DM 1 : corrigé Exercice 1 : A = 3 4 – 1 3 + 2 5 – 5 2 = 3 × 15 4 × 15

DM 1
: corrigé
3
ème
Exercice 1 :
A = 3
4 – 1 3 + 2 5 – 5 2
= 3 × 15
4 × 15 – 1 × 20
3 × 20 + 2 × 12 5 × 12 – 5 × 30 2 × 30
= 45
60 – 20
60 + 24 60 – 150 60
= – 101
60 fraction simplifiée
B = 13
7 – 25 21 × 3 10
= 13
7 – 25 × 3
21 × 10
= 13
7 – 5
14
= 13 × 2
7 × 2 – 5
14
= 26
14 – 5
14
= 21
14
= 3
2 fraction simplifiée
C = 
4
5 – 5 6
2
= 
4 × 6
5 × 6 – 5 × 5
6 × 5
2
= 
24
30 – 25
30
2
=  – 1
30
2
= (– 1)2
302
= 1
900 fraction simplifiée
D =  2 + 2
3 ÷
4
5 – 2 3
= 
2 × 3
1 × 3 + 2
3 ÷ 
4 × 3
5 × 3 – 2 × 5 3 × 5
= 
6
3 + 2 3 ÷ 
12
15 – 10 15
= 8
3 ÷ 2
15
= 8
3 × 15
2
= 8 × 15
3 × 2
= 20
1 fraction simplifiée
= 20
Exercice 2 :
1°) Le dictionnaire Larousse donne :
« aliquote : adj. et n. f. Math. Qui est contenu un nombre entier de fois dans un tout (trois est
une partie aliquote de douze) [Syn. Diviseur] »
D’autres dictionnaires sont plus précis et par « nombre entier de fois », il faut comprendre
aussi plusieurs fois ! C’est-à-dire que les parties aliquotes d’un entier sont ses diviseurs sauf
lui-même… Pendant le cours, ces nombres ont été appelés oralement diviseurs propres.
Ainsi, en reformulant :
« Un nombre entier est parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs propres ».
2°) Recherchons les diviseurs de 496 :
496 = 1 × 496
= 2 × 248
= 4 × 124
= 8 × 62
= 16 × 31
La recherche s’arrête à 22 < 496 < 23.
L’ensemble des diviseurs de 496 est
{1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 31 ; 62 ; 124 ; 248 ; 496}.
Calculons :
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
= 496
Conclusion : 496 est un nombre parfait.

3°) Les deux seuls entiers parfaits que l’on trouve entre 1 et 30 sont 6 et 28 ! Preuves :
Recherchons les diviseurs de 6 :
6 = 1 × 6
= 2 × 3
La recherche s’arrête à 2 < 6 < 3.
L’ensemble des diviseurs de 6 est
{1 ; 2 ; 3 ; 6}.
Calculons :
1 + 2 + 3 = 6
Conclusion : 6 est un nombre parfait.
Recherchons les diviseurs de 28 :
6 = 1 × 28
= 2 × 14
= 4 × 7
La recherche s’arrête à 5 < 28 < 6.
L’ensemble des diviseurs de 28 est
{1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28}.
Calculons :
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
Conclusion : 28 est un nombre parfait.
Exercice 3 :
1°) Voici des exemples de nombres entiers qui ont exactement trois diviseurs :
4 = 1 × 4 = 22 dont les diviseurs sont : 1 ; 2 ; 4
9 = 1 × 9 = 32 dont les diviseurs sont : 1 ; 3 ; 9
25 = 1 × 25 = 52 dont les diviseurs sont : 1 ; 5 ; 25
49 = 1 × 49 = 72 dont les diviseurs sont : 1 ; 7 ; 49
121 = 1 × 121 = 112 dont les diviseurs sont : 1 ; 11 ; 121
169 = 1 × 169 = 132 dont les diviseurs sont : 1 ; 13 ; 169
…
On observe que ce sont tous des carrés !
Soit n, un entier qui possède exactement trois diviseurs : 1 ; d ; n
(d n’a pas d’autres diviseurs que 1 et lui-même car ses diviseurs sont aussi des diviseurs de n)
La recherche s’écrit nécessairement n = 1 ×
××
× n = d2
On peut donc énoncer la propriété :
« Si un entier possède exactement trois diviseurs, alors c’est un carré ».
2°) Une réciproque serait :
« Si un entier est un carré, alors il possède exactement trois diviseurs ».
Cet énoncé est faux et il suffit d’un contre-exemple pour le prouver.
36 = 1 × 36 = 2 × 18 = 3 × 12 = 62 dont les diviseurs sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 12 ; 18 ; 36
3°) Voici des exemples de nombres entiers qui ont exactement cinq diviseurs :
16 = 1 × 16 = 2 × 8 = 42 dont les diviseurs sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16
81 = 1 × 81 = 3 × 27 = 92 dont les diviseurs sont : 1 ; 3 ; 9 ; 27 ; 81
625 = 1 × 625 = 5 × 125 = 252 dont les diviseurs sont : 1 ; 5 ; 25 ; 125 ; 625
2401 = 1 × 2401 = 7 × 343 = 492 dont les diviseurs sont : 1 ; 7 ; 49 ; 343 ; 2401
…
On a encore la propriété :
« Si un entier possède exactement cinq diviseurs, alors c’est un carré ».
La recherche s’écrit nécessairement n = 1 ×
××
× n = d ×
××
× d3 = (d2)2
La réciproque est encore fausse et la question 2 suffit à le prouver.
4°) Une réciproque que l’on peut conjecturer est :
« Si un entier est un carré, alors il possède un nombre impair de diviseurs ».