Chapitre 13 : Cosinus.

Chapitre 13 :
Cosinus.
I- Cosinus d’un angle aigu.
Soit ABC un triangle rectangle en A. Le côté opposé (face) à l’angle droit est l’hypoténuse. Ici c’est [BC].
Si on s’intéresse à l’angle
:
C
Le côté opposé à l’angle
est [AC].
A
Le côté adjacent à l’angle
est [AB].
Si on s’intéresse à l’angle
:
Le côté opposé à l’angle
est [AB].
Le côté adjacent à l’angle
est [AC].
Remarque :
+
= 90°
B
Les angles
et+
sont complémentaires.
Définition :
Soit ABC un triangle rectangle en A.
On appelle cosinus de l’angle
, le quotient de la longueur du côté adjacent à l’angle
de l’hypoténuse.
On note : cos
par la longueur
=
Remarques :
 On a : cos
=
 Les longueurs sont positives ; l’hypoténuse est le cotés le plus long du triangle rectangle. Le cosinus d’un
angle aigu est donc un nombre strictement positif et strictement inferieur à 1.
On note alors : 0 < cos
<1
II. Applications.
1) utilisation de la calculatrice.
Avant de commencer un exercice sur les angles nécessitant l’utilisation de la calculatrice, il faut toujours vérifier
que la machine est en « mode DEGRES ».
Pour cela, il faut vérifier qu’un sigle « D » ou « DEG » figure quelque part sur l’écran.
Dans le cas où figurerait à l’écran le sigle « G » (ou « GRA ») ou « R » (ou « RAD »), lire attentivement le mode
d’emploi de la calculatrice pour savoir comment revenir en « mode DEGRES ».
Application 1 : Retrouver dans chaque cas le cosinus (cos) de l’angle
a. Si
= 30°, alors cos
≈ 0,866
b. Si
≈ 0,174
= 80°, alors cos
Application 2 : Retrouver dans chaque cas l’angle
c. Si
= 45°, alors cos
≈ 0,707
(arrondi au dixième) dont on connaît le cosinus (cos) :
a. Si cos = 0,866, alors
≈ 30,0 °
b. Si cos
= 0,643, alors
d. Si cos
≈ 75,0°
e. Si cos
= 1 , alors
= 0,259, alors
(arrondir aux millièmes):
≈ 50,0 °
= 0°
c. Si cos
= 0,5 , alors
f. Si cos
= 0,087, alors
= 60°
≈ 85,0°
2) Calculer une longueur.
Connaissant la mesure d’un angle aigu et la longueur d’un côté d’un triangle rectangle, on peut calculer la longueur des deux
autres côtés.
Exemple 1 :
Calculer ST.
S
R
Dans le triangle RST rectangle en S, on a :
cos
=
6 cm
cos
°=
40°
d’où
Donc ST = 6×cos40°
ST ≈ 4,6 cm.
T
Exemple 2 :
E
Calculer ES :
Dans le triangle NES rectangle en N, on a :
60°
cos
?
=
3 cm
cos
°=
d’où
Donc ES =
S
ES = 12 cm.
N
3) Calculer la mesure d’un angle.
Connaissant les longueurs de deux côtés d’un triangle rectangle, on peut déterminer une valeur approchée de la mesure de
chacun de ses angles.
Exemple :
Calculer
B
:
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
6 cm
?
C
5 cm
A
cos
=
cos
=
A l’aide de la calculatrice, on a :
2nde
cos
(
5
÷
≈ 33,6°.
6
)