Corrigé Mathématique

CORRIGE
Arbres pondérés. Loi binomiale
PARTIE A
1. Construire
 Construire un arbre de probabilités
L’épidémie touche 5 %
 % des Français, donc :
Si la personne n’est pas affectée, la probabilité que le test soit négatif est 0,8,
 0,8, donc :
Si la personne n’est pas affectée, la probabilité que le test soit négatif est 0,8,
est 0,8, donc :
On complète l’arbre en utilisant les propriétés d’un arbre de probabilités.
2. Calculer à l’aide d’un arbre de probabilités
a) D’après
ès la formule des probabilités totales et en suivant les chemins
et
sur
l’arbre de probabilités :
b) Le
 Le résultat du test est erroné lorsque la personne est affectée et que son test est négatif ou
lorsque la personne n’est pas affectée et que son test est positif, c’est-à-dire
c’est dire lorsque les événements
et
sont réalisés. Ces événements étant incompatibles :
La probabilité que le test donne un résultat erroné est 0,195.
3. Calculer
 Calculer une probabilité conditionnelle
La probabilité que la personne soit affectée sachant que le test est positif est
positif est le nombre
P(T) = 0,235 ≠ 0.
On calcule :
La probabilité que la personne soit affectée sachant que le test est positif est environ 0,19 au
centième près.
PARTIE B
1. Montrer
 Montrer qu’une variable aléatoire suit la loi binomiale
On effectue 20 épreuves identiques et indépendantes :
indépendantes choisirr une personne et regarder si elle est
affectée. La probabilité qu’une personne soit affectée est0,05
est
, donc suit la loi binomiale de
paramètres
et
.
2. Calculer une probabilité à l’aide de la loi binomiale
suit la loi binomiale de paramètres
et
donc :
et
donc :
3. Calculer
 Calculer l’espérance d’une loi binomiale
suit la loi binomiale de paramètres
Si on répète un grand nombre de fois le choix de 20 personnes, on aura, en moyenne, 1 personne
affectée par groupe de 20 personnes.