Algèbre linéaire

CHAPITRE 1
Algèbre linéaire
1. Exemple et définition
Considérons l’ensemble R2. C’est l’ensemble composé des éléments x
yavec
x, y ∈R.
Considérons u, v ∈R2,u=x
y, v =x0 y0. On peut alors définir une
addition par
u+v=x+x0
y+y0.
u
u+vv
En particulier, on voit que l’addition est commutative, c’est-à-dire
u+v=v+u.
D’autre part, l’addition est associative. Cela siginifie que ∀u, v, w ∈R2on a
(u+v) + w=u+ (v+w).
(attention à l’ordre des parenthèses ! ! !).
Il existe un élément particulier dans R2, à savoir 0R2=0
0. Il est particulier
dans le sens où c’est le neutre pour l’addition : pour tout u∈R2on a
u+ 0R2=u
1

2 1. ALGÈBRE LINÉAIRE
(découle directement des définitions via le calcul). Remarquer que ce neutre est
unique.
Finalement, tout élément a un inverse (pour l’addition). En effet, si u=x
y,
définissons −u=−x
−y. On a alors u+ (−u)=0R2.
Il existe une autre opération sur R2: la multiplication par un scalaire. Pour tout
u∈R2,u=x
yet tout λ∈R, on définit
λ.u =λx
λy .
λ.u
u
La multiplication par un scalaire vérifie certaines conditions. Par exemple la mul-
tiplication est distributive par rapport à l’addition : pour tout λ, µ ∈Ret tout
u, v ∈R2on a (λ+µ).u =λ.u +µ.u et λ.(u+v) = λ.u +λ.v.
Elle est associative, i.e. (λµ).u =λ.(µ.u).
La multiplication est unitaire, c’est-à-dire que pour tout u∈R2on a 1.u =u.
Nous allons maintenant définir ce qu’est un espace vectoriel. Moralement, c’est un
espace muni de deux lois (addition et multiplication par un scalaire) qui vérifient
toutes les propriétés que nous venons d’énoncer pour R2.
Pour toute la suite de ce cours, nous noterons Kun corps, c’est-à-dire, pour nous,
Q,Rou Coù Z/pZ(pour un nombre premier p).
Définition 1.1.Soient Kun corps, Eun ensemble, + : E×E→Eet .:
K×E→Edeux applications. Le triplet (E, +, .)sera dit K-espace vectoriel si
les propriétés suivantes sont vérifiées :
i) (“+” est associative) ∀u, v, w ∈Eon a (u+v) + w=u+ (v+w)
ii) (existence d’un neutre) ∃0E∈Etel que ∀u∈Eon a u+ 0E=u
iii) (existence d’un inverse) ∀u∈E, ∃v∈Etel que u+v= 0E

1. EXEMPLE ET DÉFINITION 3
iv) (“+” est commutative) ∀u, v ∈Eon a u+v=v+u
on résume ces 4propriétés en disant que (E, +) est un groupe commutatif.
v) (la loi “.” est distributive par rapport à +)∀u, v ∈Eet ∀λ, µ ∈Kon a
(λ+µ).u =λ.u +µ.u et λ.(u+v) = λ.u +λ.v
vi) (la loi “.” est unitaire) ∀u∈Eon a 1.u =u.
vii) (la loi “.” est associative) ∀λ, µ ∈Ket ∀u∈Eon a (λµ).u =λ.(µ.u)
Exemples d’espace vectoriels :
-Rnest un R-espace vectoriel pour tout n,
-Cnest un C-espace vectoriel pour tout n,
-Cest un R-espace vectoriel,
- l’ensemble des polynôme à coefficients dans Rest un R-espace vectoriel,
- l’ensemble des fonctions continues de Rdans Rest un R-espace vectoriel.
Les règles énoncées dans la définition des espaces vectoriels sont les “règles mi-
nimales” qui nous permettent de travailler. À partir de ces règles, il est possible
d’en déduire d’autre. Par exemple :
Proposition 1.2.Dans un K-espace vectoriel E, les règles de calculs suivantes
sont vraies :
i) Le neutre est unique, i.e. s’il existe v∈Etel que ∀u∈E u +v=ualors
v= 0E.
ii) L’inverse est unique, i.e : s’il existe u, v, w ∈Etels que u+v=u+w= 0E
alors v=w.
iii) Pour tout λ∈Kon a λ.0E= 0E.
iv) Pour tout u∈Eon a 0.u = 0E
v) (−1).u =−u(souvenez vous que −uétait défini comme l’inverse de uet non
comme (−1).u).
Preuve : Exercice (attention à n’utiliser que les propriétés des espaces vectoriels).
Nous passons maintenant à la définition de sous-espace vectoriel, qui fournit une
méthode pour construire des espaces vectoriels.
Définition 1.3.Soient Eun K-espace vectoriel et F⊂Eun sous-ensemble.
L’ensemble Fsera dit être un sous-espace vectoriel si
i) E6=∅
ii) si u, v ∈Falors u+v∈F
iii) si u∈Fet λ∈Kalors λ.u ∈F

4 1. ALGÈBRE LINÉAIRE
Exemple 1.4. x
y, x +y= 0⊂R2,R⊂C.
Proposition 1.5.Soit Eun K-espace vectoreil et F⊂Eun sous-espace vecto-
riel. Alors Fest un K-espace vectoriel.
Preuve : Exercice (il faut vérifier tous les axiomes). 
2. Combinaisons linéaires
Définition 2.1.Soit Eun K-espace vectoriel, x1, . . . , xn∈E. Un élément de la
forme λ1x1+· · · λnxnest appelé une combinaison linéaire de x1, . . . , xn.
Exemple 2.2. Dans R2, on a 3
2= 3.1 0+ 2 0 1donc 3 2est
combinaison linéaire de 1
0et 0 1.
On montre qu’une combinaison linéaire de combinaisons linéaires des xiest une
combinaison linéaire des xi.
Définition 2.3.Soient Eun K-espace vectoriel et X⊂Eune partie non vide de
E. L’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de Xest un espace vectoriel
(exercice). Il sera noté hXiet appelé espace vectoriel engendré par X. Si hXi=E,
la partie Xsera appelée système générateur.
Une partie est génératrice si tout élément peut être écrit (d’au moins une manière)
comme combinaison linéaire d’éléments de cette partie.
Exemple 2.4. Dans E=R2, 1
0= x 0, x ∈R.
D’autre part  1
0,0 1 =R2donc  1 0,0 1 est une famille
génératrice x
y=x. 1 0+y. 0 1.
Remarquez que  1
1,0 1=E. On a donc une autre famille génératrice.
x
y=x. 1 1+ (y−x).0 1.
Il peut y avoir beaucoup de familles génératrices.
Finalement  1
1,0 1,1 0=Ecela découle des deux calculs précé-
dents. Si on rajoute un élément à une famille génératrice, on obtient une famille
génératrice.

2. COMBINAISONS LINÉAIRES 5
Par contre, ici on n’a plus unicité de l’écriture
x
y=x. 1 0+y. 0 1=x. 1 1+ (y−x).0 1.
Nous allons maintenant définir une propriété qui assure l’unicité de l’écriture.
Définition 2.5.Soient Eun K-espace vectoriel et u1, . . . , un∈E. Nous dirons
que la famille {u1, . . . , un}est libre si la propriété suivantes est vérifié :
∀λ1, . . . , λn∈K,si λ1.u1+· · · λn.un= 0Ealors ∀ion a λi= 0.
Dans ce cas, on dit aussi que les vecteurs u1, . . . , unsont linéairement indépen-
dants.
Des vecteurs qui ne sont pas linéairement indépendants sont dit liés, ou linéaire-
ment dépendants.
Exemple 2.6. Dans R2, la famille  1
0,0 1est libre. En effet, si
x1
0+y0 1=0 0
alors x
y=0 0et donc, en regardant les coordonnées x= 0 et y= 0.
Par contre, la famille  1
0,0 1,1 1n’est pas libre. En effet on a
1
1−1 0−0 1= 0.
Proposition 2.7.Soient Eun espace vectoriel et u1, . . . , un∈E. Alors la fa-
mille {u1, . . . , un}est libre si et seulement si un élément peut s’écrire au plus
d’une manière comme combinaison linéaire de u1, . . . , un.
Preuve : ⇒Supposons qu’un vecteur u∈Epossède deux écritures comme com-
binaison linéaire des ui. C’est-à-dire u=Pλiui=Piλ0
iui. En regroupant tout
du même côté on trouve que Pi(λi−λ0
i)ui= 0 mais comme la famille {ui}forme
une famille libre, on a, pour tout i,(λi−λ0
i)=0.
⇐en exercice. 
Remarque 2.8.Une famille qui contient le vecteur nul n’est jamais libre.
Une famille qui contient une partie génératrice est génératrice
Une famille contenue dans une famille libre est libre.
Une famille de vecteur est liée si et seulement si l’un de ses vecteurs s’écrit comme
combinaison linéaire des autres.