ANGLES ORIENTÉS

Chapitre 04 Angles orientés - Trigonométrie
Première S
ANGLES ORIENTÉS - TRIGONOMETRIE
I- Mesure d’un angle en radians
Soit O, A, B trois points du plan distincts deux à deux. On considère le cercle de centre
O et de rayon 1.
b
B
B′
C
b
O
b
b
A′
b
A
Définition
’ est la longueur de l’arc que l’angle intercepte sur
La mesure en radians de l’angle AOB
le cercle.
′B′.
’ est la longueur de l’arc A
˘
Sur la figure ci-dessus, la mesure en radians de l’angle AOB
Propriété
La mesure en radians est proportionnelle à la mesure en degré.
Valeurs remarquables
Le demi-pérmètre du cercle est π, c’est la mesure d’un angle plat.
mesure en degrés 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦
π
π
π
π
mesure en radians 0
π
6
4
3
2
II- Mesures d’un angle orienté de vecteurs
1. Angle orienté de vecteurs non nul
Définition
→
→
Soit −
u et −
v deux vecteurs non nuls du plan.
→
→
→
→
L’angle orienté des vecteurs −
u et −
v est le couple (−
u,−
v ).
2. Mesures
−
→ −
→
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O; i , j ), C est le cercle trigonométrique de centre O (cercle de rayon 1 orienté dans le sens direct).
1
Chapitre 04 Angles orientés - Trigonométrie
Première S
→
→
Soit −
u et −
v deux vecteurs non nuls du plan.
−→ →
−−→ →
Soit A le point du plan tel que OA = −
u et B le point tel que OB = −
v.
La demi droite [OA) coupe C en A′ et la demi-droite [OB) coupe C en B ′ .
+
α
b
B
~v
A′
~j
A
b
b
~u
b
B′
~i
b
O
→
→
Une mesure α de (−
u,−
v ) est la longueur d’un trajet de A′ à B ′ sur le cercle C , affecté
d’un signe + si le sens du parcours est le sens direct, d’un signe − si le sens du parcours
est le sens indirect.
Propriété
→
→
→
→
Si α est une mesure de l’angle orienté (−
u ,−
v ), alors l’ensemble des mesures de (−
u,−
v)
est l’ensemble des nombres α + k × 2π, où k ∈ Z.
→
→
On note (−
u,−
v ) = α + k × 2π, k ∈ Z.
→
→
On peut trouver quelquefois seulement (−
u,−
v ) = α ; se méfier de cette deuxième
π
13π
écriture qui peut aboutir à des contradictions :
et
sont deux mesures d’un
6
6
13π
π
. Cette écriture est donc à éviter.
même angle orienté de vecteurs mais 6=
6
6
Remarque On note de la même manière l’angle orienté, objet géométrique, et une
mesure de cet angle qui est un nombre réel.
3. Mesure principale
→
→
Définition −
u et −
v étant deux vecteurs non nuls du plan, il existe une unique mesure
→
−
de l’angle orienté (−
u ,→
v ) appartenant à l’intervalle ] − π; π], cette mesure est appelée
→
→
mesure principale de l’angle (−
u ,−
v ).
Cette mesure correspond au trajet le plus court de A′ à B ′ sur le cercle.
23π
→
→
→
→
u et −
v tels que (−
u,−
v)=−
Exemple Soit deux vecteurs non nuls −
+k ×2π, k ∈ Z.
6
−
→
−
→
Déterminer la mesure principale α de ( u , v ).
2
Chapitre 04 Angles orientés - Trigonométrie
Première S
23π
+ k × 2π, k ∈ Z et −π < α 6 π.
6
23π
+ k × 2π 6 π.
On résout : −π < −
6
23π
23π
23π
+ k × 2π 6 π ⇔ −π +
< k × 2π 6 π +
−π < −
6
6
6
29π
17π
< k × 2π 6
⇔
6
6
29
17
<k6
⇔
12
12
Comme k ∈ Z, on a k = 2.
23π
π
→
→
La mesure principale de (−
u,−
v ) est donc α = −
+ 2 × 2π = .
6
6
α=−
4. Propriétés
Propriété 1 (condition d’orthogonalité)
π
→
→
→
−
Deux vecteurs −
u et −
v non nuls sont orthogonaux si et seulement si (−
u ,→
v) = +
2
π
k × 2π ou − + k × 2π, k ∈ Z.
2
Propriété 2
Soit A et B deux points distincts du plan. L’ensemble des points M du plan tels que
π
−−→ −−→
π
(M A, M B) = + k × 2π ou − + k × 2π est le cercle de diamètre [AB] privé des
2
2
points A et B.
Propriété 3 (condition de colinéarité)
→
→
→
→
Deux vecteurs −
u et −
v non nuls sont colinéaires si et seulement si (−
u,−
v ) = 0 + k × 2π
ou π + k × 2π, k ∈ Z.
Propriété 4
Soit A et B deux points distincts du plan. L’ensemble des points M du plan tels que
−−→ −−→
(M A, M B) = 0 + k × 2π ou π + k × 2π est la droite (AB) privée des points A et B.
Propriété 5 (relation de Chasles)
→
→
→
→
−
→
→
→
→
Pour tous vecteurs −
u,−
v et −
w non nuls du plan, (−
u ,→
v ) + (−
v ,−
w ) = (−
u,−
w ) + k × 2π.
Propriété 6
→
→
Pour tous vecteurs −
u et −
v non nuls :
•
•
•
•
→
−
→
→
(−
v ,→
u ) = −(−
u,−
v ) + k × 2π, k ∈ Z.
−→ −→
−
→
−
→
(−u, −v) = ( u , v ) + k × 2π, k ∈ Z. (angles opposés par le sommet)
→
→
→
→
(−−
u,−
v ) = (−
u,−
v ) + π + k × 2π, k ∈ Z.(angles supplémentaires)
−
→
−
→
−
→
−
(u ,− v ) = (u,→
v ) + π + k × 2π, k ∈ Z. (angles supplémentaires)
Démonstration On utilise la relation de Chasles
•
→
→
→
→
→
→
(−
u,−
v ) + (−
v ,−
u ) = (−
u,−
u ) + k × 2π
.
= 0 + k × 2π
→
→
→
→
Donc (−
v ,−
u ) = −(−
u,−
v ) + k × 2π, k ∈ Z.
• −→ −→
−→ →
−→
→
→
→
(−u, −v) = (−u, −
u ) + (−
u,−
v ) + (−
v , −v) + k × 2π
−
→
−
→
= π + ( u , v ) + π + k × 2π
→
→
= (−
u,−
v ) + k × 2π
3
Chapitre 04 Angles orientés - Trigonométrie
Première S
de même pour les deux derniers cas (à traiter en exercice)
Remarque
Pour tous vecteurs ~u et ~v non nuls et pour tous réels a et b strictement positifs, on a :
(a~u, b~v ) = (~u, ~v ) + k × 2π, k ∈ Z.
Exemple Somme des angles orientés d’un triangle
Soit un triangle ABC, alors :
−
−
→ −→
−−→ −−
→
−→ −−→
(AB, AC) + (BC, BA) + (CA, CB) = π + k × 2π, k ∈ Z.
Démonstration
−−
→ −→
−−→ −
−
→
−→ −−→
−−
→ −→
−−→ −
−
→
−→ −−→
(AB, AC) + (BC, BA) + (CA, CB) = (AB, AC) + (CB, AB) + (AC, BC) + k × 2π, k ∈ Z
−−→ −
−
→
−
−
→ −→
−→ −−→
= (CB, AB) + (AB, AC) + (AC, BC) + k × 2π, k ∈ Z
−−→ −
−
→
= (CB, AB) + k × 2π, k ∈ Z
= π + k × 2π, k ∈ Z
5. Angle orienté et angle géométrique
Propriété
Soit O, M et N trois points du plan distincts deux à deux. Si α est la mesure principale
−−→ −−→
÷
de l’angle orienté (OM , ON ), alors la mesure en radians de l’angle géométrique M
ON
est α.
La mesure en radians d’un angle géométrique est comprise entre 0 et π.
III- Sinus et cosinus
1. Enroulement d’une droite autour d’un cercle trigonométrique
−
→ −
→
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O; i , j ), on considère le cercle
trigonométrique C .
−→ −
→
Soit A le point tel que OA = i et d la droite perpendiculaire en A à l’axe des abscisses,
−
→
munie du repère (A; j ).
4
Chapitre 04 Angles orientés - Trigonométrie
Première S
~
b
+
M
C
N
b
~j
~j
~i
b
b
A
O
En enroulant cette droite autour du cercle, on associe à chaque point M de la droite
d un unique point N du cercle C .
La longueur du chemin de A à N sur le cercle C est égale à la distance AM , on parcourt
−
→
le cercle dans le sens direct si M a une abscisse positive dans le repère (A; j ), dans
le sens indirect si M a une abscisse négative.
On associe ainsi à chaque nombre réel un unique point du cercle C .
Réciproquement, si un point N du cercle est associé à un réel x , alors l’ensemble des
réels auxquels est associé le point N est l’ensemble des réels x + k × 2π, où k est un
entier relatif.
Exemples
π
Soit le point M du cercle associé au nombre − .
4
7π
π
25π
π
, − − 3 × 2π = −
sont également associés au
Alors les nombres − + 2π =
4
4
4
4
point M du cercle.
2. Sinus et cosinus d’un nombre réel
−
→ −
→
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O; i , j ), C est le cercle trigonométrique de centre O.
Soit x un nombre réel et M le point de C associé au nombre x.
−
→ −
→
Définition Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de M dans le repère (O; i , j ).
−
→ −
→
Le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée de M dans le repère (O; i , j ).
5
Chapitre 04 Angles orientés - Trigonométrie
+
Première S
C
b
~j
M
sin x
cos x
b
O
~i
Propriété
Pour tout nombre réel x, on a : cos2 x + sin2 x = 1.
Démonstration
−
→ −
→
M (xM ; yM ) dans le repère (O; i , j ) avec xM = cos x et yM = sin x.
2
On a donc cos2 x = sin2 x = x2M + yM
= OM 2 .
M est un point du cercle de centre O et de rayon 1 donc OM 2 = 1, d’où le résultat.
3. Sinus et cosinus d’un angle orienté
Propriété
Pour tout nombre réel x et tout entier relatif k, on a :
cos(x + k × 2π) = cos x ;
sin(x + k × 2π) = sin x.
Définition 1
Le cosinus et le sinus d’un angle orienté sont respectivement le cosinus et le sinus d’une
mesure quelconque de cet angle.
Définition 2
Le cosinus et le sinus d’un angle géométrique sont respectivement le cosinus et le sinus
de la mesure en radians de cet angle géométrique.
Propriété
Le cosinus et le sinus d’un angle géométrique aigu sont le cosinus et le sinus définis
dans le triangle rectangle.
Démonstration
π
Soit x la mesure en radians d’un angle aigu. Alors 0 < x < .
2
Considérons le point M du cercle trigonométrique associé à x, H le projeté orthogonal
de M sur l’axe des abscisses et K le projeté orthogonal de M sur l’axe des ordonnées.
6
Chapitre 04 Angles orientés - Trigonométrie
Première S
C
+
K
b
M
b
~j
~i
b
b
O
H
Par définition cos x = OH et sin x = OK.
÷.
De plus x est la mesure de l’angle géométrique HOM
÷
Calculons le cosinus et le sinus de HOM dans le triangle OHM rectangle en H.
÷ = HM .
÷ = OH et sin HOM
cos HOM
OM
OM
÷ = OH = cos x et sin HOM
÷ =
Or OM = 1 et HM = OK, on a donc bien cos HOM
OK = sin x.
4. Valeurs remarquables
Théorème
x
0
cos x
1
sin x
0
π
√6
3
2
1
2
π
√4
2
√2
2
2
π
3
1
√2
3
2
π
2
π
0
−1
1
0
7
Chapitre 04 Angles orientés - Trigonométrie
Première S
C
π
3
√
+
3
2
√
2
2
b
b
1
2
π
4
π
6
b
~j
~i
b
O
1
2
√
2
2
√
3
2
5. Angles associés
Soit x un nombre réel et M le point du cercle trigonométrique associé au nombre x.
M1 , M2 et M3 sont les points associés respectivement aux réels π − x, −x et π + x.
+
M1 (π − x)
M (x)
b
b
~j
sin x
C
− cos x
O
~i
cos x
b
− sin x
b
b
M3 (π + x)
M2 (−x)
M1 est le symétrique de M par rapport à l’axe des ordonnées.
M2 est le symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses.
M3 est le symétrique de M par rapport à l’origine O du repère.
On en déduit les relations suivantes :
Théorème 1
Pour tout réel x, on a les égalités suivantes :
8
Chapitre 04 Angles orientés - Trigonométrie
Première S
• cos(π − x) = − cos x et sin(π − x) = sin x ;
• cos(−x) = cos x et sin(−x) = − sin x ;
• cos(π + x) = − cos x et sin(π + x) = − sin x.
Exemples
√
3
5π
π
π
= cos π −
.
= − cos = −
6
6
6
2
√
2
5π
π
π
sin
= sin π +
.
= − sin = −
4
4
4
2
π
1
π
= cos = .
cos −
3
3
2
cos
π
− x.
2
Soit maintenant M ′ le point associé au réel
+
C
sin( π2 − x)
~j
b
M ′ ( π2 − x)
sin x
b
M (x)
~i
b
O
cos( π2 − x) cos x
M ′ est le symétrique de M par rapport à la première bissectrice du repère.
On en déduit les relations suivantes :
Théorème 2
Pour tout
:
π suivantes
π réel x, on a les égalités
− x = sin x et sin
− x = cos x
• cos
2
2
π
π
• cos
+ x = − sin x et sin
+ x = cos x
2
2
Preuve
h
π
i
π
π
+ x = − cos π −
+ x = − cos
− x = − sin x
cos
2
π2
h
π 2 i
π
sin
+ x = sin π −
+ x = sin
− x = cos x
2
2
2
9
Chapitre 04 Angles orientés - Trigonométrie
+ M ′′ ( π + x)
2
Première S
cos x
b
b
M ′ ( π2 − x)
~j
sin x
b
M (x)
C
~i
b
− sin x
O
cos x
6. Equations trigonométriques
(a) Equation cos x = cos a
Soit a un nombre réel et l’équation d’inconnue x : cos x = cos a.
+
C
M
b
~j
a
~i
b
O
−a
b
M′
Théorème
• Si cos a est différent de 1 et de −1, les solutions dans R de l’équation cos x =
cos a sont les nombres a + k × 2π et −a + k × 2π, où k ∈ Z.
• Si cos a = 1, les solutions de l’équation cos x = 1 sont les nombres k × 2π, k ∈ Z.
• Si cos a = −1, les solutions de l’équation cos x = −1 sont les nombres π +k ×2π,
k ∈ Z.
Exemple
Résoudre dans R l’équation cos x =
dans [0; 2π[.
10
1
puis donner les solutions dans ] − π; π] et
2
Chapitre 04 Angles orientés - Trigonométrie
Première S
(b) Equation sin x = sin a
Soit a un nombre réel et l’équation d’inconnue x : sin x = sin a.
C
+
M′
b
b
~j
M
π−a
a
~i
b
O
Théorème
• Si sin a est différent de 1 et de −1, les solutions dans R de l’équation sin x = sin a
sont les nombres a + k × 2π et π − a + k × 2π, où k ∈ Z.
π
• Si sin a = 1, les solutions de l’équation sin x = 1 sont les nombres + k × 2π,
2
k ∈ Z.
π
• Si sin a = −1, les solutions de l’équation sin x = −1 sont les nombres − + k ×
2
2π, k ∈ Z.
Exemple
√
2
Résoudre dans R l’équation sin x = −
puis donner les solutions dans ] − π; π]
2
et dans [0; 2π[.
11