sujet

Université Paul Sabatier
Fascicule de Travaux Dirigés de Physique 1 – Semestre 1, L1,
Portail SFA
Année 2011-2012
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Thème 2 – Chute des corps avec frottement visqueux et phénomènes physiques équivalents (durée 3 heures)
2.1
Datation de corps organiques par le carbone 14
Une matière radioactive se désintègre spontanément au cours du temps : elle perd par unité de temps, une proportion constante de sa masse. Un isotope radioactif du carbone, le carbone 14, sert de traceur radio-actif et
permet la datation des corps organiques. En effet, il est produit en permanence dans l’atmosphère par bombardement du rayonnement cosmique sur l’azote gazeux. Ainsi, la teneur en carbone 14 dans le CO2 atmosphérique
reste constante. Cette proportion se retrouve dans tous les végétaux vivants puisque le carbone organique provient du CO2 par photosynthèse. Lorsqu’une plante meurt, le processus d’assimilation s’arrête et la teneur
en carbone 14 commence à diminuer. C’est également le cas pour le carbone des animaux ayant consommé
ces plantes [Cette méthode fut introduite par le physicien William Franck (1908 – 1980)]. Soit m(t) la masse
radioactive présente à l’instant t, elle obéit à l’équation différentielle suivante :
dm
(t) = −λm
dt
(1)
1) Qu’est-ce qu’un isotope ?
2) Donner la dimension physique de λ.
3) Chercher la solution de l’équation différentielle. Sachant qu’à l’instant t = 0, m = m0 , déduire l’expression
de m(t) en fonction de λ, t et de m0 .
4) On nomme ≪ période radioactive ≫ (ou ≪ demi-vie ≫), le temps T nécessaire pour que la masse d’une
substance radioactive qui se désintègre, soit diminuée de moitié. Établir la relation entre T et λ.
5) Sachant que la période radioactive du carbone 14 est de 5568 ans, déterminer la valeur de la constante λ.
6) Les ossements d’un homme préhistorique, analysés aujourd’hui au carbone 14, montrent qu’il ne reste que
0,0021 % de la proportion contenue habituellement dans un être vivant. A quelle époque a-t-il vécu ? Que
vous inspire le résultat obtenu ?
NB : Pour en savoir plus sur la datation par le carbone 14, consulter :
http ://carbon14.univ-lyon1.fr/intro.htm.
2.2
Largage d’un colis
Soient ℜ le référentiel supposé fixe et R(O, ex , ey , ez ) le repère orthonormé direct associé. L’axe (O, ez ) est
l’axe vertical ascendant (g = −gez ). A l’instant initial (t = 0), on procède au largage par avion d’un colis,
assimilé à un point matériel M , de masse m, du point A(0, 0, z0 ) avec une vitesse V0 = V0 ey avec V0 > 0. La
position du point M est repérée par les coordonnées cartésiennes (x(t), y(t), z(t)).
1. On étudie le mouvement du colis sous la seule action de son poids.
-a- Etablir les équations horaires du mouvement du colis correspondant aux conditions initiales du largage.
-b- Déduire les équations cartésiennes de la trajectoire.
-c- Soit I le point d’impact au sol. Calculer le temps de chute tI ainsi que le vecteur OI.
2. Le colis est maintenant soumis, en plus de son poids, à une force de freinage due à un parachute,
F = −µV(M/ℜ) avec µ une constante positive.
-a- Ecrire les équations différentielles du mouvement obtenues à partir de la loi fondamentale de la dynamique appliquée au point M dans son mouvement par rapport à ℜ .
-b- Etablir les équations horaires du mouvement du colis correspondant aux mêmes conditions initiales
du largage. On posera τ = m/µ.
-c- On suppose pour la suite que t >> τ .
i) Que deviennent les vecteurs V(M/ℜ) et OM pour ces valeurs de t ? Que pouvez-vous dire pour la
vitesse ?
ii) Soit I1 le point d’impact au sol dans ce nouveau cas. Calculer le temps de chute t1 ainsi que OI1 et la
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vitesse V(M/ℜ) (pour t = t1 ) au point d’impact.
2.3
Charge d’un condensateur sous tension constante
On souhaite étudier la charge d’un condensateur sous tension constante. Pour cela, on réalise un montage avec
une résistance R = 11 MΩ, un condensateur de capacité C = 4,7 µF et une pile de force électromotrice
E = 4 V et de résistance interne r (r ≪ R) (cf. F IG . 4).
K1
R
i
E, r
u
C
K2
F IGURE 3 – Schéma du montage permettant de réaliser la charge du condensateur. Pendant la charge, l’interrupteur K1 est fermé, et K2 est ouvert.
Soit u la tension aux bornes du condensateur.
1) Montrer que l’évolution de u au cours du temps peut être décrite par l’équation différentielle suivante :
du u
+ =a
dt
τ
2)
3)
4)
5)
6)
(2)
où a et τ sont des constantes que l’on exprimera en fonction de E, R et C.
Quelles sont les unités de a et de τ ?
Donner l’expression générale de la solution u(t) de cette équation différentielle.
Sachant qu’à t = 0, le condensateur est initialement déchargé (q(t = 0) = 0) déterminer la solution u(t).
Représenter le graphe u(t).
Application numérique : Évaluer la constante de temps τ du circuit. En déduire, le temps au bout duquel le
condensateur sera chargé.
2.4
Vitesse de sédimentation
La vitesse de sédimentation des globules rouges correspond à la diminution, dans le temps, de la hauteur de la
colonne de globules rouges dans un tube, posé à la verticale, où du sang non coagulé est laissé au repos. On
la mesure en général en mm/jour. Cette analyse médicale permet de détecter une réaction inflammatoire qui a
pour effet d’augmenter cette vitesse. On se propose dans cet exercice de calculer la vitesse de sédimentation du
sang d’une personne de sexe féminin supposée développer une réaction inflammatoire. On admettra que cette
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vitesse est en fait égale à la vitesse limite de chute d’un globule rouge dans le fluide, que l’on se propose de
calculer dans la suite.
Les globules rouges peuvent être considérés, en première approximation comme des sphères dont le rayon
moyen mesuré est r = 1.10−6 m. La masse volumique des globules rouges est ρ = 1300 kg.m−3 et ils sont en
suspension dans une solution aqueuse (plasma sanguin) de masse volumique ρ0 = 1060 kg.m−3 et de viscosité
η0 = 1, 6.10−3 Pa.s. L’accélération de la pesanteur est g = 9, 81 m.s−2 .
1. Représenter sur un schéma clair les forces qui s’exercent sur un globule rouge qui sédimente avec une vitesse
v verticale dirigée vers le bas. On tiendra compte de la poussée d’Archimède et de la force de frottement
visqueux Ff = −6πrη0 v.
2. Exprimer l’ensemble des forces en fonction de r, η0 , ρ, ρ0 , g et v.
3. Enoncer la deuxième loi de Newton.
4. En choisissant un axe vertical Oz dirigée vers le bas, montrer que la composante de la vitesse vz selon cet
axe obéit à l’équation différentielle suivante :
vz
dvz
+
=b
dt
τ
Donner l’expression de τ et de a en fonction de r, η0 , ρ, ρ0 et g.
5. Calculer la constante de temps τ .
6. La vitesse de sédimentation vs est la vitesse limite atteinte par les globules rouges. Donner son expression
en fonction de b et τ et la calculer.
7. Avant d’être laissé au repos le tube contenant le sang est agité. A l’instant initial t = 0, la vitesse des globules
rouges peut donc être considérée comme nulle. Donner l’expression de la vitesse vz (t) en fonction de t, a et τ .
8. Le temps au bout duquel la vitesse de sédimentation est atteinte est très faible par rapport au temps de
sédimentation ts . Calculer le temps de sédimentation ts correspondant à une diminution de la hauteur de la
colonne de globules rouges de h = 50 mm.
9. Chez la femme la vitesse de sédimentation normale vaut en moyenne 50 mm/jour. Peut-on affirmer que
l’analyse du sang de cette patiente montre le développement d’une réaction inflammatoire ?
Exercices supplémentaires (la correction ne sera pas faite en TD)
2.5
Modèle de Drude
Les électrons de conduction dans un métal ne sont pas totalement libres. Ils interagissent entre eux et avec les
ions fixes composant le cristal métallique. On symbolise ces interactions par une simple force de frottement
visqueux Ff = −µv. Tout l’exercice est restreint à un mouvement unidimensionnel selon Ox, i. e. v(t) =
v(t)ex et le poids est négligé.
1. Ecrire l’équation différentielle du mouvement des électrons.
2. Montrer que la vitesse en fonction de t s’exprime de la manière suivante :
v(t) = Kexp(−t/ τ )
(3)
où K et τ sont des constantes à déterminer. La vitesse initiale des électrons vaut vo .
3. Un champ électrique E uniforme est appliqué selon la direction du mouvement des électrons. Ce champ
est à l’origine d’une force électrique FE agissant sur les électrons. Ecrire l’équation différentielle du
mouvement.
4. Donner, sans résoudre l’équation, la vitesse limite des électrons vlim .
5. Résoudre l’équation pour obtenir v(t), puis retrouver l’expression de la vitesse limite.
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2.6
Expérience de Millikan
Mesure de la charge de l’électron
On observe la chute de gouttelettes de glycérine assimilées à des sphères de rayon r, de masse m entre deux
plaques métalliques séparées d’une distance d = 6 mm. La force de frottement visqueux due à l’air qui s’exerce
sur chaque gouttelette est : Ff = −αv, où α = 6πηair r avec ηair = 1,8 × 10−5 SI et v est la vitesse de la
gouttelette par rapport au référentiel du laboratoire R. On tiendra compte de la poussée d’Archimède. Le
mouvement d’une gouttelette obéit à l’équation différentielle :
dv v
1
α
ρa g
(4)
+ =a
avec =
et a = 1 −
dt
τ
τ
m
ρ
où g = 9,81 SI., v est la projection de la vitesse suivant ez (ez est la verticale descendante), et ρ et ρa sont les
masses volumiques de l’huile et de l’air respectivement.
1) On donne ρ = 810 kg.m−3 et ρa = 1,29 kg.m−3 . Évaluer la durée caractéristique τ pour un rayon r = 2 µm
de la gouttelette. Commenter le résultat obtenu.
2) Montrer que la vitesse de la gouttelette atteint très rapidement une valeur limite vlim que l’on exprimera
en fonction de g, τ , ρ et ρa puis en fonction de g, ρ, ρa , r et ηair . Justifier le signe de vlim . Application
numérique : Calculer vlim .
3) A partir de la mesure de vlim , il est donc possible de déterminer le rayon de la gouttelette. Exprimer ce
dernier en fonction de vlim , g, ρ, ρa et ηair .
4) On applique maintenant un champ électrique E = Eez . Parmi les gouttelettes pulvérisées entre les plaques,
certaines peuvent se charger électriquement. Quelle est alors la force qui s’exerce sur une particule portant
une charge q ?
5) En appliquant la loi fondamentale de la dynamique et en la projetant suivant ez , montrer que le mouvement
des gouttelettes ainsi chargées et soumises au champ électrique E = Eez (avec E > 0), est décrit par
l’équation :
qE
1
α
ρa dv v
g+
+ = a′
avec =
et a′ = 1 −
(5)
dt
τ
τ
m
ρ
m
(NB : q est une valeur algébrique)
6) Que devient alors la vitesse limite vlim2 des gouttelettes en présence du champ électrique ? (on donnera son
expression en fonction de q, E, ηair , r et vlim ). Quel est l’effet de E sur le mouvement de la gouttelette ?
7) Montrer que pour un champ électrique donné E = Eseuil , il existe une charge q portée par la gouttelette telle
que cette dernière reste en suspension entre les armatures du condensateur. Vous exprimerez q en fonction de
ρ, ρa , m, g et Eseuil .
8) Détermination de la charge élémentaire.
La méthode expérimentale consiste à mesurer la ddp Useuil pour laquelle une gouttelette reste immobile et à
mesurer ensuite la vitesse de chute limite dans l’espace sans champ électrique vlim . La connaissance de ces
deux données permet de déterminer la charge q portée par les gouttelettes. Montrez que cette charge peut
s’exprimer en fonction de vlim et de Useuil suivant la relation :
qUseuil = K(vlim )3/2
avec Useuil = Eseuil d (on supposera un champ uniforme entre les deux plaques) Déterminez K en fonction
de d, ηair , ρ, ρa et g. Donner sa valeur numérique dans le système S.I.
9) Au cours de l’expérience, on a relevé les tensions seuils et les vitesses limites consignées dans le tableau
suivant. Complétez ce dernier.
Mesure
Useuil (V)
vlim (µm.s−1 )
r (µm)
q (10−19 C)
1
213
62,44
2
187
58,33
3
73
14,60
4
113
19,86
5
113
31,53
6
221
77,76
Montrer que ces mesures mettent en évidence l’existence d’une charge élémentaire dont on donnera la valeur.
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NB : Le physicien américain Robert Andrews Millikan (1868–1953), montra ainsi en 1907 que les charges
portées par les gouttelettes d’huile étaient toujours des multiples d’une même charge élémentaire :
e = 1,602189 × 10−19 C
Pour ces résultats, mais aussi pour ses travaux sur l’effet photoélectrique, il reçut le prix Nobel de Physique en
1923.
2.7
Trajectoire rectiligne
Soient le référentiel d’observation ℜ. auquel on associe l’axe (O, ex ) et une particule ponctuelle P se déplaçant
sur l’axe (O, ex ). A t = 0, P passe en O avec une vitesse vo de 20m/s. On soumet P à une accélération
négative selon l’axe (O, ex ) pour t > 0 : a(P/ℜ) = −hv(t) où h est une constante positive et v(t) la norme
de la vitesse de la particule.
1. Donner la dimension de h.
2. Exprimer v(t) et l’abscisse x(t) repérant la position de P sur l’axe (O, ex ) en fonction de vo et h.
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