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Résolution numérique (séance problème) TD N°15
Dans certains cas, les équations du mouvement ne sont pas solvables de façon analytique.
Dans ce cas on procède soit à une simplification des équations différentielles (linéarisation
des équations différentielles), ce qui nécessite certaines hypothèses, soit on résout de façon
numérique ces équations. Les méthodes numériques utilisées par les solveurs informatiques
seront étudiées en cours d’informatique et ne font pas l’objet de cette séance. Le but de cette
séance est d’initier les étudiants à l’outil numérique et d’observer l’impact de la linéarisation
des équations sur les solutions obtenues.
1. Exécuter le logiciel Scilab
1
.
2. Dans Applications sélectionner l’éditeur SciNotes
Nous allons illustrer la méthode de résolution avec le cas du pendule simple (exercice 18).
Nous avons vu que, sans linéarisation, l’équation différentielle obtenue est :
Pour résoudre ce problème, nous devons définir une fonction qui prendra en argument le
temps t ainsi qu’une variable vectorielle que nous noterons Z. Cette fonction, que nous
nommerons « derivation » est construite de façon à fournir en sortie pour tout instant t, la
dérivée par rapport au temps du vecteur Z. Dans notre cas, on définit
, ce qui
correspond à
.
On remarque que le premier élément du vecteur dérivée correspond au second élément du
vecteur Z et que le second élément du vecteur dérivée se calcul à partir de l’angle qui
correspond premier élément du vecteur Z.
3. Inscrire le script suivant dans l’éditeur :
4. Il est ensuite nécessaire de définir quelques variables. Inscrire le script suivant
(commenté par l’enseignant) :
1
Scilab est un logiciel open source qui peut être téléchargé gratuitement sur http://www.scilab.org/fr
clear
functiondZ=derivation(t, Z)
dZ=zeros(2,1);
dZ(1)=Z(2);
dZ(2)=-g*sin(Z(1))/L;
endfunction
L=2;//Longeur de la corde
g=9.81;//accélération de la pesenteur
Duree=20;//Durée de l'analyse
Nbpoints=500;//Nombre de points pour l'affichage
tethainit=%pi/4;//angle initial du pendule
T0=0;//Instant initial
Z0=[tethainit,0]';//Vecteur Z à l'instant initial
Temps=[0:Duree/(Nbpoints-1):Duree];//Vecteur indiquant les sorties temporelles pour l'affichage
5. La résolution du système d’équations différentielles se fait à l’aide de la fonction
« ode » (commentée par l’enseignant) :
6. Pour visualiser le résultat on utilise l’instruction suivante :
7. Pour exécuter le script taper la touche F5
8. Nous allons maintenant superposer sur la figure la résolution analytique avec hypothèse
des petites amplitudes d’oscillations ()
. Pour ce faire,
nous allons évaluer puis tracer, pour chaque instant précédemment considéré, l’angle
correspondant :
9. Exécuter de nouveau le programme en faisant varier l’angle initial ou la durée
d’analyse. Qu’en conclure en ce qui concerne la validité de l’hypothèse des petites
amplitudes ?
10. Reprendre la solution du TD N°11 :
et déterminer sa résolution numérique avec la méthode précédemment développée.
Composition des vitesses et des accélérations TD N°16
Exercice 2 :
Cas particuliers simples de la composition des vitesses
1. Ecrire la relation générale de composition des vitesses entre deux référentiels R0
(absolu) et R1 (relatif)
2. On considère maintenant le cas où R1 est en translation par rapport à R0
2.a Que devient cette expression pour un mouvement de translation pure ?
2.b Application à la traversée d’une rivière. Soit un nageur partant du point O et
cherchant à traverser une rivière de largeur L=10 m. Tout au long de la traversée, le
sportif nage perpendiculairement à la rive avec une vitesse Vn=0,5 m/s dans l’eau. La
vitesse du courant par rapport à la rive est notée Vc, elle vaut 1m/s. Répondre alors aux
questions suivantes :
Exprimer le vecteur vitesse du nageur par rapport à la rive,
calculer sa norme,
quelle va être la trajectoire du nageur vue d’un observateur sur la rive ?
déterminer l’angle α que fait la trajectoire avec l’axe uy
EvoZ=ode(Z0,T0,Temps,derivation);
clf;plot2d(Temps,EvoZ(1,:));
xtitle('Evolution temporelle de l''angle','temps (s)','Angle (radian)')
solutionAnalytique=tethainit*cos(sqrt(g/L)*Temps);
clf;plot2d(Temps',[EvoZ(1,:)',solutionAnalytique'],[1,5]);
legend(['Soltuionnumérique','solution analytique'])
xtitle('Evolution temporelle de l''angle','temps (s)','Angle (radian)')
3. On considère maintenant le cas où R1 est en rotation pure autour d’un axe fixe par
rapport à R0
3.a Que devient la relation écrite question 1 dans ce cas ?
3.b Comparer l’expression du vecteur vitesse d’entrainement en M apparaissant dans la
question précédente et l’expression du vecteur vitesse en coordonnées cylindriques du
point M supposé fixe dans R1.
Exercice 3 :
Cas particuliers simples de la composition des accélérations
1. Ecrire la relation générale de composition des accélérations entre deux référentiels R0
(absolu) et R1 (relatif)
2. On considère maintenant le cas où R1 est en translation par rapport à R0
2.a Que devient cette expression dans ce cas ? Si la translation est rectiligne uniforme,
que peut-on dire ?
2.b Application au voyage en bus. Une personne est immobile dans un bus roulant sur
une route horizontale. Calculer son accélération par rapport à la route dans les cas
suivants :
Le bus est en mouvement rectiligne uniforme par rapport à la route,
le bus freine avec une accélération de 2 m.s-2 par rapport au sol.
3. On considère maintenant le cas où R1 est en rotation uniforme autour d’un axe fixe par
rapport à R0
3.a Que devient la relation écrite question 1 dans ce cas ? On fera apparaître le point H,
projeté du point M sur l’axe de rotation.
3.b Comparer l’expression du vecteur accélération absolue obtenu dans la question
précédente avec le vecteur accélération d’un point matériel en mouvement circulaire
uniforme exprimée en coordonnées cylindriques ou dans la base de Frenet.
Composition des vitesses et des accélérations TD N°17
Exercice 4 :
Le manège
Un manège d’enfants tourne à la vitesse angulaire constante
positive. Le propriétaire
parcourt la plate-forme pour ramasser les tickets.
1. Tout d’abord en partant du centre à la date t=0, il suit un rayon de la plate-forme avec
un mouvement uniforme de vitesse
r
V
.
1.a Etablir les équations horaires de la trajectoire de l’homme :
Dans le référentiel R’ lié au manège (vue par les enfants).
Dans le référentiel R lié au sol (vue par les parents). Homogénéité.
1.b Déterminer la vitesse absolue de l’homme dans R :
à partir des équations paramétriques de la trajectoire. Homogénéité.
en utilisant la loi de composition des vitesses.
1.c Reprendre la question 1.b pour l’accélération.
2. Maintenant l’homme parcourt sur le manège un cercle de rayon r0 concentrique à la
plate-forme, à la vitesse linéaire constante r0
’. Reprendre les questions précédentes.
Etudier le cas particulier
’=-
.
Dynamique avec référentiel non galiléen TD N°18
Exercice 5 :
Masse apparente dans un ascenseur.
« le but est d’observer les effet inertiels sur la masse apparente d’un corps »
Une personne monte sur un pèse-personne placé sur le plancher d’un ascenseur et note les
indications suivantes :
Avant le départ 60 kg,
Pendant les trois premières secondes : 56.3 kg,
Pendant les 6.5 secondes suivantes : 60 kg,
Puis jusqu’à l’arrêt : 65.5 kg.
Déduire de ces données :
1. S’il s’agit d’une montée ou d’une descente.
2. La nature du mouvement rectiligne dans les différentes phases.
Les questions suivantes sont données à titre d’entraînement :
3. La vitesse maximale atteinte par l’ascenseur.
4. La durée de la dernière phase.
5. La dénivellation entre les points de départ et d’arrivée.
On prendra g=9.8 m.s-2.
6
7
8
1
/
8
100%
