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Résumé Calcul intégral
Les Résumés de Tonton Paul
V Calcul intégral
Théorème fondamental : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b
sont deux points de I, a étant inférieur à b. Supposons donné un repère est orthonormé,
dans ce cas, l'aire située entre le graphe de f dans ce repère est notée fxdx
a
b( )
z
et sa
valeur en unités d'aire est égale à F(b)-F(a). Le choix de la primitive de f n'a pas
d'importance.
On appelle le nombre fxdx
a
b( )
z
"intégrale" (de f entre a et b).
A) Techniques courantes de calcul d'intégrales
On voit qu'il ne s'agit que de calculer des primitives de fonctions continues pour
lesquelles les bons vieux principes sont très efficaces :
fxgxdx fxdx g xdx fxdx fxdx
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ = + =
z
z
z
z
z
b
g
; α α (linéarité de l'inté-
grale)
noter aussi la propriété utile (y compris pour détecter d'éventuelles erreurs de calcul)
f g
≤
implique
(
)
(
)
b b
a a
f x dx g x dx
≤
∫ ∫
(croissance de l'intégrale).
Théorème d’intégration par parties : Lorsque f et g sont des fonctions
dérivables à dérivées continues, on a
fxgxdx fb g b fa g a fxgxdx
a
b
a
b( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
′= − − ′
z
z

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Théorème du changement de variable : Si Φ est une fonction dérivable à
dérivée continue de J dans I,
f
I:
→
ℜ
et si
Φ
Φ
(
)
,
(
)
α
β
=
=
a
b
, on a la relation très
utile suivante :
f t t dt fxdx
a
b
Φ Φ
( ) ( ) ( )
b
g
α
β
z
z
′=
Voici une application intéressante de ce résultat :
Soit à calculer dx
x
a
b
sin
z
où l'on suppose, bien sûr qu'aucun multiple de π n'est inclus
dans [a,b]. Par exemple, prenons 0
<
<
<
a b
π
et considérons la fonction
Φ:tan tan
a b a b
2 2
, ,
L
N
M
O
Q
P→ définie par
Φ
(
)
arctan
u
u
=
2
on a ainsi le diagramme :
tan sin
aa
2
1
, tan b
2 , b
L
N
M
O
Q
P→  →ℜ
Φ et les conditions d'application de la formule du
changement de variable sont réunies :
2
2 1 2
2
2dt
t t
dxx
a
b
a
b
sin( arctan )sin
tan
tan
b gc h
+=
z
z
.
Chaque lycéen observera, par application de la célèbre formule sin x
t
t
=
+
2
1
2, que
sin( arctan )2
2
1
2
t
t
t
=
+
et qu'ainsi, l'expression à intégrer devient :
dt
t
a
b
tan
tan
2
2
z
et que l'intégrale cherchée est égale à lntan lntan
b
a
2
2
− ; Si l'on avait pris un
point de vue plus général (intégrales indéfinies), on aurait trouvé, lorsque cela a un sens,
qu'une primitive de
1
sin
est la fonction lntan
x
2
. Étonnant, non ?
B) Intégration de certaines fonctions trigonométriques
Règle de Bioche : Voici quelques trucs permettant d’intégrer une fraction rationnelle
en sinus et cosinus
(
)
(sin ,cos )
F x x f x
=. ()
1) Si fxfxux( ) ( ) cos
−
=
−
=
, on fait le changement de variable
2) Si fxfxux( ) ( ), sin
π
−
=
−
=
on fait le changement de variable
3) Si fxfxux( ) ( ), tan
π
+
=
=
on fait le changement de variable
et le pire, c'est que ça marche !

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3
Lorsque la fonction à intégrer est un polynôme en sinx et cosx, dont les exposants
peuvent fort bien être négatifs, on est ramené à intégrer des monômes du type
cos
sin
p q
x
x
. Si l'un des deux nombres p ou q est impair, par exemple si q=2n+1, on
écrit
cos sin cos sin cos cos cos cos
p q p npn
xxdx x x dx x x dx= −
z
z
= − −
z
2 2
1
d
i
d
i
ou encore
u u du
pn
12 −
z d
i
en posant u=cosx, ce qui ramène à l'intégration d'un polynôme ou d'une
fraction rationnelle.
Si p et q sont tous les deux des nombres pairs, p=2m, q=2n, on fait baisser les degrés en
utilisant les relations cos
cos
, sin
cos
2 2
1
2
2
1
2
2
x
x
x
x
=
+
=
−
, d'où la nouvelle expression
à calculer :
1
2
1 2 1 2
mnmn
x x dx
++ −
z
(cos ) ( cos ), qu'on redécompose en monômes, et on continue, ce
qui est sûr, c'est que le degré baissant, le processus s'arrête.
C) Intégrales comportant des fonctions exponentielles
Dans le cas d'intégrales de fractions rationnelles en ex, on résout le problème en posant u
=ex. Pour des intégrales de fractions rationnelles en shx, chx, on se ramène aux
exponentielles en explicitant ces fonctions. On peut aussi utiliser ici les mêmes
techniques que pour les fractions en sinus et cosinus.
D) Intégrales de fonctions comportant des racines carrées
Le principe général est de se débarrasser desdites racines...en exprimant les arguments
de ces racines comme des carrés. Considérons par exemple le cas de Ix
xdx=+
+
z
2
1, il
suffit de poser, pour x≥-2
t x x t t= + = − ≥2 2 0
2
, ou avec , on peut alors écrire les égalités suivantes :
It
t
tdt
ttt t
=
−
= + −= + +
−
z
z
22
2
1
2 2 121
1
2ln , il est recommandé de prendre garde aux
bornes d'intégration.
Dans le cas particulier, un peu plus compliqué, d'une fraction rationnelle en x et
ax bx c
2+ + , avec a≠0, on procède de la façon suivante pour éliminer la racine carrée :
1° Si a>0 et si ax bx c a x p q x p qcht
2 2 2
+ + − − − = se décompose en on pose ( ) , .
2° Si a>0 et si ax bx c a x p q x p qsht
2 2 2
+ + − + − = se décompose en on pose ( ) , .
3° Si a<0, on a ax bx c a q x p x p q t
2 2 2
+ + = − − − =( ) , sin et on termine en posant .
Paul SILICI