GENERALITES SUR LES PROBABILITES

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GENERALITES SUR LES PROBABILITES
I. Petit historique des probabilités:
Le calcul des probabilités débuta véritablement au XVIIè siècle avec Pascal et Fermat puis
Huygens et Bernoulli qui entreprirent l’étude de certains jeux de hasard.
Il s’est considérablement développé au XIXè siècle pour être appliqué aux Sciences Sociales ( Economie ) ,
aux Sciences Physiques (Thermodynamique ).
C’est en 1933 que le Soviétique Kolmogorov en a donné une axiomatique cohérente.
Le fait que des événements se produisent au hasard n’implique pas une totale absence d’ordre
( Irving Adler ).
Que permettent d’évaluer les probabilités ?
Les probabilités sont utiles pour généraliser des observations recueillies à partir de données statistiques.
Exemple : Une compagnie d’assurance ne pourra pas savoir lequel de ses clients aura un accident l’an
prochain mais elle pourra dire que , à coup sûr , 5% de ses clients auront un accident ce
qui permettra de fixer le montant des primes.
II. Rappel : Le langage des probabilités:
1) Prenons l’exemple d’un jeu de dé :
on lance un dé à six faces et on note le numéro porté par la face supérieure lors de son arrêt.
On suppose que le dé n'est pas truqué.
Le lancer du dé sera l’expérience aléatoire.
Après un lancer de dé on pourra obtenir 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ou 6.
Ces six possibilités seront appelées cas possibles ou éventualités.
L’ensemble de tous les cas possibles ou de toutes les éventualités est appelé l’univers.
Il est souvent noté . Ici
= { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }.
On appelle événement une partie ou un sous–ensemble de l’univers
.
Le dé n'étant pas truqué , chaque événement a la même probabilité de se produire.
On dit que l'on est dans une situation d'équiprobabilité.
2) Les différents types d'événements :
L’événement " obtenir 2 " se limite a un seul cas possible. On dit que c'est un événement élémentaire.
1
Sa probabilité sera de
car il a une chance sur six de se produire.
6
L'événement " obtenir 4 ou 5 " est constitué de 2 éventualités. C'est le sous–ensemble { 4 ; 5 }de
2
Sa probabilité sera de car il a deux chances sur six de se produire.
6
L'événement " obtenir 7 " n'est constitué d'aucune éventualité. C'est le sous–ensemble vide de
On dira que c'est l'événement impossible. Sa probabilité est 0.
.
.
L'événement " obtenir un nombre strictement inférieur à 7 " est constitué par tous les élément de
6
C'est l'univers en entier. On dit que c'est l'événement certain. Sa probabilité est de ou 1.
6
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.
2
Les événements incompatibles :
exemple : " obtenir un nombre pair " A = { 2 ; 4 ; 6 }
" obtenir 3 "
B={3}
on dira que A et B sont incompatibles car ils n'ont aucune éventualité en commun.
A B= .
Deux événements A et B d'un univers sont dits incompatibles lorsque leur intersection est vide.
A B=
A et B incompatibles.
1
6
; P(A
B={2;3;4;6}
P(A
P(A) =
A
3
6
; P(B) =
B) = P(
B) =
)=0
4
= P(A) + P(B)
6
Propriété : Si A et B sont deux événements incompatibles d'un univers
P(A B) = P(A) + P(B)
alors
Les événements contraires :
exemple : " obtenir un multiple de 3 " A = { 3 ; 6 }
l'événement contraire de A , noté A ,sera : " ne pas obtenir un multiple de 3 "
A={1;2;4;5}
A A=
; A A=
On dit que A est le complémentaire de A dans .
2
4
P(A) =
; P(A) =
P(A) + P(A) = 1 = P( )
P(A) = 1 – P(A)
6
6
L’événement contraire à l’événement A , noté A , est le complémentaire de A dans l’univers
( c’est–à–dire que A A =
et A A = )
On a alors P(A) = 1 – P(A).
.
Remarque : En Statistiques, la fréquence d'un événement rend compte du nombre de fois qu'il s'est produit.
Pour chaque modalité, la fréquence est comprise entre 0 et 1 et la somme des fréquences fait 1.
Il en est de même avec les probabilités. La probabilité d'un événement est un nombre qui mesure les
"chances" qu'un événement a de se produire.
Une probabilité est comprise entre 0 ( événement impossible ) et 1 ( événement certain ).
De plus , la somme des probabilités de tous les événements élémentaires est 1.
Pour des cas simples (lancer de dés non pipés ou de pièces de monnaie non truquées ), le calcul de la
probabilité d'un événement élémentaire est aisé.
Mais pour des cas plus complexes ,on se basera sur les calculs des fréquences d'une série statistique pour
obtenir les probabilités des événements élémentaires.
Exemple : C'est grâce aux Statistiques que l'on sait que , pour un couple , la probabilité d'avoir un garçon
est de 0,51 et que celle d'avoir une fille est de 0,49.
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III. Rappel : Calcul de la probabilité d'un événement :
1) Probabilité d'un événement :
Posons = { a1 , a2 , …. , an } un univers composé de n événements.
On suppose que chaque événement élémentaire { ai } a une probabilité pi .
Chaque pi est compris entre 0 et 1.
La somme de tous les pi fait 1.
p1 + p2 + ….. + pn = 1
Appelons A un événement de . ( par exemple A = { a1 , a4 , a7 } )
La probabilité de l'événement A est la somme des probabilités des éléments élémentaires qu'il contient.
On la note P(A).
( exemple : P(A) = p1 + p4 + p7 )
On retrouve alors les résultats suivants : P(
)=0
et P(
) = 1.
Reprenons l'exemple du lancer de dé du II. (situation d'équiprobabilité )
Si l'on calcule la probabilité d'obtenir un résultat inférieur strictement à 5 on a :
1 1 1 1 4 2
A={1,2,3,4}
P(A) = + + + = = .
6 6 6 6 6 3
2) Evénements équiprobables :
Si tous les événements élémentaires d'un univers ont la même probabilité , on dit que ces événements
sont équiprobables.
On a alors :
Card A nombre d'éléments de A nombre de cas favorables
P(A) =
=
=
nombre de cas possibles
Card
nombre d'éléments de
Si un dé est pipé ou truqué , les événements élémentaires n'ont plus alors la même probabilité.
Exercice : Un dé a été truqué de telle sorte que la probabilité de sortie du 6 soit le triple de la
probabilité de sortie du 1.Les numéros 1 ,2 ,3 ,4 et 5 ont la même probabilité de sortie.
1) Calculer la probabilité de sortie de chaque numéro.
2) Calculer la probabilité de l’événement A : " obtenir un numéro pair ".
Réponses : 1) L'univers est = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
On a
p1 = p2 = p3 = p4 = p5 et p6 = 3 p1 et
Donc 8 p1 = 1
p1 = 18
Donc
p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 = 1
p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = 18 et p6 = 3 p1 = 38
2) A = { 2 ; 4 ; 6 }
P(A) = p2 + p4 + p6 = 58
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