Statistiques et probabilités Règle de Bayes Philippe Giguère Pourquoi probabilités en robotique? • Pour tenir compte de l’incertitude/bruit liées – aux mesures des capteurs – aux déplacements du robot – méconnaissance de l’environnement • Utiliser des variables aléatoires pour – les mesures (z) – les actions (u) – l’état du robot (X ou x) GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile 2 Variable aléatoire • Variable qui peut prendre des valeurs au hasard, définies dans un espace discret ou continu, selon des lois de probabilité. • Commençons par espace discret variable X CP , CF : pièce de monnaie D C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 : dé à 6 faces GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile 3 Variable aléatoire • On attribue une probabilité à chacun des événements P( X CP ) P( X CF ) 0.5 P(X) 1 1 P( D C1 ) , P( D C2 ) ,etc. 6 6 P(D) P(X) 0.4 0.5 0.3 1/6 0.2 0.1 CP CF pièce de monnaie C1 C2 C3 C4 C5 C6 dé à six faces GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile 10 20 30 40 x (cm) 50 intervalle sur position du robot 4 Propriétés des probabilités • Probabilités sont toujours positives P ( X Ci ) 0 • La somme de la probabilité de tous les événements possibles est 1 P( X C1 ) P( X C2 ) .... 1 GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile 5 Variable aléatoire continue • L’espace de valeur est souvent continu – grandeur d’une personne – voltage du capteur pour une position x du robot – estimé de la position x du robot • Travaille surtout en continu en robotique mobile GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile 6 Variable aléatoire continue (fonction) • Associe une distribution des probabilités pour X • densité p(X) • Aire totale = 1 pdf* peut dépasser 1 p ( X )dX 1 lettre minuscule p(X) 2.0 p(Z) uniforme uniforme aire =1 1.0 aire =1 0 1 X *pdf = probability density function 9 9.5 Z 7 Distribution Gaussienne 1 dimension • Entièrement décrite par 2 paramètres : m et s. m : moyenne s : écart-type e = 2,7182818284590… constante de normalisation (intégrale == 1) g ( x) 1 2s 2 e ( x m )2 2s 2 (autre nom : distribution normale) GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile 8 Exemple en robotique • Décrit bien le bruit sur un grand nombre de capteur biais m + variance s2en fonction des surfaces : 9 Exemple avec matlab • randn • hist faire bien attention!!! la commande rand existe n = 10000; x = randn(1,n); % aléatoire Gaussienne hist(x,40) % 40 = nombre de "bin" xlim([-3 3]); % limite en abscisse title(sprintf('n=%d',n)); plus n est grand, plus on s’approche de la distribution véritable 10 Variable aléatoire continue • Quelle est la probabilité d’avoir X=0.3449242? p(X) 1.0 0 1 X P(X=0.3449242) = 0 (il y a une infinité de nombres réels entre 0 et 1 : ensemble non dénombrable) GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile 11 Variable aléatoire continue • Probabilité : aire sous la courbe p(X) entre deux bornes P(0.5 X 0.8) 0.3 p(X) 1.0 0 0.5 0.8 GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile 1 X 12 Générer un évènement au hasard • Avec matlab (ou autre langage), comment générer un évènement avec probabilité s? génère un nombre entre 0.0 et 1.0, distribution uniforme if (rand()< s) l’événement se produit else l’événement ne se produit pas end p(X) distribution uniforme de rand() 1.0 0 s 1 X 13 Distribution pour plus d’une variable P(A,B) • Probabilité que deux événements se produisent P( x, y) P( X x et Y y) • Appelé probabilité jointe GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile 14 Modèle de la météo au Québec • 2 variables aléatoires – Température T={C,F} – Météo M = {N, PN} (neige ou pas) P(C,N) = 0.001 C F N 0.001 0.2 PN 0.399 0.4 GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile 15 Table des probabilités jointes (discrets) • La taille dépend – du nombre de variable – du nombre d’état par variable • Cas simple : – xi est Vrai/Faux – P(x1, x2, …, xn) – # d’entrée = O(2n) croissance exponentielle – # d’exemple exponentiel pour « tuner » la table • Raisonnement similaire pour continu • On cherche donc à les éviter GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile 16 Indépendance • Si deux événements sont indépendants, alors note:P( A B) est la même chose P( A, B) P( A) P( B) la probabilité que A et B … est égale à la probabilité que A se se produisent produise, multiplié par la probabilité que B se produise. • Simplifie les maths • User et abuser en robotique mobile – pour avoir un résultat calculable en un temps raisonnable! 20 Exemple d’indépendance « abusée » • Deux mesures distances z1 et z2 avec LiDAR P( z1, z2 ) P( z1 ) P( z2 ) indépendants • Rarement vrai… mur mur z1 mur z2 indépendant : oui z1 z2 forte corrélation entre les mesures… car le mur est continu indépendant : pas tout à fait… 21 Probabilités conditionnelles P(A|B) • Parfois, une variable aléatoire nous renseigne sur une autre • De l’exemple sur la météo : – si je vous dis qu’il fait chaud, vous savez fort probablement qu’il ne neige pas – si je vous dis qu’il neige, alors vous pouvez inférer qu’il fait probablement froid • S’il y a dépendance entre A et B : – signifie que de l’information sur A nous donne (un peu? beaucoup?) de l’information sur B, et vice-versa (bon!) – complexifie les calculs (pas bon!) 22 Probabilités conditionnelles P(A|B) • Pour décrire la probabilité que l’événement A se produise, si l’événement B s’est déjà produit. P(A|B) Espace des événements possibles S B A probabilité est proportionnelle à l’aire 23 Probabilités conditionnelles • Pour décrire la probabilité que l’événement A se produise, si l’événement B s’est déjà produit. P(A|B) Espace des événements possibles S B A Événement B s’est produit probabilité est proportionnelle à l’aire 24 Probabilités conditionnelles • Pour décrire la probabilité que l’événement A se produise, si l’événement B s’est déjà produit. P(A|B) Espace des événements possibles B A Événement B s’est produit probabilité est proportionnelle à l’aire 25 Probabilités conditionnelles • Pour décrire la probabilité que l’événement A se produise, si l’événement B s’est déjà produit. P(A|B) Espace des événements possibles Événement A et B se sont produits : A∩B B A Événement B s’est produit probabilité est proportionnelle à l’aire 26 Probabilités conditionnelles • Pour décrire la probabilité que l’événement A se produise, si l’événement B s’est déjà produit. P(A|B) Espace des événements possibles Événement A et B se sont produits : A∩B P ( A B) P( A, B) P( A | B) P( B) P( B) B A Événement B s’est produit probabilité est proportionnelle à l’aire 27 Probabilités jointes/conditionnelles Probabilité conditionnelle P( A | B) probabilité d’avoir A et B P ( A, B ) P( B) Probabilité jointe probabilité d’avoir B P( A , B ) = P( A | B ) P( B ) probabilité d’avoir A, si B est déjà arrivé GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile 29 Probabilités jointes/conditionnelles Probabilité conditionnelle P( A | B) P ( A, B ) P( B) Probabilité jointe Aussi : P( A , B ) = P( B , A ) probabilité d’avoir A et B probabilité d’avoir B probabilité d’avoir A P( A , B ) = P( A | B ) P( B ) = P( B | A ) P( A ) probabilité d’avoir A, si B est déjà arrivé GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile probabilité d’avoir B, si A est déjà arrivé 30 Théorème probabilité totale P( A) P( A, Bn ) P( A | Bn ) P( Bn ) n GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile n 31 Théorème probabilité totale P( A) P( A, Bn ) P( A | Bn ) P( Bn ) exemple n B {B1, B2 , B3} n P( A) P( A, B1 ) P( A, B2 ) P( A, B3 ) B3 A P(A,B3) P(A,B2) P(A,B1) Ensemble de tous les événements B2 B1 32 Espérance E[] (valeur moyenne) • La valeur moyenne d’une variable aléatoire… E[ X ] xP( x) pour le cas discret • Pour l’exemple du dé : Moyenne calculée de l’échantillon 1 1 1 1 1 1 21 E[ X ] 1 2 3 4 5 6 3.5 6 6 6 6 6 6 6 Simulation de jets de dés 3.5 Nombre de jets de dés : taille de l’échantillon Loi des grands nombres : les caractéristiques statistiques d’un échantillon se rapproche des caractéristiques statistiques de la population à mesure que la taille de l’échantillon augmente 33 Espérance E[] (valeur moyenne) • La valeur moyenne d’une variable aléatoire… E[ X ] xp( x)dx pour le cas continu E[g(x)]=m • Pour une gaussienne g ( x) 1 2s 2 GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile e ( x m )2 2s 2 34 Variance Var() • Mesure « l’étendue » d’une distribution Var ( X ) E ( X m )2 s X2 (sX est l’écart-type, donc la racine carrée de la variance) Var ( X ) P( x)( x m ) 2 pour le cas discret x Var ( X ) p ( x)( x m ) 2 dx pour le cas continu Variance d’une gaussienne est s2 GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile g ( x) 1 2s 2 e ( x m )2 2s 2 35 Propriétés de la variance • Une constante ne joue pas dans la variance Var(aX b) Var(aX ) a2Var( X ) pdf(x1) même variance pdf(x2) x • Somme de deux variables aléatoires X et Y Var(aX bY ) a2Var( X ) b2Var(Y ) 2abCov( X , Y ) égale à 0 si X,Y sont indépendantes GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile 36