04 - Algèbre linéaire Notes de cours

Chapitre 04 : Algèbre linéaire – Notes de cours. - 1 -
Algèbre linéaire. Chap. 04 : notes de cours.
Somme de sous-espaces vectoriels, sommes directes, sous-espaces vectoriels supplémentaires.
• Somme de sous-espaces vectoriels et définition alternative
• Somme directe de deux ou de plusieurs sous-espaces vectoriels, sous-espaces supplémentaires
• Existence d’un supplémentaire en dimension finie
• Théorème des quatre dimensions ou formule de Grassmann
• Décomposition en somme directe
• Propriété récursive des sommes directes
• Définition équivalente d’une somme directe, d’une décomposition en somme directe
• Caractérisation en dimension finie d’une décomposition en somme directe
• Base d’un espace vectoriel adaptée à un sous-espace vectoriel, à une somme directe de sous-espaces
vectoriels
Projecteurs.
• Projecteurs associés à deux sous-espaces vectoriels supplémentaires, propriétés de tels projecteurs
• Caractérisation des sous-espaces vectoriels définissant un projecteur
• Famille de projecteurs associée à une décomposition en somme directe, et généralisation des propriétés
précédentes
Trace d’une matrice carrée, d’un endomorphisme.
• Trace d’une matrice carrée et propriétés basiques de la trace des matrices carrées
• Trace d’un endomorphisme et trace d’un projecteur en dimension finie
Dual d’un espace vectoriel.
• Dual d’un espace vectoriel et dimension du dual pour un espace vectoriel de dimension finie
• Hyperplan (en dimension finie) et noyau des formes linéaires non nulles
• Equations d’un hyperplan
Déterminants.
• Le programme de PSI se borne à indiquer « exemples de déterminants » sans présentation théorique
• Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs
• Caractérisation du rang d’une matrice par des déterminants extraits non nuls
Exemple des déterminants tridiagonaux : suites récurrentes linéaires à deux termes.
• Suite récurrente linéaire à deux termes, réelle ou complexe, équation caractéristique associée
• Structure de K-espace vectoriel des suites récurrentes linéaires à deux termes
• Expression des suites récurrentes linéaires à deux termes
• Définition d’un déterminant tridiagonal et calcul d’un déterminant tridiagonal

Chapitre 04 : Algèbre linéaire – Notes de cours. - 2 -
Algèbre linéaire. Chap. 04 : notes de cours.
Somme de sous-espaces vectoriels, sommes directes, sous-espaces vectoriels supplémentaires.
Théorème 9.1 et définition 9.1 : somme de sous-espaces vectoriels
Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel, (E
i
)
1≤i≤n
des sous-espaces vectoriels de E.
L’ensemble des vecteurs de E, s’écrivant comme sommes de vecteurs des différents sous-espaces E
i
,
soit donc :
E
1
+ … + E
n
= {x ∈ E, ∃ (x
1
, x
2
, …, x
n
) ∈ E
1
×E
2
×…×E
n
, n xxxx +++= ...
21 },
est un sous-espace vectoriel de E, appelé somme des sous-espaces vectoriels E1, …, En.
Remarque : autre définition d’une somme de sous-espaces vectoriels
Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel, (Ei)1≤i≤n des sous-espaces vectoriels de E.
Alors : E1 + … + En = Vect(E1 ∪ … ∪ En).
C’est donc en particulier le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant tous les sous-espaces
vectoriels E1, …, En.
Définition 9.2 : somme directe de deux ou de plusieurs sous-espaces vectoriels
Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel, F et G des sous-espaces vectoriels de E.
On dit que la somme (F + G) est directe, si et seulement si on a : F ∩ G = {0}.
Lorsque la somme de F et de G est directe, elle est notée : F ⊕ G.
Plus généralement, soient E1, E2, …,En, des sous-espaces vectoriels de E.
On dit que la somme (E1 + … + En) est directe si et seulement si l’intersection de chaque Ei avec la
somme de tous les autres est réduite à {0}, soit :
∀ 1 ≤ i ≤ n, Ei ∩ (E1 + … + Ei-1 + Ei+1 + … + En) = {0}.
Dans ce cas, à nouveau, la somme de ces sous-espaces vectoriels se note : E1 ⊕ … ⊕ En.
Exemples :
• Dans 
4
, on considère :
F’ = {(x,y,z,t) ∈ 
4
, 0
=
−
+
−
=
+
+
+
tzyxtzyx },
F’’ = Vect((1,1,1,1)).
Ces deux ensembles sont clairement des sous-espaces vectoriels de 
4
(inclus dans 
4
, non vide et stable par
combinaisons linéaires pour F’ et « sous-espace vectoriel engendré par… » pour F’’).
La somme (F’ + F’’) est alors définie comme l’ensemble des quadruplets u de réels (éléments de 
4
) s’écrivant :
''' uuu
+
=
, avec : u’ ∈ F’, et u’’ ∈ G’’, c'est-à-dire :
)'','','',''()',',','(),,,( tzyxtzyxtzyxu
+
=
=
, avec :
0''''''''
=
−
+
−
=
+
+
+
tzyxtzyx , et :
∃ α ∈ , )1,1,1,1.()'','','',''(
α
=
tzyx
Ceci s’écrit aussi : ∀ u ∈ 
4
, (u ∈ (F’ + F’’)) ⇔ (∃ (u’,u’’) ∈ F’×F’’, ''' uuu
+
=
).
• Dans 
3
, on considère :
F = Vect((1,0,0)),
G = Vect((0,1,0)),
H = Vect((0,0,1)).
Ce sont bien des sous-espaces vectoriels de 
3
comme sous-espaces vectoriels engendrés.
De plus (F + G + H) est l’ensemble des triplets u de réels s’écrivant :
x
w
v
u
+
+
=
, avec : v ∈ F, w ∈ G, x ∈ H, c'est-à-dire tels que :
∃ (α,β,γ) ∈ 
3
, )0,0,1.(
α
=
v , )0,1,0.(
β
=
w , )1,0,0.(
γ
=
w .
Autrement dit : ∀ u ∈ 
3
, (u ∈ (F + G + H)) ⇔ (∃ (α,β,γ) ∈ 
3
, ),,()1,0,0.()0,1,0.()0,0,1.(
γ
β
α
γ
β
α
=
+
+
=
u ).
Finalement (F + G + H) est 
3
, puisqu’il est inclus dans 
3
et que tout élément de 
3
s’écrit sous cette forme.
• Dans 
n
[X], avec : n ≥ 2, on considère :
F = Vect(
n
X)1( + ),
G = {P ∈ 
n
[X], 0)0(
=
P }.
Là encore ce sont bien des sous-espaces vectoriels de 
n
[X] pour les mêmes raisons qu’au-dessus.
(F + G) est alors l’ensemble des polynômes réels P de degré au plus n s’écrivant :
RQP
+
=
, avec : Q ∈ F, R ∈ G, c'est-à-dire tels que : ∃ α ∈ ,
n
XQ )1.( += α , et : 0)0(
=
R .
Autrement dit : ∀ P ∈ 
n
[X], (P ∈ (F + G)) ⇔ (∃ α ∈ , ∃ R ∈ 
n
[X], RXP
n
++= )1.( α , avec : 0)0(
=
R ).

Chapitre 04 : Algèbre linéaire – Notes de cours. - 3 -
Définition 9.3 : sous-espaces supplémentaires
Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel, F et G des sous-espaces vectoriels de E.
On dit que F et G sont supplémentaires dans E si et seulement si on a : E = F ⊕ G.
Théorème 9.3 : existence d’un supplémentaire en dimension finie
Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie, F un sous-espace vectoriel de E.
Alors il existe un sous-espace vectoriel G de E, tel que : E = F ⊕ G.
On dit alors que G est un sous-espace vectoriel de E supplémentaire de F dans E.
On a de plus, pour tout supplémentaire G de F dans E : dim(G) = dim(E) – dim(F).
Théorème 9.4 : des quatre dimensions ou formule de Grassmann
Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel, F et G des sous-espaces vectoriels de dimension finie de E.
Alors (F + G) est de dimension finie ainsi que F∩G, et :
dim(F + G) + dim(F∩G) = dim(F) + dim(G).
Définition 9.4 : décomposition d’un espace vectoriel en somme directe
Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel, E
1
, …, E
n
, des sous-espaces vectoriels de E.
On dit que E se décompose en somme directe suivant les sous-espaces vectoriels E
1
, …, E
n
si et
seulement si : E = E
1
⊕ … ⊕ E
n
.
Théorème 9.6 : définition équivalente d’une somme directe, d’une décomposition en somme directe
Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel, E
1
, …, E
n
, des sous-espaces vectoriels de E.
• La somme E
1
+ … + E
n
est directe si et seulement si le vecteur nul de E admet comme unique
décomposition : 0...00
+
+
=
, comme somme de vecteurs de E
1
, ..., E
n
.
• E se décompose en somme directe suivant les sous-espaces vectoriels E
1
, …, E
n
autrement dit on a :
E = E
1
⊕ … ⊕ E
n
, si et seulement si tout vecteur de E se décompose de façon unique comme somme de
vecteurs de E
1
, …, E
n
.
Remarque : propriété récursive des sommes directes
Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel, E
1
, …, E
n
, des sous-espaces vectoriels de E.
Si la somme (E
1
+ … + E
n
) des n sous-espaces vectoriels est directe, alors la somme de (n – 1)
quelconques parmi eux l’est encore, et la somme d’une sous-famille quelconque de parmi les n aussi.
Théorème 9.7 : caractérisation en dimension finie d’une décomposition en somme directe
Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie, E
1
, …, E
n
, des sous-espaces vectoriels de E.
Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
• E = E
1
⊕ … ⊕ E
n
,
• dim(E
1
+ … + E
n
) = dim(E
1
) + … + dim(E
n
), et : E = E
1
+ … + E
n
,
• dim(E
1
+ … + E
n
) = dim(E
1
) + … + dim(E
n
), et la somme E
1
+ … + E
n
est directe,
• on obtient une base de E en réunissant des bases choisies dans chaque E
i
.
Exemples : on reprend les exemples précédents
• Dans 
4
, la somme (F’ + F’’) est directe.
En effet, si : '''0 uu
+
=
, avec : u’ ∈ F’, et u’’ ∈ G’’, alors : )'','','',''()',',','()0,0,0,0( tzyxtzyx
+
=
, avec :
0''''''''
=
−
+
−
=
+
+
+
tzyxtzyx , et :
∃ α ∈ , )1,1,1,1.()'','','',''(
α
=
tzyx .
Donc : 0'
=
+
α
x , 0'
=
+
α
y , 0'
=
+
α
z , 0'
=
+
α
t , et :
α
α
α
α
α
.4''''0
−
=
−
−
−
−
=
+
+
+
=
tzyx .
On en déduit que : 0
=
α
, puis : 0''''
=
−
=
=
=
=
α
tzyx .
La seule façon de décomposer le vecteur nul suivant la somme (F’ + F’’) est donc sous la forme : 000
+
=
, et la
somme (F’ + F’’) est donc directe.
Ici, il est en fait plus simple d’étudier l’intersection F’ ∩ F’’, car :
∀ u ∈ 
4
, (u ∈ F’ ∩ F’’) ⇔ (∃ α ∈ , ),,,()1,1,1,1.(
α
α
α
α
α
=
=
u , et : 0
=
−
+
−
=
+
+
+
α
α
α
α
α
α
α
α
).
Il est alors immédiat que : 0
=
α
, puis : 0
=
u , et enfin : F’ ∩ F’’ = {0}, et la somme est directe.
On peut enfin en déduire que : dim(F’ + F’’) = dim(F’) + dim(F’’) – dim(F’ ∩ F’’) = 2 + 1 – 0 = 3,
et je vous laisse le soin de démontrer que : dim(F’) = 2.
Les sous-espaces vectoriels ne sont donc pas supplémentaires dans 
4
puisque :dim(F’ + F’’) ≠ 4 = dim(
4
).
• Dans 
3
, la somme (F + G + H) est encore directe car si : xwv
+
+
=
0 , avec : v ∈ F, w ∈ G, x ∈ H, alors :

Chapitre 04 : Algèbre linéaire – Notes de cours. - 4 -
∃ (α,β,γ) ∈ 
3
, ),,()1,0,0.()0,1,0.()0,0,1.()0,0,0(
γ
β
α
γ
β
α
=
+
+
=
, et : 0
=
=
=
γ
β
α
.
La seule façon de décomposer le vecteur nul suivant la somme (F + G + H) est donc sous la forme : 0000
+
+
=
,
et la somme (F + G + H) est donc directe.
Et on a donc : 
3
= F ⊕ G ⊕ H, puisque de plus : 
3
= F + G + H, ou avec un argument de dimension.
• Dans 
n
[X], la somme (F + G) est encore directe car si : RQ
+
=
0 , avec : Q ∈ F, R ∈ G, alors :
∃ α ∈ ,
n
XQ )1.( += α , et : 0)0(
=
R , donc : RX
n
++= )1.(0 α .
Donc en particulier : αα =+= )0(1.0 R
n
, et en reportant : 0
=
R .
Là encore la seule façon de décomposer le vecteur nul (ici le polynôme nul) en une somme de vecteurs de F et de
G est celle consistant à prendre deux fois le polynôme nul et la somme est bien directe.
On aurait pu aussi étudier l’intersection en écrivant :
∀ P ∈ 
n
[X], (P ∈ F ∩ G) ⇔ (∃ α ∈ ,
n
XP )1.( += α , et : 0)0(
=
P ).
Or : αα ==
n
P 1.)0( , donc : 0
=
α
, et : 0
=
P .
Les deux espaces sont de plus supplémentaires car :
dim(F) = 1, puisque le polynôme
n
X )1( + n’est pas le polynôme nul,
dim(G) = n, car : ∀ P ∈ 
n
[X],
∑
=
=n
k
k
kXaP 0.
, (P ∈ G) ⇔ ( 0)0(
0
== aP ), d’où : G = Vect(X
n
, …, X
2
, X).
Donc : dim(F + G) = dim(F) + dim(G) – dim(F ∩ G) = 1 + n – 0 = n + 1 = dim(
n
[X]), et : F ⊕ G = 
n
[X].
Définition 9.5 : base d’un espace vectoriel adaptée à un sous-espace vectoriel, à une somme
directe de sous-espaces vectoriels
Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie, F un sous-espace vectoriel de E.
On dit qu’une base B de E est adaptée à F, si elle est obtenue comme réunion d’une base de F et
d’une base d’un supplémentaire de F dans E.
On dit qu’une base de E est adaptée à une décomposition de E en somme directe, si elle obtenue
comme réunion de bases de chacun des sous-espaces vectoriels concernés par cette somme directe.
Projecteurs.
Définition 10.1, théorèmes 10.1 et 10.2 : projecteurs associés à deux sous-espaces vectoriels
supplémentaires, caractérisation des projecteurs
• Si F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un espace vectoriel E, pour tout vecteur
x de E, il existe un unique couple : (y,z) ∈ F×G, tel que : x = y + z.
On appelle alors projeté de x sur F parallèlement à G le vecteur : p(x) = y, et projeté de x sur G
parallèlement à F le vecteur : q(x) = z.
On définit ainsi deux endomorphismes de E appelés projecteurs associés à la décomposition en somme
directe : E = F ⊕ G.
• Ces applications ont les propriétés suivantes :
p ∈ L(E), q ∈ L(E),
p
pop
=
,
q
qoq
=
, 0
=
=
qoppoq , E idqp =+ ,
ker(p) = Im(q) = G, ker(q) = Im(p) = F.
• Réciproquement, si p est un endomorphisme d’un espace vectoriel E vérifiant :
p
pop
=
, alors Im(p) et
ker(p) sont supplémentaires dans E, et p est le projecteur de E sur Im(p) parallèlement à ker(p).
• La propriété :
p
pop
=
, est donc pour un endomorphisme de E, caractéristique d’un projecteur de E.
Définition 10.2 et théorème 10.3 : famille de projecteurs associée à une décomposition en somme
directe
• Si E est un espace vectoriel se décomposant suivant la somme directe :
i
n
i
EE
1=
⊕= .
On note p
i
le projecteur de E sur E
i
parallèlement à la somme (
nii
EEEE ⊕⊕⊕⊕⊕
+−
......
111
).
La famille de projecteurs (p
i
)
1≤i≤n
est dite associée à la décomposition.
• Ces projecteurs ont les propriétés suivantes :
∀ 1 ≤ i ≤ n,
ii
pp =
2
,
∀ 1 ≤ i ≠ j ≤ n, 0=
ji
opp ,

Chapitre 04 : Algèbre linéaire – Notes de cours. - 5 -
En idpp =++...
1.
Remarque :
Lorsqu’on veut effectivement calculer l’image d’un vecteur par un projecteur, cela revient souvent à
décomposer le vecteur suivant la somme directe définissant le projecteur…
Exemples : on reprend les exemples 2 et 3 précédents
• On a démontré que : 
3
= F ⊕ G ⊕ H.
On dispose ainsi de trois projecteurs notés f, g et h associée à cette décomposition et :
∀ u ∈ 
3
, ∃ ! (u
F
, u
G
, u
H
) ∈ F×G×H, u = u
F
+ u
G
+ u
H
.
On a alors :
F
uuf =)( ,
G
uug =)( ,
H
uuh =)( .
Or, si on note : ),,( zyxu
=
, alors : )0,0,(xu
F
= , )0,,0( yu
G
= , ),0,0( zu
H
= .
D’où : )0,0,()( xuf
=
, )0,,0()( yug
=
, ),0,0()( zuh
=
, et on a bien : uuhuguf
=
+
+
)()()( .
Chaque projecteur décrit la « composante » du vecteur u appartenant à chaque sous-espace de la somme directe.
• De même : 
n
[X] = F ⊕ G.
Pour : P ∈ 
n
[X], on pose : RXRQP
n
++=+= )1.( α , et en évaluant en 0, en obtient :
αα =+= )0(1.)0( RP
n
, d’où :
n
XPQ )1).(0( += , et :
n
XPPR )1).(0( +−= .
Si on appelle f et g les projecteurs sur F et G respectivement, on en déduit donc que :
n
XPPf )1).(0()( += , et :
n
XPPPg )1).(0()( +−= .
Trace d’une matrice carrée, d’un endomorphisme.
Définition 12.1, théorèmes 12.1 et 12.2 : trace d’une matrice carrée
• Pour une matrice carrée A, on définit la trace de A comme la somme des éléments diagonaux de A,
soit :
∑
=
=n
iii
aAtr 1, )(
.
• L’application tr est une forme linéaire sur M
n
(K).
La trace a de plus les propriétés suivantes :
• ∀ A ∈ M
n
(K), )()( AtrAtr t = .
• ∀ (A,B) ∈ M
n
(K)², ).().( ABtrBAtr
=
.
• Plus généralement, la trace d’un produit fini de matrices carrées est inchangée par permutation
circulaire des matrices dans le produit.
Théorème 12.3 et définition 12.2 : trace d’un endomorphisme, d’un projecteur
• La dernière propriété entraîne que la trace de la matrice représentative d’un endomorphisme d’espace
vectoriel de dimension finie dans une base de cet espace est indépendante de la base choisie.
• Cette valeur commune est notée tr(u), est appelée trace de l’endomorphisme u et elle vaut donc :
tr(u) = tr(mat(u,B)), où B est une base quelconque de l’espace.
• Si p est un projecteur d’un espace vectoriel E de dimension finie, alors : )()( prgptr
=
.
Dual d’un espace vectoriel.
Définition 13.1 et théorème 13.1 : dual d’un espace, cas d’un espace de dimension finie
• Si E est un espace vectoriel, on appelle dual de E l’espace L(E,K), ensemble des formes linéaires sur
E et on le note E*.
• Si E est de dimension finie n, alors : dim(E*) = n = dim(E).
Définition 13.2, théorème 13.2 et 13.5 : noyau des formes linéaires non nulles, hyperplan, équations
d’un hyperplan
• Si E un espace vectoriel de dimension finie n, et ϕ est une forme linéaire non nulle sur E, alors ker(ϕ)
est un sous-espace vectoriel de E de dimension (n – 1), et est un hyperplan de E.
• Toute forme linéaire sur E qui s’annule sur : H = ker(ϕ), est alors proportionnelle à ϕ.
• Si : B = (e
1
, …,e
n
) est une base de E, et H est un hyperplan de E, ∃ (a
1,
, … ,a
n
) ∈ K
n
, non tous nuls,
tels que : (x ∈ H) ⇔ ( 0..... 11 =++ nn xaxa ).
La dernière égalité est appelée « équation de H dans la base (e
1
, …, e
n
) », et toute autre équation de H