sujet

Universit´ e Paul Sabatier
Fascicule de Travaux Dirig´ es de Physique 1 – Semestre 1, L1,
Portail SFA
Ann´ ee 2011-2012
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2 Th` eme 2 – Chute des corps avec frottement visqueux et ph´ enom` enes phy-
siques ´ equivalents (dur´ ee 3 heures)
2.1 Datation de corps organiques par le carbone 14
Une mati`ere radioactive se d´esint`egre spontan´ement au cours du temps : elle perd par unit´e de temps, une pro-
portion constante de sa masse. Un isotope radioactif du carbone, le carbone 14, sert de traceur radio-actif et
permet la datation des corps organiques. En effet, il est produit en permanence dans l’atmosph`ere par bombarde-
ment du rayonnement cosmique sur l’azote gazeux. Ainsi, la teneur en carbone 14 dans le CO2atmosph´erique
reste constante. Cette proportion se retrouve dans tous les v´eg´etaux vivants puisque le carbone organique pro-
vient du CO2par photosynth`ese. Lorsqu’une plante meurt, le processus d’assimilation s’arrˆete et la teneur
en carbone 14 commence `a diminuer. C’est ´egalement le cas pour le carbone des animaux ayant consomm´e
ces plantes [Cette m´ethode fut introduite par le physicien William Franck (1908 – 1980)]. Soit m(t)la masse
radioactive pr´esente `a l’instant t, elle ob´eit `a l’´equation diff´erentielle suivante :
dm
dt (t) = −λm (1)
1) Qu’est-ce qu’un isotope ?
2) Donner la dimension physique de λ.
3) Chercher la solution de l’´equation diff´erentielle. Sachant qu’`a l’instant t= 0,m=m0, d´eduire l’expression
de m(t)en fonction de λ,tet de m0.
4) On nomme ≪p´eriode radioactive ≫(ou ≪demi-vie ≫), le temps Tn´ecessaire pour que la masse d’une
substance radioactive qui se d´esint`egre, soit diminu´ee de moiti´e. ´ Etablir la relation entre Tet λ.
5) Sachant que la p´eriode radioactive du carbone 14 est de 5568 ans, d´eterminer la valeur de la constante λ.
6) Les ossements d’un homme pr´ehistorique, analys´es aujourd’hui au carbone 14, montrent qu’il ne reste que
0,0021 % de la proportion contenue habituellement dans un ˆetre vivant. A quelle ´epoque a-t-il v´ecu ? Que
vous inspire le r´esultat obtenu ?
NB : Pour en savoir plus sur la datation par le carbone 14, consulter :
http ://carbon14.univ-lyon1.fr/intro.htm.
2.2 Largage d’un colis
Soient ℜle r´ef´erentiel suppos´e fixe et R(O, ex,ey,ez)le rep`ere orthonorm´e direct associ´e. L’axe (O, ez)est
l’axe vertical ascendant (g=−gez). A l’instant initial (t= 0), on proc`ede au largage par avion d’un colis,
assimil´e `a un point mat´eriel M, de masse m, du point A(0,0, z0)avec une vitesse V0=V0eyavec V0>0. La
position du point Mest rep´er´ee par les coordonn´ees cart´esiennes (x(t), y(t), z(t)).
1. On ´etudie le mouvement du colis sous la seule action de son poids.
-a- Etablir les ´equations horaires du mouvement du colis correspondant aux conditions initiales du lar-
gage.
-b- D´eduire les ´equations cart´esiennes de la trajectoire.
-c- Soit Ile point d’impact au sol. Calculer le temps de chute tIainsi que le vecteur OI.
2. Le colis est maintenant soumis, en plus de son poids, `a une force de freinage due `a un parachute,
F=−µV(M/ℜ)avec µune constante positive.
-a- Ecrire les ´equations diff´erentielles du mouvement obtenues `a partir de la loi fondamentale de la dy-
namique appliqu´ee au point M dans son mouvement par rapport `a ℜ.
-b- Etablir les ´equations horaires du mouvement du colis correspondant aux mˆemes conditions initiales
du largage. On posera τ=m/µ.
-c- On suppose pour la suite que t >> τ.
i) Que deviennent les vecteurs V(M/ℜ)et OM pour ces valeurs de t? Que pouvez-vous dire pour la
vitesse ?
ii) Soit I1le point d’impact au sol dans ce nouveau cas. Calculer le temps de chute t1ainsi que OI1et la
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vitesse V(M/ℜ)(pour t=t1) au point d’impact.
2.3 Charge d’un condensateur sous tension constante
On souhaite ´etudier la charge d’un condensateur sous tension constante. Pour cela, on r´ealise un montage avec
une r´esistance R= 11 MΩ, un condensateur de capacit´e C= 4,7µF et une pile de force ´electromotrice
E= 4 V et de r´esistance interne r(r≪R) (cf. FIG. 4).
R
C
E, r
i
u
K
K
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FIGURE 3 – Sch´ema du montage permettant de r´ealiser la charge du condensateur. Pendant la charge, l’inter-
rupteur K1est ferm´e, et K2est ouvert.
Soit ula tension aux bornes du condensateur.
1) Montrer que l’´evolution de uau cours du temps peut ˆetre d´ecrite par l’´equation diff´erentielle suivante :
du
dt +u τ=a(2)
o`u aet τsont des constantes que l’on exprimera en fonction de E,Ret C.
2) Quelles sont les unit´es de aet de τ?
3) Donner l’expression g´en´erale de la solution u(t)de cette ´equation diff´erentielle.
4) Sachant qu’`a t= 0, le condensateur est initialement d´echarg´e (q(t= 0) = 0) d´eterminer la solution u(t).
5) Repr´esenter le graphe u(t).
6) Application num´erique : ´ Evaluer la constante de temps τdu circuit. En d´eduire, le temps au bout duquel le
condensateur sera charg´e.
2.4 Vitesse de s´ edimentation
La vitesse de s´edimentation des globules rouges correspond `a la diminution, dans le temps, de la hauteur de la
colonne de globules rouges dans un tube, pos´e `a la verticale, o`u du sang non coagul´e est laiss´e au repos. On
la mesure en g´en´eral en mm/jour. Cette analyse m´edicale permet de d´etecter une r´eaction inflammatoire qui a
pour effet d’augmenter cette vitesse. On se propose dans cet exercice de calculer la vitesse de s´edimentation du
sang d’une personne de sexe f´eminin suppos´ee d´evelopper une r´eaction inflammatoire. On admettra que cette
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vitesse est en fait ´egale `a la vitesse limite de chute d’un globule rouge dans le fluide, que l’on se propose de
calculer dans la suite.
Les globules rouges peuvent ˆetre consid´er´es, en premi`ere approximation comme des sph`eres dont le rayon
moyen mesur´e est r= 1.10−6m. La masse volumique des globules rouges est ρ= 1300 kg.m−3et ils sont en
suspension dans une solution aqueuse (plasma sanguin) de masse volumique ρ0= 1060 kg.m−3et de viscosit´e
η0= 1,6.10−3Pa.s. L’acc´el´eration de la pesanteur est g= 9,81 m.s−2.
1. Repr´esenter sur un sch´ema clair les forces qui s’exercent sur un globule rouge qui s´edimente avec une vitesse
vverticale dirig´ee vers le bas. On tiendra compte de la pouss´ee d’Archim`ede et de la force de frottement
visqueux Ff=−6πrη0v.
2. Exprimer l’ensemble des forces en fonction de r,η0,ρ,ρ0,get v.
3. Enoncer la deuxi`eme loi de Newton.
4. En choisissant un axe vertical Oz dirig´ee vers le bas, montrer que la composante de la vitesse vzselon cet
axe ob´eit `a l’´equation diff´erentielle suivante :
dvz
dt +vz τ=b
Donner l’expression de τet de aen fonction de r,η0,ρ,ρ0et g.
5. Calculer la constante de temps τ.
6. La vitesse de s´edimentation vsest la vitesse limite atteinte par les globules rouges. Donner son expression
en fonction de bet τet la calculer.
7. Avant d’ˆetre laiss´e au repos le tube contenant le sang est agit´e. A l’instant initial t= 0, la vitesse des globules
rouges peut donc ˆetre consid´er´ee comme nulle. Donner l’expression de la vitesse vz(t)en fonction de t,aet τ.
8. Le temps au bout duquel la vitesse de s´edimentation est atteinte est tr`es faible par rapport au temps de
s´edimentation ts. Calculer le temps de s´edimentation tscorrespondant `a une diminution de la hauteur de la
colonne de globules rouges de h= 50 mm.
9. Chez la femme la vitesse de s´edimentation normale vaut en moyenne 50 mm/jour. Peut-on affirmer que
l’analyse du sang de cette patiente montre le d´eveloppement d’une r´eaction inflammatoire ?
Exercices suppl´ ementaires (la correction ne sera pas faite en TD)
2.5 Mod` ele de Drude
Les ´electrons de conduction dans un m´etal ne sont pas totalement libres. Ils interagissent entre eux et avec les
ions fixes composant le cristal m´etallique. On symbolise ces interactions par une simple force de frottement
visqueux Ff=−µv. Tout l’exercice est restreint `a un mouvement unidimensionnel selon Ox,i. e. v(t) =
v(t)exet le poids est n´eglig´e.
1. Ecrire l’´equation diff´erentielle du mouvement des ´electrons.
2. Montrer que la vitesse en fonction de ts’exprime de la mani`ere suivante :
v(t) = Kexp(−t/ τ)(3)
o`u Ket τsont des constantes `a d´eterminer. La vitesse initiale des ´electrons vaut vo.
3. Un champ ´electrique Euniforme est appliqu´e selon la direction du mouvement des ´electrons. Ce champ
est `a l’origine d’une force ´electrique FEagissant sur les ´electrons. Ecrire l’´equation diff´erentielle du
mouvement.
4. Donner, sans r´esoudre l’´equation, la vitesse limite des ´electrons vlim.
5. R´esoudre l’´equation pour obtenir v(t), puis retrouver l’expression de la vitesse limite.
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2.6 Exp´ erience de Millikan
Mesure de la charge de l’´ electron
On observe la chute de gouttelettes de glyc´erine assimil´ees `a des sph`eres de rayon r, de masse mentre deux
plaques m´etalliques s´epar´ees d’une distance d= 6 mm. La force de frottement visqueux due `a l’air qui s’exerce
sur chaque gouttelette est : Ff=−αv, o`u α= 6πηairravec ηair = 1,8×10−5SI et vest la vitesse de la
gouttelette par rapport au r´ef´erentiel du laboratoire R. On tiendra compte de la pouss´ee d’Archim`ede. Le
mouvement d’une gouttelette ob´eit `a l’´equation diff´erentielle :
dv
dt +v τ=aavec 1 τ=α met a=1−ρa ρg(4)
o`u g= 9,81 SI., vest la projection de la vitesse suivant ez(ezest la verticale descendante), et ρet ρasont les
masses volumiques de l’huile et de l’air respectivement.
1) On donne ρ= 810 kg.m−3et ρa= 1,29 kg.m−3.´ Evaluer la dur´ee caract´eristique τpour un rayon r= 2 µm
de la gouttelette. Commenter le r´esultat obtenu.
2) Montrer que la vitesse de la gouttelette atteint tr`es rapidement une valeur limite vlim que l’on exprimera
en fonction de g,τ,ρet ρapuis en fonction de g,ρ,ρa,ret ηair. Justifier le signe de vlim. Application
num´erique : Calculer vlim.
3) A partir de la mesure de vlim, il est donc possible de d´eterminer le rayon de la gouttelette. Exprimer ce
dernier en fonction de vlim,g,ρ,ρaet ηair.
4) On applique maintenant un champ ´electrique E=Eez. Parmi les gouttelettes pulv´eris´ees entre les plaques,
certaines peuvent se charger ´electriquement. Quelle est alors la force qui s’exerce sur une particule portant
une charge q?
5) En appliquant la loi fondamentale de la dynamique et en la projetant suivant ez, montrer que le mouvement
des gouttelettes ainsi charg´ees et soumises au champ ´electrique E=Eez(avec E > 0), est d´ecrit par
l’´equation : dv
dt +v τ=a′avec 1 τ=α met a′=1−ρa ρg+qE m(5)
(NB : qest une valeur alg´ebrique)
6) Que devient alors la vitesse limite vlim2 des gouttelettes en pr´esence du champ ´electrique ? (on donnera son
expression en fonction de q,E,ηair,ret vlim). Quel est l’effet de Esur le mouvement de la gouttelette ?
7) Montrer que pour un champ ´electrique donn´e E=Eseuil, il existe une charge qport´ee par la gouttelette telle
que cette derni`ere reste en suspension entre les armatures du condensateur. Vous exprimerez qen fonction de
ρ,ρa,m,get Eseuil.
8) D´etermination de la charge ´el´ementaire.
La m´ethode exp´erimentale consiste `a mesurer la ddp Useuil pour laquelle une gouttelette reste immobile et `a
mesurer ensuite la vitesse de chute limite dans l’espace sans champ ´electrique vlim. La connaissance de ces
deux donn´ees permet de d´eterminer la charge qport´ee par les gouttelettes. Montrez que cette charge peut
s’exprimer en fonction de vlim et de Useuil suivant la relation :
qUseuil =K(vlim)3/2
avec Useuil =Eseuild(on supposera un champ uniforme entre les deux plaques) D´eterminez Ken fonction
de d,ηair,ρ,ρaet g. Donner sa valeur num´erique dans le syst`eme S.I.
9) Au cours de l’exp´erience, on a relev´e les tensions seuils et les vitesses limites consign´ees dans le tableau
suivant. Compl´etez ce dernier.
Mesure 1 2 3 4 5 6
Useuil (V) 213 187 73 113 113 221
vlim (µm.s−1) 62,44 58,33 14,60 19,86 31,53 77,76
r(µm)
q(10−19 C)
Montrer que ces mesures mettent en ´evidence l’existence d’une charge ´el´ementaire dont on donnera la valeur.
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