Résumé Calcul intégral Les Résumés de Tonton Paul V Calcul intégral Théorème fondamental : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b sont deux points de I, a étant inférieur à b. Supposons donné un repère est orthonormé, dans ce cas, l'aire située entre le graphe de f dans ce repère est notée z b a f ( x )dx et sa valeur en unités d'aire est égale à F(b)-F(a). Le choix de la primitive de f n'a pas d'importance. z On appelle le nombre b a f ( x )dx "intégrale" (de f entre a et b). A) Techniques courantes de calcul d'intégrales On voit qu'il ne s'agit que de calculer des primitives de fonctions continues pour lesquelles les bons vieux principes sont très efficaces : zb b a g f ( x ) + g ( x ) dx = z b a z z b z b b f ( x )dx + g ( x )dx ; αf ( x )dx = α f ( x )dx (linéarité de l'intéa a a grale) noter aussi la propriété utile (y compris pour détecter d'éventuelles erreurs de calcul) f ≤ g implique ∫ f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx b b a a (croissance de l'intégrale). Théorème d’intégration par parties : Lorsque f et g sont des fonctions dérivables à dérivées continues, on a z b a z b f ( x ) g ′ ( x )dx = f (b) g (b) − f (a ) g (a ) − f ′ ( x ) g ( x )dx a Résumé Calcul intégral Théorème du changement de variable : Si Φ est une fonction dérivable à dérivée continue de J dans I, f : I → ℜ et si Φ ( α ) = a , Φ (β ) = b , on a la relation très utile suivante : z β α b g f Φ(t ) Φ ′(t )dt = z b a f ( x )dx Voici une application intéressante de ce résultat : z b dx où l'on suppose, bien sûr qu'aucun multiple de π n'est inclus a sin x dans [a,b]. Par exemple, prenons 0 < a < b < π et considérons la fonction a b Φ: tan , tan → a , b définie par Φ( u ) = 2 arctan u on a ainsi le diagramme : 2 2 1 a b Φ sin tan , tan → a , b → ℜ et les conditions d'application de la formule du 2 2 changement de variable sont réunies : Soit à calculer LM N LM N OP Q OP Q z tan tan b 2 a 2 b 2dt = sin(2 arctan t ) 1 + t 2 gc h z b a dx . sin x Chaque lycéen observera, par application de la célèbre formule sin x = sin( 2 arctan t ) = z tan b 2 a tan 2 2t , que 1+ t2 2t et qu'ainsi, l'expression à intégrer devient : 1+ t2 dt b a et que l'intégrale cherchée est égale à ln tan − ln tan ; Si l'on avait pris un t 2 2 point de vue plus général (intégrales indéfinies), on aurait trouvé, lorsque cela a un sens, 1 x qu'une primitive de est la fonction ln tan . Étonnant, non ? sin 2 B) Intégration de certaines fonctions trigonométriques Règle de Bioche : Voici quelques trucs permettant d’intégrer une fraction rationnelle en sinus et cosinus F (sin x, cos x) = f ( x ) . () 1) Si f ( − x ) = − f ( x ), on fait le changement de variable u = cos x 2) Si f (π − x ) = − f ( x ), on fait le changement de variable u = sin x 3) Si f (π + x ) = f ( x ), on fait le changement de variable u = tan x et le pire, c'est que ça marche ! 2 Résumé Calcul intégral Lorsque la fonction à intégrer est un polynôme en sinx et cosx, dont les exposants peuvent fort bien être négatifs, on est ramené à intégrer des monômes du type cos p x sin q x . Si l'un des deux nombres p ou q est impair, par exemple si q=2n+1, on écrit z cos x sin xdx = − z cos x dsin x i d cos x = − z cos x d1 − cos x i d cos x ou encore z u d1 − u i du en posant u=cosx, ce qui ramène à l'intégration d'un polynôme ou d'une p q p 2 n p 2 n 2 n p fraction rationnelle. Si p et q sont tous les deux des nombres pairs, p=2m, q=2n, on fait baisser les degrés en 1 + cos 2 x 1 − cos 2 x , sin 2 x = , d'où la nouvelle expression utilisant les relations cos2 x = 2 2 à calculer : 1 (1 + cos 2 x ) m (1 − cos 2 x ) n dx , qu'on redécompose en monômes, et on continue, ce m+ n 2 qui est sûr, c'est que le degré baissant, le processus s'arrête. z C) Intégrales comportant des fonctions exponentielles Dans le cas d'intégrales de fractions rationnelles en ex, on résout le problème en posant u =ex. Pour des intégrales de fractions rationnelles en shx, chx, on se ramène aux exponentielles en explicitant ces fonctions. On peut aussi utiliser ici les mêmes techniques que pour les fractions en sinus et cosinus. D) Intégrales de fonctions comportant des racines carrées z Le principe général est de se débarrasser desdites racines...en exprimant les arguments x+2 de ces racines comme des carrés. Considérons par exemple le cas de I = dx , il x +1 suffit de poser, pour x≥-2 t = x + 2 , ou x = t 2 − 2 avec t ≥ 0 , on peut alors écrire les égalités suivantes : 2t 2 dt 1+ t I= = 2t + 2 2 = 2t + ln , il est recommandé de prendre garde aux t −1 1− t t2 −1 bornes d'intégration. z z Dans le cas particulier, un peu plus compliqué, d'une fraction rationnelle en x et ax 2 + bx + c , avec a≠0, on procède de la façon suivante pour éliminer la racine carrée : 1° Si a>0 et si ax2 + bx + c se décompose en a ( x − p) 2 − q 2 , on pose x − p = qcht . 2° Si a>0 et si ax2 + bx + c se décompose en a ( x − p ) 2 + q 2 , on pose x − p = qsht . 3° Si a<0, on a ax2 + bx + c = a q 2 − ( x − p) 2 , et on termine en posant x − p = q sin t . Paul SILICI 3