Corrigé Mathématique

CORRIGE
Arbres pondérés. Loi binomiale
PARTIE A
1.
Construire un arbre de probabilités
L’épidémie touche 5
% des Français, donc :
Si la personne n’est pas affectée, la
Si la personne n’est pas affectée, la probabilité que le test soit négatif est
On complète l’arbre en utilisant les propriétés d’un arbre de probabilités.
2. Calculer
à l’aide d’un arbre
a) D’apr
ès la formule des probabilités totales et en suivant les chemins
l’arbre de probabilités :
b)
Le résultat du test est erroné lorsque la personne est affectée et que son test est négatif ou
lorsque la personne n’est pas affectée et que son test est positif, c’est
et
sont réalisés.
La probabilité que le test donne un résultat erroné est 0,195.
Arbres pondérés. Loi binomiale
Construire un arbre de probabilités
% des Français, donc :
Si la personne n’est pas affectée, la
probabilité que le test soit négatif est
0,8, donc :
Si la personne n’est pas affectée, la probabilité que le test soit négatif est
0,8, donc :
On complète l’arbre en utilisant les propriétés d’un arbre de probabilités.
à l’aide d’un arbre
de probabilités
ès la formule des probabilités totales et en suivant les chemins
Le résultat du test est erroné lorsque la personne est affectée et que son test est négatif ou
lorsque la personne n’est pas affectée et que son test est positif, c’est
-à-
dire lorsque les événements
sont réalisés.
Ces événements étant incompatibles :
La probabilité que le test donne un résultat erroné est 0,195.
0,8, donc :
0,8, donc :
et sur
Le résultat du test est erroné lorsque la personne est affectée et que son test est négatif ou
dire lorsque les événements

3.
Calculer une probabilité conditionnelle
La probabilité que la personne soit affectée sachant que le test est positif
P(T) = 0,235 ≠ 0.
On calcule :
La probabilité que la personne soit affectée sachant que le test est positif est environ 0,19 au
centième près.
PARTIE B
1.
Montrer qu’une variable aléatoire suit la loi binomiale
On effectue 20
épreuves identiques et indépendantes
affectée. La probabilité qu’une personne soit affectée est
paramètres et .
2. Calculer une probabilité
à l’aide de la loi binomiale
suit la loi binomiale de paramètres
3.
Calculer l’espérance d’une loi binomiale
suit la loi binomiale de paramètres
Si on répète un grand nombre de fois le choix de
affectée par groupe de 20 personnes.
Calculer une probabilité conditionnelle
La probabilité que la personne soit affectée sachant que le test est positif
est le nombre
La probabilité que la personne soit affectée sachant que le test est positif est environ 0,19 au
Montrer qu’une variable aléatoire suit la loi binomiale
épreuves identiques et indépendantes
: choisi
r une personne et regarder si elle est
affectée. La probabilité qu’une personne soit affectée est
0,05 , donc
suit la loi binomiale de
à l’aide de la loi binomiale
suit la loi binomiale de paramètres
et donc :
Calculer l’espérance d’une loi binomiale
suit la loi binomiale de paramètres
et donc :
Si on répète un grand nombre de fois le choix de
20
personnes, on aura, en moyenne, 1 personne
affectée par groupe de 20 personnes.
est le nombre
La probabilité que la personne soit affectée sachant que le test est positif est environ 0,19 au
r une personne et regarder si elle est
suit la loi binomiale de
personnes, on aura, en moyenne, 1 personne