Vecteurs du plan I ) Translation et vecteurs 1°) Définition A et B sont deux points distincts du plan. Le vecteur AB a pour : • DIRECTION, la direction de la droite ( AB) • SENS, le sens de A vers B • NORME, la longueur AB B A Remarque : Si A et B sont confondus AB = AA = 0 , le vecteur NUL Le point A est l’origine du vecteur et le point B l’extrémité. 2°) Translation Définition Soit A et B deux points du plan. Pour tout point C du plan, on construit l’unique point D tel que ABDC soit un parallélogramme (éventuellement aplati). On dit alors que le point D est l’image du point C par la translation . qui transforme A en B. Cette translation est aussi appelée translation de vecteur Cas général : C n’appartient pas à (AB). Cas partiulier : C appartient à (AB) B D B D C A C A Définition = signifie que la translation qui transforme A en B transforme C en D Représentation d’un vecteur Si = = = F = B H G E D A C On dit que les vecteurs , , , sont des représentants du vecteur 1 3°) Propriété d’égalité = équivaut à ABDC est un parallélogramme Cas général : C n’appartient pas à (AB). et à = Cas partiulier : C appartient à (AB) B D B D C A C A De plus = si et seulement si ces vecteurs ont même direction, même sens et même norme Exercices d’application : 2 4°) Caractérisation du milieu I B A I est le milieu de [AB] ssi = ou + =0 II ) Somme de vecteurs B • Addition : la relation de Chasles • Règle du parallélogramme A C AB + BC = AC A, B et C sont trois points. + = ssi ABDC est un parallélogramme. B D A C • BA = - AB les vecteurs AB et BA sont OPPOSES ( même direction, même norme, mais de sens contraire) A A B B Savoir construire des sommes de vecteurs 3 Construire les points R,T et P tels que = + , = + R , = + + D E A C B P T F N III) Produit d’un vecteur par un réel . Colinéarité de deux vecteurs. 1°) Exemples Ex 1 et on construit = + On a un vecteur R B A On obtient en fait le vecteur 2 E : c’est le produit du vecteur et du réel 2. Ex 2 On a un vecteur et on construit = - - L - B A On obtient en fait le vecteur -3 2°) Définition Le produit du vecteur - Remarque : T : c’est le produit du vecteur et du réel -3. par le réel k est le vecteur k défini ainsi : Sa direction est celle de Sa longueur est k AB si k est positif et –k AB si k est négatif Son sens est celui de si k positif et Contraire à celui de =1 Exemple 4 si k négatif On a un vecteur A et on construit H B Le vecteur a pour longueur Construire le vecteur = I AB. = 3°) Règles de calcul Pour tous réels k, k’ et tous vecteurs et REGLE 1 : k( + ) = k + k REGLE 2 : k( ′ ) = ( kk’) REGLE 3 : (k + k’) = k + k’ REGLE 4 : k = 0 équivaut à k = 0 ou =0 Exemples : Exercices d’application : CORRIGE 4°) Colinéarité de deux vecteurs et conséquences 3 5 Définition On dit que deux vecteurs non nuls C’est-à-dire si (AB) // (CD). et sont COLINEAIRES s’ils ont LA MEME DIRECTION Ces deux vecteurs sont colinéaires = A $ E B A C D B C et sont colinéaires Théorème Etant donnés deux vecteurs et et NON NULS . sont COLINEAIRES ssi il existe un réel k non nul tel que =k CONSEQUENCES 1- Parallélisme Propriété ( AB )//( CD) SSI il existe un nombre k non nul tel que =k c’est-à-dire Exercice On considère un triangle ABC. I est le milieu du segment [AB] et J est le milieu du segment [AC]. Montrer que les vecteurs sont colinéaires. J C B et colinéaires Méthode 1 : I milieu de [AB] et J milieu de [AC] donc d’après l’un des théorèmes de la droite des milieux on a (IJ)//(BC). Les vecteurs et sont donc colinéaires A I et = + Méthode 2 : = + =2 + 2 = 2 donc les vecteurs colinéaires. =2( + )=2 et sont donc 2- Alignement Propriété Les points A,B et C sont alignés SSI il existe un nombre k non nul tel que 6 =k c’est-à-dire !" et !# colinéaires $ Exercice : ABCD est un trapèze tel que = 1°) Construire une figure 2°) Montrer que les points C,B et E sont alignés. . On considère le point E tel que = % On va démontrer par exemple que les vecteurs et sont colinéaires : E A + B = = D C + = + % Donc = sont alignés. + = + $ + % = =- , les vecteurs % + et + % = (- + % % étant colinéaires, les points C,B et E IV) Dans un repère a) Coordonnées d’un vecteur Remarque : On notera désormais le repère ( O ; & , ') au lieu de ( O ; I , J ) Définition Dans le repère ( O ; & , ') Soit un vecteur et M le point de coordonnées ( x ; y ) qui est l’unique point du plan tel que () = On dit alors que le vecteur a pour coordonnées ( x ; y ) et on note *,+ - ou (x ; y ) . Exemple : Dans le repère ci- contre M ( 3 ; 1 ) et N( -2 ; -4) M ' O & () = donc ( 3 ; 1 ) ou ( donc ( -2 ; -4 ) ou = N Propriété Soit (x ; y ) et (x’; y’ ). / = /′ équivaut à . 0 = 0′ = Deux vecteurs sont égaux ssi leurs coordonnées sont égales. Voir exercices P 304 b) Coordonnées du vecteur Si ( x ; y ) et + k + ; de k où k est un réel quelconque ( x’ ; y’ ) alors ( x + x’ ; y + y’ ) ( kx ; ky ) 7 ) 2$3 2 %3 Exemple : 2 ( -3; 2 ) et ( 4 ; -5 ) donc (2 x-3; 2x2) d’où 2 + ( -3 + 4 ; 2 – 5 ) soit + ( 1 ;-3 ) (-6; 4 ) c) Coordonnées du vecteur !" Propriété Dans un repère A( xA ; yA ) et B( xB ; yB ) sont deux points alors on a AB (xB - xA ; yB – yA ) . Exercice Dans un repère on donne les points A( 1 ; 3) , B( 2 ; 0 ) et C( -1 ; -2) . 1°) Déterminer les coordonnées du vecteur 2°) Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. A AB (xB - xA ; yB – yA ) donc AB (2 - 1 ; 0 – 3 ) Soit encore AB (1 ; –3 ). On pose D (xD ; yD) or ABCD est un parallélogramme ssi AB = DC c’est-à-dire xC – xD = 1 on trouve D( -2 ; 1 ) yC – yD = -3 ' O & B C d)Colinéarité dans un repère Théorème ( x ; y ) et ( x’ ; y’ ) sont COLINEAIRES équivaut à x y xy’- yx’ = 0 x' y' ( 2 ;-5 ) et (-8 ; 20) sont colinéaires car 2.20 - (-8 ) . ( -5 ) = 0 Exemples :Les vecteurs Les vecteurs ( -3 ;4 ) et (5 ; 2) ne sont pas colinéaires car -3.2 - (4 ) . ( 5 ) = -26 8 Exercice Dans un repère on donne les points A( 2 ; 1) , B( 3 ; -1 ) C( -2 ; -2) D( -4 ;2 ). 1°) Déterminer les coordonnées du vecteur et du vecteur 2°) Montrer que ( AB) // ( CD ) . 9