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INSA de Rouen Année 1 / Semestre 2 Travaux dirigés de l’EC P2 Mécanique du point matériel http://moodle.insa-rouen.fr/ Année 2016-2017 [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] Résolution numérique (séance problème) TD N°15 Dans certains cas, les équations du mouvement ne sont pas solvables de façon analytique. Dans ce cas on procède soit à une simplification des équations différentielles (linéarisation des équations différentielles), ce qui nécessite certaines hypothèses, soit on résout de façon numérique ces équations. Les méthodes numériques utilisées par les solveurs informatiques seront étudiées en cours d’informatique et ne font pas l’objet de cette séance. Le but de cette séance est d’initier les étudiants à l’outil numérique et d’observer l’impact de la linéarisation des équations sur les solutions obtenues. 1. Exécuter le logiciel Scilab1. 2. Dans Applications sélectionner l’éditeur SciNotes Nous allons illustrer la méthode de résolution avec le cas du pendule simple (exercice 18). Nous avons vu que, sans linéarisation, l’équation différentielle obtenue est : 𝑔𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝜃̈ + =0 𝐿 Pour résoudre ce problème, nous devons définir une fonction qui prendra en argument le temps t ainsi qu’une variable vectorielle que nous noterons Z. Cette fonction, que nous nommerons « derivation » est construite de façon à fournir en sortie pour tout instant t, la 𝜃 dérivée par rapport au temps du vecteur Z. Dans notre cas, on définit 𝑍⃗ = | ̇ , ce qui 𝜃 ̇ 𝜃 ⃗ 𝑑𝑍 correspond à 𝑑𝑡 = | ̈ 𝑔𝑠𝑖𝑛(𝜃). 𝜃=− 𝐿 On remarque que le premier élément du vecteur dérivée correspond au second élément du vecteur Z et que le second élément du vecteur dérivée se calcul à partir de l’angle qui correspond premier élément du vecteur Z. 3. Inscrire le script suivant dans l’éditeur : clear functiondZ=derivation(t, Z) dZ=zeros(2,1); dZ(1)=Z(2); dZ(2)=-g*sin(Z(1))/L; endfunction 4. Il est ensuite nécessaire de définir quelques variables. Inscrire le script suivant (commenté par l’enseignant) : L=2;//Longeur de la corde g=9.81;//accélération de la pesenteur Duree=20;//Durée de l'analyse Nbpoints=500;//Nombre de points pour l'affichage tethainit=%pi/4;//angle initial du pendule T0=0;//Instant initial Z0=[tethainit,0]';//Vecteur Z à l'instant initial Temps=[0:Duree/(Nbpoints-1):Duree];//Vecteur indiquant les sorties temporelles pour l'affichage 1 Scilab est un logiciel open source qui peut être téléchargé gratuitement sur http://www.scilab.org/fr 5. La résolution du système d’équations différentielles se fait à l’aide de la fonction « ode » (commentée par l’enseignant) : EvoZ=ode(Z0,T0,Temps,derivation); 6. Pour visualiser le résultat on utilise l’instruction suivante : clf;plot2d(Temps,EvoZ(1,:)); xtitle('Evolution temporelle de l''angle','temps (s)','Angle (radian)') 7. 8. Pour exécuter le script taper la touche F5 Nous allons maintenant superposer sur la figure la résolution analytique avec hypothèse 𝑔 des petites amplitudes d’oscillations (𝑠𝑖𝑛(𝜃) = 𝜃) 𝜃 = 𝜃0 𝑐𝑜𝑠 (√ 𝐿 𝑡). Pour ce faire, nous allons évaluer puis tracer, pour chaque instant précédemment considéré, l’angle correspondant : solutionAnalytique=tethainit*cos(sqrt(g/L)*Temps); clf;plot2d(Temps',[EvoZ(1,:)',solutionAnalytique'],[1,5]); legend(['Soltuionnumérique','solution analytique']) xtitle('Evolution temporelle de l''angle','temps (s)','Angle (radian)') 9. 10. Exécuter de nouveau le programme en faisant varier l’angle initial ou la durée d’analyse. Qu’en conclure en ce qui concerne la validité de l’hypothèse des petites amplitudes ? Reprendre la solution du TD N°11 : 𝑚1 (𝑙𝑣0 )2 (𝑚1 + 𝑚2 )𝑟̈ − + 𝑚2 𝑔 = 0 { 𝑟3 𝑟 2 𝜃̇ = 𝑙𝑣0 et déterminer sa résolution numérique avec la méthode précédemment développée. Composition des vitesses et des accélérations Exercice 2 : 1. 2. TD N°16 Cas particuliers simples de la composition des vitesses Ecrire la relation générale de composition des vitesses entre deux référentiels R0 (absolu) et R1 (relatif) On considère maintenant le cas où R1 est en translation par rapport à R0 2.a Que devient cette expression pour un mouvement de translation pure ? 2.b Application à la traversée d’une rivière. Soit un nageur partant du point O et cherchant à traverser une rivière de largeur L=10 m. Tout au long de la traversée, le sportif nage perpendiculairement à la rive avec une vitesse Vn=0,5 m/s dans l’eau. La vitesse du courant par rapport à la rive est notée Vc, elle vaut 1m/s. Répondre alors aux questions suivantes : Exprimer le vecteur vitesse du nageur par rapport à la rive, calculer sa norme, quelle va être la trajectoire du nageur vue d’un observateur sur la rive ? déterminer l’angle α que fait la trajectoire avec l’axe uy 3. On considère maintenant le cas où R1 est en rotation pure autour d’un axe fixe par rapport à R0 3.a Que devient la relation écrite question 1 dans ce cas ? 3.b Comparer l’expression du vecteur vitesse d’entrainement en M apparaissant dans la question précédente et l’expression du vecteur vitesse en coordonnées cylindriques du point M supposé fixe dans R1. Exercice 3 : 1. 2. 3. Cas particuliers simples de la composition des accélérations Ecrire la relation générale de composition des accélérations entre deux référentiels R0 (absolu) et R1 (relatif) On considère maintenant le cas où R1 est en translation par rapport à R0 2.a Que devient cette expression dans ce cas ? Si la translation est rectiligne uniforme, que peut-on dire ? 2.b Application au voyage en bus. Une personne est immobile dans un bus roulant sur une route horizontale. Calculer son accélération par rapport à la route dans les cas suivants : Le bus est en mouvement rectiligne uniforme par rapport à la route, le bus freine avec une accélération de 2 m.s-2 par rapport au sol. On considère maintenant le cas où R1 est en rotation uniforme autour d’un axe fixe par rapport à R0 3.a Que devient la relation écrite question 1 dans ce cas ? On fera apparaître le point H, projeté du point M sur l’axe de rotation. 3.b Comparer l’expression du vecteur accélération absolue obtenu dans la question précédente avec le vecteur accélération d’un point matériel en mouvement circulaire uniforme exprimée en coordonnées cylindriques ou dans la base de Frenet. Composition des vitesses et des accélérations TD N°17 Exercice 4 : Le manège Un manège d’enfants tourne à la vitesse angulaire constante positive. Le propriétaire parcourt la plate-forme pour ramasser les tickets. 1. Tout d’abord en partant du centre à la date t=0, il suit un rayon de la plate-forme avec un mouvement uniforme de vitesse V r . 1.a Etablir les équations horaires de la trajectoire de l’homme : Dans le référentiel R’ lié au manège (vue par les enfants). Dans le référentiel R lié au sol (vue par les parents). Homogénéité. 1.b Déterminer la vitesse absolue de l’homme dans R : à partir des équations paramétriques de la trajectoire. Homogénéité. en utilisant la loi de composition des vitesses. 1.c Reprendre la question 1.b pour l’accélération. 2. Maintenant l’homme parcourt sur le manège un cercle de rayon r0 concentrique à la plate-forme, à la vitesse linéaire constante r0’. Reprendre les questions précédentes. Etudier le cas particulier ’=-. Dynamique avec référentiel non galiléen Exercice 5 : TD N°18 Masse apparente dans un ascenseur. « le but est d’observer les effet inertiels sur la masse apparente d’un corps » Une personne monte sur un pèse-personne placé sur le plancher d’un ascenseur et note les indications suivantes : Avant le départ 60 kg, Pendant les trois premières secondes : 56.3 kg, Pendant les 6.5 secondes suivantes : 60 kg, Puis jusqu’à l’arrêt : 65.5 kg. Déduire de ces données : 1. S’il s’agit d’une montée ou d’une descente. 2. La nature du mouvement rectiligne dans les différentes phases. Les questions suivantes sont données à titre d’entraînement : 3. La vitesse maximale atteinte par l’ascenseur. 4. La durée de la dernière phase. 5. La dénivellation entre les points de départ et d’arrivée. On prendra g=9.8 m.s-2. Exercice 6 : Définition du poids. On appelle poids réel d'un corps l'opposé de la force qu'il faut exercer sur ce corps pour le maintenir immobile par rapport au référentiel terrestre. Considérons un jockey ayant trop mangé. Pour pouvoir participer à une course importante, son poids doit être inférieur à une certaine valeur. Le but de l’exercice est de trouver l’endroit sur la surface de la terre où il aura le plus de chance de valider sa participation malgré son surpoids. On considérera le référentiel géocentrique galiléen. Le jockey est immobile sur une balance situé à une latitude λ sur la surface de la terre. 1. 2. 3. 4. Exprimer la relation entre l’accélération absolue et l’accélération relative en fonction de la vitesse angulaire ω et de la latitude λ. Exprimer le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel lié à la terre. On pose P mg le poids du jockey mesuré par la balance. Exprimer P en fonction des autres forces en présence. Calculer la norme du poids réel aux pôles et à l’équateur. Où notre jockey aurait-il intérêt à se peser pour masquer sa gourmandise ? N°19&20 Exercice 7 : Limite du référentiel terrestre. L’objectif de l’exercice est d’étudier les limites de l’hypothèse d’un référentiel terrestre galiléen. Pour cela, on considèrera le référentiel géocentrique comme galiléen. On illustrera le problème par le saut de Felix Baumgartner (point M) au cours duquel il a atteint la vitesse maximale de 1340 km/h (dans le référentiel terrestre), on négligera les frottements dans l’air. W(RT/R0) 𝑢𝑦⃗ M 𝑢𝑧⃗ H R l 𝑢𝑥⃗ 1. 2. 3. 4. 5. Appliquer le principe fondamental de la dynamique au point matériel dans le référentiel terrestre supposé non galiléen Calculer le rapport entre la force d’inertie d’entrainement et la force de gravitation. Commenter. Quelle doit être la vitesse à atteindre dans le référentiel terrestre pour que la force d’inertie de Coriolis soit égale, en norme, à la force d’inertie d’entrainement ? (on supposera le vecteur vitesse orienté vers le centre de la terre). Même question que précédemment mais pour que l’accélération de Coriolis ne soit plus négligeable devant l’attraction gravitationnelle (on considérera que ac est négligeable devant a si ac/a<1%)? Que se passe-t-il alors ? On se place dans le cas du saut en parachute. Dans cette question, on évalue la petite influence de la force de Coriolis sur la trajectoire de Félix. 5.a Comme la vitesse maximale de Baumgartner est inférieure à celle trouvée à la question 4, quelles composantes du vecteur force de Coriolis peut-on raisonnablement négliger ? 5.b A l’aide du PFD, déterminer la déviation le long de l’axe 𝑢𝑧⃗ due à la force de Coriolis lorsque Baumgartner ouvre son parachute. On négligera l’accélération d’entrainement. Données : RT=6371 km, altitude départ : 38,969 km, altitude ouverture parachute : 2,5 km, latitudeλ=33°, masse Félix 70kg Exercice 8 : Mécanique dans le référentiel géocentrique On considère un point M de masse m fixe par rapport à la terre. Ce point est soumis à l’attraction gravitationnelle de la terre, de la lune et du soleil. T M L S X On définit le référentiel héliocentrique R0(S,x,y,z) galiléen et le référentiel géocentrique R1(T,x’,y’,z’) supposé non galiléen. L’objectif de l’exercice est d’estimer les effets d’inertie au sein de ce référentiel. 1. Ecrire le principe fondamental de la dynamique du point M dans le référentiel géocentrique. 2. Appliquer le PFD à la terre dans le référentiel R0 et montrer que l’accélération de M dans R1 peut alors s’écrire sous la forme : 3. LM SM GM T LT ST a M / R1 TM GM GM L S LM 3 LT 3 SM 3 ST 3 TM 3 Application au phénomène de marées océaniques 3.a On considère tout d’abord que le point M est situé à la surface de la terre et orienté vers la lune et le soleil. T M L S X En remarquant que LM=LT-TM, SM=ST-TM, TM/LT<<1 et que TM/ST<<1, projeter sur l’axe X et simplifier l’expression obtenue question 2 à l’aide d’un n n développement limité 1 1 n et 1 1 n 3.b Estimer numériquement les différentes contributions de l’accélération du point M dans R1. Que peut-on dire ? Si on considère la masse d’eau présente sur terre, que se passe-t-il ? 3.c On considère maintenant que le point Mse situe de l’autre côté de la terre, comme illustré sur le schéma ci-dessous. M T L S X Reprendre les questions 3a et 3b dans ce nouveau cas. 3.d D’après les résultats obtenus, dans quelle configuration observera-t-on la marée haute ? Données: G=6.6710-11 Nm2kg-2, MS=21030kg, MT=61024kg, ML=71022kg, ST=1.51011m, LT=3.8108m, TM=6.4106m.
