33 Exercices - Variables aléatoires.nb

Variables aléatoires
1) Soit X une VAR à valeurs dans {0,1,2} telle que E
H
X
L
=1 et V
H
X
L
=
1
2
. Déterminer la loi de X.
2) On lance simultanémant deux dés à 6 faces et on note X la valeur absolue de la différence des numéros obtenus.
Déterminer la loi de X, calculer E
H
X
L
et V
H
X
L
.
3) Soit X une VAR suivant la loi
B
H
n
,
p
L
. Quel est l’entier kœ
8
0, ..., n
<
tel que P
H
X=k
L
soit maximum ?
4) Soit X une VAR telle que X~B
H
n,p
L
. calculer E
J
1
X
+
1
N
et E
I
X
2
M
.
5) Soient X et Y deux VAR indépendantes suivant la loi U
H
8
1, ..., n
<
L
.
a) Calculer P
H
X=Y
L
et P
H
XrY
L
. b) Déterminer la loi de
Z
=
X
-
Y
6) Soit X une VAR telle que X~B
H
n,p
L
.
a) Calculer
E
H
Y
L
avec Y=
1
1
+
X
. b) Lorsque
p
=
1
2
et a>0, calculer E
H
Z
L
avec Z=2
n
a
X
.
7) On lance 4 fois une pièce équilibrée et on note X et Y le nombre total de PILE et de FACE obtenus.
Les VAR X et Y sont-elles indépendantes ?
8) Soient X et Y deux VAR indépendantes suivant la même loi de Bernouilli B
H
p
L
.
a) Déterminer la loi du couple
H
S
,
D
L
=
H
X
+
Y
,
X
-
Y
L
b) Les VAR
S
et D sont-elles indépendantes ?
9) Soit X une VAR sur
H
W,P
L
telle que X
H
W
L
=
8
0, ..., n
<
. Démontrer que E
H
X
L
= S
k=
1
n
P
H
Xrk
L
.
10) On lance
n
fois de suite une pièce équilibrée et on compte X le nombre de FACE obtenus.
a) Déterminer la loi de X
b) Le compteur X se détraque: lorsque
X
=
0
, le compteur renvoie un nombre aléatoire entre 1 et
n
. Sinon, il fonctionne correcte-
ment. On appelle Y la valeur renvoyée par le compteur. Déterminer la loi de Y ainsi que
E
H
Y
L
.
11) Dans une étable,
n
vaches laitières sont atteintes avec une probabilité p=0.15 d’une maladie M.
Pour dépister cette maladie M, on propose les deux méthodes suivantes:
• A: On effectue une analyse sur un échantillon de lait de chaque vache.
• B: On effectue une analyse sur un échantillon du mélange de lait des
n
vaches, puis, si cette analyse est positive, on
effectue une analyse sur un échantillon de lait de chaque vache. On note X
n
le nombre d’analyses effectuées dans la méthode B.
Calculer E
H
X
n
L
et discuter suivant les valeurs de
n
s’il est plus économique d’adopter la méthode A ou la méthode B.
12) Dans une ville, une proportion
p
de la population est contaminée par un virus contagieux. Si une personne saine rencontre une
personne contaminée, il y a deux chances sur trois pour qu’elle le soit à son tour.
Un étranger sain décide de rendre visite à
n
habitants de cette ville. On note X le nombre de malades rencontrés par cet étranger.
a) Quelle est la loi de X ?
b) Quelle est la probabilité que l’étranger soit malade à l’issue de ces
n
visites ?
13) On dispose de
n
boîtes numérotées de 1 à
n
. Pour tout k, la boîte k contient k boules numérotées de 1 à k.
On choisit au hasard une boîte puis une boule dans cette boîte. On appelle X le numéro de la boîte et Y le numéro de la boule.
a) Déterminer la loi du couple
H
X,Y
L
b) Calculer P
H
X=Y
L
. c) Calculer la loi de Y puis
E
H
Y
L
33 Exercices - Variables aléatoires.nb 1/2

14) Une urne contient
n
boules indiscernables numérotées de 1 à
n
. On tire deux boules et on note X et Y le plus petit et le plus
grand numéro des deux boules. Déterminer la loi du couple
H
X,Y
L
:
a) Lorsque les tirages se font avec remise. b) Lorsque les tirages se font sans remise.
15) Une urne contient
n
boules blanches et
n
boules noires. On effectue des tirages sans remise et on note X le nombre de boules
qu’il faut tirer pour obtenir la dernière boule blanche.
a) Calculer P
H
Xbk
L
pour kœ
8
0, ..., 2 n
<
b) Déterminer la loi de X et calculer E
H
X
L
.
16) Une urne contient
n
boules numérotées de 1 à
n
. On effectue des tirages successifs de boules b
1
,b
2
, ... avec remise jusqu’à
obtenir une boule b
k
dont le numéro est supérieur ou égal au numéro de la boule précédente b
k
-
1
.
On appelle X le nombre de tirages nécessaires (donc X=k).
a) Déterminer X
H
W
L
puis la loi de probabilité de X. b) Calculer E
H
X
L
puis sa limite lorsque
n
tend vers +¶.
17) Loi hypergéométrique
Une urne contient
N
boules:
b
boules blanches et r boules rouges. On tire sans remise
n
boules (nbN) et on note X le nombre de
boules blanches obtenues. On note
p
=
b
N
la proportion de boules blanches dans l’urne.
a) Pour kbmin
H
b,n
L
, prouver que P
H
X=k
L
=
b
k
r
n-k
N
n
. b) Prouver que E
H
X
L
=n p puis que V
H
X
L
=n p
H
1-p
L
H
N
-
n
L
N
-
1
.
18) Une urne contient N boules numérotées de 1 à N. On effectue des tirages successifs de
n
boules avec remise.
On note X et Y le plus petit et le plus grand numéro obtenu.
a) Calculer P
H
Xrk
L
et en déduire la loi de X. b) Calculer
P
H
Y
b
k
L
et en déduire la loi de Y.
c) Calculer P
H
H
X>k
L
›
H
Ybp
L
L
et en déduire la loi du couple
H
X,Y
L
.
d) Répondre aux mêmes questions lorsque les tirages ont lieu simultanément et sans remise.
19) Soit
p
œ
D
0, 1
@
. Une secrétaire effectue
n
appels téléphoniques indépendants vers
n
personnes. A Chaque appel, la probabilité
d’obtenir le correspondant est
p
. On note X le nombre de correspondants obtenus.
Après ses
n
appels, la secrétaire téléphone une seconde fois et dans les mêmes conditions aux n-k personnes qu’elle n’a pas
réussi à joindre la première fois. On note Y le nombre de correspondants obtenus lors de cette seconde série d’appels et on appelle
Z=X+Y le nombre total de correspondants obtenus lors des deux appels.
a) Calculer la loi de X,E
H
X
L
et V
H
X
L
.
b) Pour
k
,
q
œ
8
0
,
...
,
n
<
, calculer P
X
=
k
H
Y=q
L
.
c) Déterminer la loi de
Z
, vérifier que
Z
suit une loi binomiale que l’on précisera.
20) Soit
p
œ
@
0, 1
D
. Une puce se déplace aléatoirement sur une droite. elle au départ à l’origine 0 de la droite et fait à chaque
seconde un bond vers la droite ou vers la gauche d’une unité avec les probabilités respectives
p
et 1 -p.
On appelle X
n
la position de la puce après
n
secondes.
a) Calculer la loi de
X
n
, calculer E
H
X
n
L
puis V
H
X
n
L
.
b) On suppose que
p
=
1
2
.
a) Quelle est la probabilité que la puce soit à l’origine après 2 k secondes ?
b) On note Y
n
le nombre de passages à l’origine entre t=0 et t=n. Calculer E
H
Y
n
L
et donner un équivalent de Y
n
lorsque
n
tend vers l’infini.
On pourra commencer par prouver que "nœ,S
k
=
1
n
1
4
k
2
k
k=
2n+1
4
n
2
n
n-1.
33 Exercices - Variables aléatoires.nb 2/2