deux dés est impaire et il perd 10 euros si la somme des deux dés est paire. On note X la somme d’argent restant après les trois lancers. Calculer PX . f) Un sac contient 5 jetons numérotés de 1 à 5. On tire simultanément trois jetons et on note X le nombre de jetons impairs. 33 Cours - Variables aléatoires.nb 4/9 Déterminer PX . g) On permute au hasard les lettres du mot mississipi et on note S le nombre de s consécutifs au début du mot obtenu. Déterminer PS . h) On tire simultanément 5 boules dans une urne contenant 10 boules numérotées de 1 à 10. On note X le plus grand numéro parmi les boules tirées. Calculer PX . i) On lance n fois de suite une pièce équilibrée. On dit qu’il y a un changement dans un lancer si le résultat (PILE ou FACE) est différent de celui du lancer précédent. On note X le nombre de changements. Déterminer la loi de X. III) Couples de variables aléatoires 1) Définition On appelle couple des VAR X et Y , et on note HX, YL l’application Z = HX, YL définie par: Z : W ö 2 wöHX HwL, Y HwLL 2) Système complet d’événements associé à un couple de variables aléatoires Soit Z = HX, YL un couple de VAR sur HW, PL telles que X HWL = 8x1 , ..., xn < et Y HWL = 9y1 , ... yp =. Alors: (1) La famille des nä p événements IHX = xi L › IY = yj MMHi, jLœ81,..,n<ä81,..,p< est un SCE de W associé à Z. (2) En particulier S Hi, jLœ81,..,n<ä81,..,p< P IHX = xi L › IY = yj MM = 1 3) Loi conjointe d’un couple de variables aléatoires La loi conjointe des VAR X et Y ou encore la loi du couple Z = HX, YL l’application PZ : X HWLäY HWL ö Hx,yL öP HHX = xL › HY=yLL Avec X HWL = 8x1 , ..., xn < et Y HWL = 9y1 , ... yp =, on représente la loi conjointe de X et Y par le tableau de terme général pi,j = P IHX = xi L › IY = yj MM: X\Y y1 y2 ∫ yp x1 p1,1 p1,2 ∫ p1,p x2 p2,1 p2,2 ∫ p2,p ª xn ª ª pn,1 pn,2 ª ∫ pn,p Une urne contient 3 boules indiscernables numérotées de 1 à 3. On tire successivement deux boules avec remise et on note X1 et X2 les numéros obtenus. On pose enfin X = X1 et Y = min HX1 , X2 L. Déterminer la loi conjointe des lois X et Y . 4) Lois marginales d’un couple de variables aléatoires Les lois marginales du couple de VAR Z = HX, YL sont les lois de X et de Y . 33 Cours - Variables aléatoires.nb 5/9 Soit Z = HX, YL un couple de VAR sur HW, PL. On note X HWL = 8x1 , ..., xn < et Y HWL = 9y1 , ... yp = , pi,j = P IHX = xi L › IY = yj MM Alors les lois marginales sont données par: p (1) " i œ 81, ..., n<, PHX = xi L = S pi,j (somme de la ième ligne du tableau) j=1 n (2) " j œ 81, ..., p<, PIY = yj M = S pi,j (somme de la jème colonne du tableau) i=1 Et donc: la loi du couple de VAR Z = HX, YL permet de calculer les lois des VAR X et Y , mais les lois des VAR X et Y ne permettent pas de calculer la loi du couple Z = HX, YL D’où l’appellation lois marginales car on retrouve ces lois dans les “marges” du tableau. p p Comme IY = yj Mjbp est un SCE, alors PHX = xi L = S PIHX = xi L › IY = yj MM d’où pi • = S pi,j et idem pour l’autre. j=1 X\Y 1 3 9 1 9 1 9 5 9 1 Avec l’exemple du 3) 2 3 Loi de Y Loi de X : xi 1 2 3 pi• 1 3 1 3 1 3 j=1 2 3 0 0 2 9 1 9 3 9 Loi de X 3 9 3 9 3 9 0 1 9 1 9 et loi de Y : , donc les lois marginales de X et Y sont: yj 1 2 3 p• j 5 9 3 9 1 9 5) Exercice Une urne contient n boules indiscernables numérotées de 1 à n. On tire deux boules et on note X et Y le plus petit et le plus grand numéro des deux boules. Déterminer la loi du couple (X, Y): a) Lorsque les tirages se font avec remise. b) Lorsque les tirages se font sans remise. 6) Lois conditionnelles Soient X et Y deux VAR sur HW, PL. On note X HWL = 8x1 , ..., xn < et Y HWL = 9y1 , ... yp = . Alors: Soit j œ 81, ..., p< tel que P IY = yj M > 0. La loi conditionnelle sachant Y = yj de X est l’application X HWL ö A: xi öPY=y HX=xi L = j P IHX =xi L › IY=yj MM P IY=yj M On définit de même la loi conditionnelle de Y sachant X = xi lorsque P HX = xi L > 0 . Avec l’exemple du 3), la loi de X sachant Y=1 est : xi 1 2 3 PY=1 IX = xi M 3 5 1 5 1 5 33 Cours - Variables aléatoires.nb 6/9 IV) Variables aléatoires indépendantes 1) VAR indépendantes Les VAR X etY définies sur HW, PL sont indépendantes ñ " Hx, yL œ X HWLä Y HWL, P HHX = xL › HY = yLL = P HX = xL P HY = yL ñ " Hx, yL œ X HWLä Y HWL, les événements HX = xL et HY = yL sont indépendants ñ La loi du couple HX, YL est le produit des lois marginales X et Y ñ " A Õ X HWL, " B Õ Y HWL, P HHX œ AL › HY œ BLL = P HX œ AL P HY œ BL . (Seule la dernière implication n’est pas évidente): 2) Composition de VAR indépendantes Soient deux VAR X et Y définies sur HW, PL indépendantes et f et g deux applications définies sur X HWL et Y HWL Alors les VAR f HXL et g HYL sont indépendantes 3) Variables aléatoires mutuellement indépendantes Les n VAR X1 , X2 , ... Xn définies sur HW, PL sont mutuellement indépendantes ñ " Hx1 , x2 , ..., xn L œ X1 HWL äX2 HWL ä ...ä Xn HWL, P HHX1 = x1 L › HX2 = x2 L › ... › HXn = xn LL = P HX1 = x1 L PHX2 = x2 L ... P HXn = xnL. ñ " HA1 , A2 , ..., An L œ HX1 HWLL äHX2 HWLLä ...ä HXn HWLL, les événements HXi œ Ai L sont mutuellement indépendants. ñ " HA1 , A2 , ..., An L œ HX1 HWLL äHX2 HWLLä ...ä HXn HWLL, P HHX1 œ A1 L › HX2 œ A2 L › ... › HXn œ An LL = P HX1 œ A1 L P HX2 œ A2 L ... P HXn œ AnL. (1) En général l’indépendance mutuelle est une hypothèse implicite de travail: on demande rarement de la démontrer. (2) On omet souvent le mot “mutuelle”, et on dit simplement que les VAR X1 , X2 , ... Xn sont indépendantes. L’indépendance mutuelle implique la dépendance 2 à 2, mais, comme pour les événements, la réciproque est fausse. 4) Somme de VAR de Bernouilli indépendantes Soient X1 , X2 , ... Xn définies sur HW, PL, mutuellement indépendantes et suivant toutes la loi de Bernouilli de paramètre p œ @0, 1D. Alors la VAR Y = X1 + X2 + ... + Xn suit la loi binomiale B Hn, pL. Notons que X HWL = 80, ..., n< (car Xi HWL = 80, 1<). Soit k œ 80, ..., n< . On a Y = k ñ k VAR parmi X1 , ..., Xn prennent la valeur 1 et n - k prennent la valeur 0. Or, par exemple, P HHX1 = 1L › ... › HXk = 1L › HXk+1 = 0L › ... › HXn = 0LL = pk H1 - pLn-k (les VAR sont indépendantes). De même pour les n k façons de choisir les k VAR parmi X1 , ..., Xn qui prennent la valeur 1. Finalement P HY = kL = n k pk H1 - pLn-k , CQFD 5) Exercices a) Montrer que: si X ~ B Hn, pL et Y ~ B Hm, pL sont des VAR indépendantes, alors X + Y ~ B Hn + m, pL b) On lance 4 fois une pièce équilibrée et on note X et Y le nombre total de PILE et de FACE obtenus. Les VAR X et Y sontelles indépendantes ? 33 Cours - Variables aléatoires.nb 7/9 c) Soient X et Y deux VAR indépendantes suivant la même loi de Bernouilli B(p). a) Déterminer la loi du couple (S, D) = (X + Y, X - Y) b) Les variables S et D sont-elles indépendantes ? d) Soient X et Y deux VAR indépendantes suivant la loi binomiale BHn, 1 ê 2L. Calculer PHX + Y = nL. V) Espérance d’une variable aléatoire 1) Définition n L’espérance notée E HXL de la VAR X telle que X HWL = 8x1 , ..., xn < est le réel E HXL = S xk P IX = xk M . k=1 L’espérance d’une VAR X est la valeur moyenne pondérée prise par X. Calculer E HYL avec yj 1 2 3 P IY = yj M 5 9 3 9 1 9 2) Expression à l’aide des évènements élémentaires Soient X une VAR sur HW, PL. Alors E HXL = S wœW X HwL P H8w<L . n En notant XHWL = 8x1 , ..., xn < et Ak = HX = Xk L, alors HAk Lkbn est un SCE de W, donc S XHwL PH8w<L = S k=1 w œ Ak wœW n n k=1 k=1 n S XHwL PH8w<L = S xk k=1 S PH8w<L = w œ Ak S xk PHAk L = S xk PHX = xk L = E HXL 3) Espérances des VAR usuelles L’espérance de la VAR X : (1) constante de valeur a est EHXL = a (2) suivant la loi uniforme sur 8a, a + 1, a + 2, ..., b< est EHXL = (3) suivant la loi de Bernouilli B HpL est E HXL = p. a+b . 2 (4) suivant la loi binomiale BHn, pL est E HXL = n p. 4) Propriétés de l’espérance (1) L’espérance est linéaire: soient X et Y deux VAR et a, b œ deux réels: alors EH a X + b YL = a E HXL + b E HYL (2) L’espérance est croissante: soient X et Y deux VAR telles que X b Y . Alors E HXL b E HYL (3) Soient X et Y deux VAR indépendantes sur HW, PL. Alors E HX YL = E HXL E HYL . (1) On utilise le th 2): EHZL = S ZHwL PH8w<L = S wœW wœW Ha X + b YL HwL PH8w<L = a S wœW X HwL P H8w<L + b S wœW Y HwL P H8w<L = a E HXL + b E HYL (2) Car: " w œ W, X HwL b Y HwL et en utilisant le théorème 2). (3) Notons X HWL = 8x1 , ..., xn < et Y HWL = 9y1 , ... yp = et Z = X Y . Alors ZHWL = 9xi yj ë i œ 81, ..., n< et j œ 81, ..., p<= Notons I = 81, ..., n<, J = 81, ..., p< et K = 81, ..., n< ä 81, ..., p<. Alors: E HZL = S Hi,jLœK Ixi yj M P IHX = xi L › IY = yj MM = S Hi,jLœK Ixi yj M P HX = xi L P IY = yj M (X et Y sont indépendantes) = S xi P HX = xi L ⁄ yj P IY = yj M = E HXL E HYL Trouver un exemple où la relation E HX YL = E HXL E HYL n’est plus vraie. iœ I jœ J 33 Cours - Variables aléatoires.nb 8/9 4) Théorème du transfert Soient X une VAR sur HW, PL et f : X HWL ö une fonction. On note X HWL = 8x1 , ..., xn <. Alors: n E Hf HXLL = S f Ixk M P IX = xk M. On peut déterminer l’espérance de f HXL en connaissant uniquement la loi de X k=1 Notons Y = f HXL, YHWL = 9y1 , ..., yp =, Ak = 8i œ 81, ..., n< ê f Hxi L = yk <. Alors HAk Lkbp forme une partition de 81, ..., n<. p p p Alors EHf HXLL = S yk PHY = yk L = S yk S PHX = xi L = S k=1 k=1 iœAk n S f Hxi L PHX = xi L = S f Hxi L PHX = xi L car HAk Lkbp forme une partition de 81, ..., n<. CQFD k=1 iœAk i=1 On lance deux dés et on note X la somme. Calculer E H X - 7 L. 5) Exercices a) Soit X une VAR telle que X ~ B Hn, pL. calculer E J 1 N et E IX 2 M. X+1 b) Inégalité de Markov: Soit X une VAR positive. Démontrer que " l > 0, PH X r lL b 1 E HXL. (Majorer l P H X r lL). l VI) Variance et écart type d’une variable aléatoire 1) Définitions • La variance notée V HXL de la VAR X le réel V HXL = E IHX - E HXLL2 M . • L’écart type notée s HXL de la VAR X le réel s HXL = V HXL . La variance est la moyenne pondérée des carrés des écarts de la VAR X par rapport à son espérance E HXL. La variance et l’écart type sont des indicateurs de dispersion de la VAR X , qui mesurent la “concentration” des valeurs prises par X autour de son espérance E HXL. Plus la variance ou l’écart type sont “petits” , plus les valeurs de X sont proches en moyenne quadratique de E HXL. 2) Exemple On note X la somme de deux dés cubiques lancés simultanément. Calculer V HXL. 3) Propriétés de la variance Soit X une VAR sur HW, PL et soient a, b œ . Alors: (1) V HXL = E IX 2 M - E HXL2 (2) V Ha x + bL = a2 V HXL Montrer que si les VAR X et Y sont indépendantes, alors V HX + YL = V HXL + V HYL et V HX - YL = V HXL + V HYL 4) Variances des VAR usuelles La variance de la VAR X : (1) constante de valeur a est VHXL = 0 (2) suivant la loi uniforme sur 81, 2, ..., n< est VHXL = n2 -1 . 12 (3) suivant la loi de Bernouilli B HpL est V HXL = p H1 - pL. (4) suivant la loi binomiale BHn, pL est V HXL = n p H1 - pL. 33 Cours - Variables aléatoires.nb 9/9 5) Inégalité de Bienaymé - Chebychev Irénée-Jules Bienaymé (1796-1878), et Pafnouti Lvovitch Tchebychev (1821 - 1894) mathématiciens français et russe. 1 Soit X une VAR sur HW, PL et soit ¶ > 0. Alors: P H X - E HXL r ¶L b 2 V HXL . ¶ On a vu l’inégalité de Markov: Soit X une VAR positive sur HW, PL . Alors " l > 0, PH X r lL b 1 l E HXL. On l’applique à Y = HX - E HXLL2 avec l = ¶2 et on en déduit l’inégalité de Bienaymé - Chebychev . 6) Exercices a) On dispose d’un dé cubique truqué dont la probabilité d’apparition d’un chiffre est proportionnel à ce chiffre. a) Calculer l’espérance et la variance de X . b) Comparer P H X - E HXL r 2L et 1 V HXL. L’inégalité de Bienaymé - Chebychev est-elle performante dans cet exemple ? 4 b) On réalise 100 fois la même expérience dont la probabilité de succès est p = 0.6, et on suppose que les expériences sont indépendantes. On note X le nombre total de succès. Minorer P(50 < X < 70).
