Exos de TD : Logique

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Exos de TD : Logique
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Niveau 1
Exercice 1 :
Soient A, B ou C trois assertions.
Pour chacune des phrases suivantes dites si elle est vraie ou fausse :
a) Je sais que (A et B) ⇒ C. J’en conclus que A ⇒ C.
b) Je sais que (A ou B) ⇒ C. J’en conclus que A ⇒ C.
c) Je sais que A ⇒ C, j’en conclus que (A ou B) ⇒ C.
d) Je sais que A ⇒ C, j’en conclus que (A et B) ⇒ C.
e) Je sais que (A et B) ⇒ C. J’en conclus que : si A est vraie, alors B ⇒ C.
f) Je sais que, si C est faux, alors A ⇒ B. J’en conclus que A ⇒ (B ou C).
Exercice 2 :
Montrez avec les règles sur OU et ET que :
(i) : (A ⇒ (B et C)) = ((A ⇒ B) et (A ⇒ C)).
(ii) : ((A et B) ⇒ C) = ((A ⇒ C) ou (B ⇒ C)).
Qu’obtient-on en remplaçant ” et ” par ” ou” dans les assertions à gauche de = ?
Exercice 3 :
Montrez que s’il existe un unique chemin du point A au point B et un unique chemin du
point B au point C, alors il existe un unique chemin du point A au point C.
Exercice 4 :
En raisonnant par analyse et synthèse, puis par équivalence, résolvez les équations suivantes :
p
3y − 4 y + 3 = 6
p
√
x(x − 3) = 3x − 5
Exercice 5 :
Montrez que :
1
1
1
1
+
+
·
·
·
+
6
2
−
22 32
n2
n
( Remarquez que le 1/n du second membre vous aide ! !)
∀n ∈ N∗ , 1 +
Exercice 6 :
Soit u la suite définie par :
u0 = 2, u1 = 5 et ∀n ∈ N, un+2 = 5un+1 − 6un
Vérifiez que :
∀n ∈ N, un = 2n + 3n
1
Niveau 2
Exercice 7 :
Montrez que ln(3)/ ln(2) est irrationnel.
Exercice 8 :
Soit u une suite réelle. La convergence de u est définie par :
∃c ∈ R, ∀ ∈ R∗+ , ∃N ∈ N, ∀n > N, |un − c| 6 Ecrivez la négation de cette définition.
Déduisez-en que la suite ((−1)n )n n’est pas convergente.
Exercice 9 :
Pour toute assertion A, on note val(A) sa ” valeur booléenne” qui vaut 1 si elle est vraie
et 0 sinon.
a) Quel formule entre val(A) et val(non(A)) ? Entre val(A et B) et val(A), val(B) ?
Idem pour ”ou”.
b) Soit ”xor” le ” ou exclusif”.
Vérifiez que pour toutes assertions A et B, val(AxorB) = (val(A) − val(B))2 .
c) Montrez à l’aide de val que ” et” est distributif sur ”xor”.
Exercice 10 :
Soit F une partie non vide du plan affine P muni d’ un repère R. Les éléments de F sont
donc des points repérés par leurs coordonnées dans R.
a) Traduire en une assertion du type de celles du (b) les phrases suivantes :
(i) F contient une droite parallèle à l’ axe des x.
(ii)Toute droite parallèle à l’ axe des x rencontre F .
(iii) F est symétrique par rapport au point O.
b) Traduire, quand cela vous semble possible, en une phrase (du type de celles du (a))
les propriétés de F suivantes :
(I) ∀x ∈ R,∃y ∈ R/(x, y) ∈ F .
(II) ∃x ∈ R/∀y ∈ R, (x, y) ∈ F .
(III) ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, (x, y) ∈ F ( on écrira plutot ∀x, y ∈ R, · · · ).
(IV) ∃x ∈ R/∃y ∈ R/(x, y) ∈ F (on écrira plutot ∃x, y ∈ R/ · · · )
Exercice 11 :
Soit A une partie de N∗ contenant 1 et vérifiant :
∀n ∈ A, 2n ∈ A et ∀n ∈ N∗ , (n + 1 ∈ A ⇒ n ∈ A)
a) Vérifiez que : ∀r ∈ N, 2r ∈ A.
b) Montrez que A = N∗ .
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Niveau 3
Exercice 12 :
( infinité de l’ensemble des nombres premiers )
On a vu en exo du cours que tout entier naturel supérieur ou égal à 2 est divisible par au
moins un nombre premier.
a) Soient n un entier naturel et p1 , p2 , · · · , pn des entiers supérieurs ou égaux à 2. Montrez que q = p1 p2 · · · pn + 1 n’est divisible par aucun de ces nombres p1 , p2 , · · · , pn .
b) Montrez par l’absurde qu’il y a une infinité de nombres premiers.
Exercice 13 :
(évaluation de la suite de Fibonacci )
Soit u la suite de Fibonacci définie par :
u0 = u1 = 1 et ∀n ∈ N, un+2 = un + un+1
Trouvez un réel c et 2 réels a et b strictement positifs tels que :
∀n ∈ N, acn 6 un 6 bcn
Exercice 14 :
( équation fonctionnelle )
Trouver toutes les fonctions g, définies et dérivables sur R, et à valeurs strictement positives , vérifiant :
∀x, y ∈ R, g(x + y) = g(x)g(y)
Exercice 15 :
( fractions égyptiennes)
Nous allons montrer que tout rationnel de ]0, 1[ peut s’exprimer comme une somme d’inverse d’entiers naturels distincts 2 à 2 non nuls.
a) Soit x un rationnel de ]0, 1[.
On écrit donc x = m/n où m et n sont 2 entiers vérifiant 0 < m < n.
On effectue la division euclidienne de n par m :
n = qm + r, q ∈ N∗ , r ∈ {0, 1, · · · , m − 1}
On suppose que x n’est pas l’inverse d’un entier.
1
peut s’écrire sous la forme :
Vérifiez que r est non nul et que x −
q+1
m0 0
, n ∈ N∗ , m0 ∈ {1, · · · , m − 1}
0
n
b) Démontrer la propriété énoncée au départ.
c) Remarquez au passage que la preuve précédente fournit un algorithme de décomposition.
Appliquer cet algorithme à x = 5/17.
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