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1.
Montrer que si un entier naturel non nul a est premier avec deux entiers b et c alors il est premier avec leur produit.
2.
Déduire que si PGCD (a ; b) = 1 alors PGCD (a ; b n ) = 1 pour tout n supérieur ou égal à 2.
3.
a.
b.
4.
a.
b.
Soit n un entier ≥ 2. Soit l’équation (E) : 3 n x – 2 y = 1
Vérifier que l’équation (E) admet des solutions dans Z
On pose p n = 1 + 3 + 3 2 + ... + 3 n – 1.
Ecrire p n sous forme d’un quotient et vérifier que le couple (1 ; p n ) est une solution de (E).
 
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ; i , j ) , soit D n la droite d’équation : 3 n x – 2 y – 1 = 0
Déterminer l’ensemble des points F n de D n dont les coordonnées sont entières.

Existe-t-il des points de F n appartenant à la parabole P de sommet O, d’axe focal (O ; i ) et de paramètre p n .
CORRECTION
1.
a est premier avec b donc, d’après le théorème de Bézout, il existe deux entiers tels que a u + b v = 1
De même si a est premier avec c, d’après le théorème de Bézout, il existe deux entiers tels que a u’ + c v’ = 1
donc b v = 1 – a u et c v’ = 1 – a v’
donc b c v v’ = (1 – a u) (1 – a u’) ⇔ b c v v’ = 1 – a u – a u’ + a u × a u’
soit b c v v’ = 1 – a (– a u u’ + u + u’)
U = (– a u u’ + u + u’) et V = v v’ sont des entiers relatifs et b c V = 1 –a U soit a U + b c V = 1
D’après le théorème de Bézout, a et b c sont premiers entre eux.
2.
Initialisation : si n = 2, et PGCD(a ; b) = 1, en appliquant la propriété précédente à b = c alors PGCD( a ; b × b) = 1
soit PGCD (a ; b 2 ) = 1. La propriété est initialisée.
Hérédité : Montrons pour tout entier n ≥ 2, que si PGCD(a ; b) = 1 alors PGCD(a ; b n ) = 1
PGCD(a ; b) = 1 et PGCD(a ; b n ) = 1 en appliquant la propriété précédente à c = b n alors PGCD( a ; b × b n ) = 1
soit PGCD( a ; b n + 1 ) = 1, la propriété est héréditaire.
Conclusion : La propriété est initialisée et héréditaire donc pour tout n ≥ 2, si PGCD(a ; b) = 1 alors PGCD (a ; b n ) = 1.
3.
Soit l’équation (E) : 3 n x – 2 y = 1
a.
D’après la propriété précédente, si n ≥ 2, 2 et 3 n sont premiers entre eux, d’après le théorème de Bézout, l’équation (E) admet
des solutions dans Z
b.
p n est la somme des n premiers termes d’une suite géométrique de raison 3 de premier terme 1 donc p n =
3 n −1 3 n −1
=
3 −1
2
2 p n = 3 n – 1 donc 3 n – 2 p n = 1 donc (1 ; p n ) est une solution de (E).
4. a.
Déterminer l’ensemble des points F n de D n dont les coordonnées sont entières.
n
 3 x − 2 y = 1
donc par différence terme à terme : 3 n (x – 1) – 2 (y – p n ) = 0 soit 3 n (x – 1) = 2 (y – p n )
 n
 3 − 2 p n = 1
2 et 3 n sont premiers entre eux et 2 divise 3 n (x – 1) donc 2 divise x – 1
Il existe un entier relatif k tel que x – 1 = 2 k soit x = 2 k + 1
En remplaçant dans 3 n (x – 1) = 2 (y – p n ) alors 3 n × 2 k = 2 y – p n donc y – p n = 3 n k soit y = 3 n k + p n
Si (x ; y) est solution de (E) alors x = 2 k + 1 et y = 3 n k + p n avec k ∈ Z.
Réciproquement : si x = 2 k + 1 et y = 3 n k + p n avec k ∈ Z alors 3 n x – 2 y = 3 n (2 k + 1) – 2 (3 n k + p n ) = 3 n – 2 p n = 1
donc si x = 2 k + 1 et y = 3 n k + p n avec k ∈ Z alors (x ; y) est solution de (E).
Les solutions de (E) sont les couples (2 k + 1 ; 3 n k + p n ) avec k ∈ Z.
4. b.
Si un tel point existe alors x = 2 k + 1 et y = 3 n k + p n avec k ∈ Z et x = 2 p n y 2
Or, pour tout k ∈ Z, 2 k + 1 est un entier impair, 2 p n y 2 est un entier pair, on aboutit à une incompatibilité.

Il n’existe pas de point F n appartenant à la parabole P de sommet O, d’axe focal (O ; i ) et de paramètre p n .