Problème de codage

Codage
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01.10.2016
Problème de codage
1
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3
4
5
6
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8
9
10
11
12
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14
15
16
17
18
A. L’algorithme donne le reste de la division
euclidienne de 36 par 13
c
a
b
0
1
2
36
23
10
13
13
13
VRAI VRAI FAUX
DO¤RE
A
0
9
J
B
1
16
Q
donc a=2x13+10
donne D¤CUK
C
2
23
X
D
3
3
D
E
4
10
K
F
5
17
R
G
6
24
Y
H
7
4
E
I
8
11
L
J
9
18
S
K
10
25
Z
L
11
5
F
M
12
12
M
VARIABLES
a EST_DU_TYPE NOMBRE
b EST_DU_TYPE NOMBRE
c EST_DU_TYPE NOMBRE
d EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
c PREND_LA_VALEUR 0
LIRE a
LIRE b
LIRE d
a PREND_LA_VALEUR 7*a+b
TANT_QUE (a>d) FAIRE
DEBUT_TANT_QUE
c PREND_LA_VALEUR c+1
a PREND_LA_VALEUR a-d
FIN_TANT_QUE
AFFICHER a
FIN_ALGORITHME
Déchiffrement :
N
13
19
T
O
14
26
¤
P
15
6
G
Q
16
13
N
R
17
20
U
S
18
0
A
T
19
7
H
U
20
14
O
V
21
21
V
W
22
1
B
X
23
8
I
Y
24
15
P
Z
25
22
W
2. On cherche m tel que 7𝑚 + 9 ≡ 𝑚 [27] ⟺ 6𝑚 + 9 ≡ 0[27]
⟺ 2𝑚 + 3 ≡ 0[9] ⟺ 2𝑚 ≡ 6[9]
On cherche tous les nombres : 0 ≤ 𝑚 ≤ 27 dont le reste de 2𝑚 dans la
division par 9 est égal à 6 : 𝑚 ∈ {3 ; 12 ; 21}
Pour créer l’algorithme on pose
a : nombre correspondant à m
b=9
c=le nombre de divisions successives utiles pour obtenir le reste
d=27
¤
26
2
C
1. Le seul nombre répondant à la question vaut 4
2. Si 𝑚 ≡ 4𝑝 − 9 [27] ⟺ 7𝑚 + 9 ≡ 28𝑝 − 63 + 9 ≡ 28𝑝 − 54 [27]
⟺ 7𝑚 + 9 ≡ 𝑝 + 27(𝑝 − 2) ≡ 𝑝[27]
3. FJCT¤HK donne LA¤NOTE
Remarque : avec 5𝑚 + 7 ≡ 𝑝[27] on obtient 11 car 55 ≡ 1[27]
On cherche b tel que : 11𝑝 + 𝑏 ≡ 𝑚[27]
5(11𝑝 + 𝑏) + 7 = 55𝑝 + 5𝑏 + 7 = 54𝑝 + (5𝑏 + 7) + 𝑝 ≡ 𝑝[27]
⟹ 5𝑏 + 7 ≡ 0[27] ⟹ 𝑏 ≡ 4[27]
𝑚 ≡ 11𝑝 + 4[27]