Exos de TD : Logique

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Exos de TD : Logique
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Niveau 1
Exercice 1 :
Soient A,Bou Ctrois assertions.
Pour chacune des phrases suivantes dites si elle est vraie ou fausse :
a) Je sais que (Aet B)⇒ C. J’en conclus que A ⇒ C.
b) Je sais que (Aou B)⇒ C. J’en conclus que A⇒C.
c) Je sais que A⇒C, j’en conclus que (Aou B)⇒ C.
d) Je sais que A⇒C, j’en conclus que (Aet B)⇒ C.
e) Je sais que (Aet B)⇒ C. J’en conclus que : si Aest vraie, alors B ⇒ C.
f) Je sais que, si Cest faux, alors A⇒B. J’en conclus que A ⇒ (Bou C).
Exercice 2 :
Montrez avec les r`egles sur OU et ET que :
(i) : (A ⇒ (Bet C)) = ((A ⇒ B) et (A⇒C)).
(ii) : ((Aet B)⇒ C) = ((A⇒ C) ou (B ⇒ C)).
Qu’obtient-on en rempla¸cant ” et ” par ” ou” dans les assertions `a gauche de = ?
Exercice 3 :
Montrez que s’il existe un unique chemin du point A au point B et un unique chemin du
point B au point C, alors il existe un unique chemin du point A au point C.
Exercice 4 :
En raisonnant par analyse et synth`ese, puis par ´equivalence, r´esolvez les ´equations sui-
vantes :
3y−4py+ 3 = 6
px(x−3) = √3x−5
Exercice 5 :
Montrez que :
∀n∈N∗,1 + 1
22+1 32+··· +1 n262−1 n
( Remarquez que le 1/n du second membre vous aide ! !)
Exercice 6 :
Soit ula suite d´efinie par :
u0= 2, u1= 5 et ∀n∈N, un+2 = 5un+1 −6un
V´erifiez que :
∀n∈N, un= 2n+ 3n
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Niveau 2
Exercice 7 :
Montrez que ln(3)/ln(2) est irrationnel.
Exercice 8 :
Soit uune suite r´eelle. La convergence de uest d´efinie par :
∃c∈R,∀∈R∗
+,∃N∈N,∀n>N, |un−c|6
Ecrivez la n´egation de cette d´efinition.
D´eduisez-en que la suite ((−1)n)nn’est pas convergente.
Exercice 9 :
Pour toute assertion A, on note val(A) sa ” valeur bool´eenne” qui vaut 1 si elle est vraie
et 0 sinon.
a) Quel formule entre val(A) et val(non(A)) ? Entre val(Aet B) et val(A), val(B) ?
Idem pour ”ou”.
b) Soit ”xor” le ” ou exclusif”.
V´erifiez que pour toutes assertions Aet B, val(AxorB) = (val(A)−val(B))2.
c) Montrez `a l’aide de val que ” et” est distributif sur ”xor”.
Exercice 10 :
Soit Fune partie non vide du plan affine Pmuni d’ un rep`ere R. Les ´el´ements de Fsont
donc des points rep´er´es par leurs coordonn´ees dans R.
a) Traduire en une assertion du type de celles du (b) les phrases suivantes :
(i) Fcontient une droite parall`ele `a l’ axe des x.
(ii)Toute droite parall`ele `a l’ axe des xrencontre F.
(iii) Fest sym´etrique par rapport au point O.
b) Traduire, quand cela vous semble possible, en une phrase (du type de celles du (a))
les propri´et´es de Fsuivantes :
(I) ∀x∈R,∃y∈R/(x, y)∈F.
(II) ∃x∈R/∀y∈R,(x, y)∈F.
(III) ∀x∈R,∀y∈R,(x, y)∈F( on ´ecrira plutot ∀x, y ∈R,···).
(IV) ∃x∈R/∃y∈R/(x, y)∈F(on ´ecrira plutot ∃x, y ∈R/···)
Exercice 11 :
Soit Aune partie de N∗contenant 1 et v´erifiant :
∀n∈A, 2n∈Aet ∀n∈N∗,(n+ 1 ∈A⇒n∈A)
a) V´erifiez que : ∀r∈N,2r∈A.
b) Montrez que A=N∗.
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Niveau 3
Exercice 12 :
( infinit´e de l’ensemble des nombres premiers )
On a vu en exo du cours que tout entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2 est divisible par au
moins un nombre premier.
a) Soient nun entier naturel et p1, p2,··· , pndes entiers sup´erieurs ou ´egaux `a 2. Mon-
trez que q=p1p2···pn+ 1 n’est divisible par aucun de ces nombres p1, p2,··· , pn.
b) Montrez par l’absurde qu’il y a une infinit´e de nombres premiers.
Exercice 13 :
(´evaluation de la suite de Fibonacci )
Soit ula suite de Fibonacci d´efinie par :
u0=u1= 1 et ∀n∈N, un+2 =un+un+1
Trouvez un r´eel cet 2 r´eels aet bstrictement positifs tels que :
∀n∈N, acn6un6bcn
Exercice 14 :
( ´equation fonctionnelle )
Trouver toutes les fonctions g, d´efinies et d´erivables sur R, et `a valeurs strictement posi-
tives , v´erifiant :
∀x, y ∈R, g(x+y) = g(x)g(y)
Exercice 15 :
( fractions ´egyptiennes)
Nous allons montrer que tout rationnel de ]0,1[ peut s’exprimer comme une somme d’in-
verse d’entiers naturels distincts 2 `a 2 non nuls.
a) Soit xun rationnel de ]0,1[.
On ´ecrit donc x=m/n o`u met nsont 2 entiers v´erifiant 0 < m < n.
On effectue la division euclidienne de npar m:
n=qm +r, q ∈N∗, r ∈ {0,1,··· , m −1}
On suppose que xn’est pas l’inverse d’un entier.
V´erifiez que rest non nul et que x−1
q+ 1 peut s’´ecrire sous la forme :
m0
n0, n0∈N∗, m0∈ {1,··· , m −1}
b) D´emontrer la propri´et´e ´enonc´ee au d´epart.
c) Remarquez au passage que la preuve pr´ec´edente fournit un algorithme de d´ecomposition.
Appliquer cet algorithme `a x= 5/17.
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