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2 QUELQUES OUTILS
Dans les exemples qui suivent, on utilisera Npour noter l’ensemble des nombres naturels
(voir Section 3).
Exemple 1.1 (Formaliser une proposition).Par exemple, essayons de formaliser en math´ematiques
la proposition suivante
P= “ il existe un nombre naturel qui est plus grand que tous les autres00
C¸ a s’´ecrit de la fa¸con suivante
P= “∃M∈N:∀n∈Nn≤M00
Bien entendu, cette proposition est fausse (voir ci-dessous).
Exemple 1.2 (Nier une proposition).On revient sur la proposition Pde l’exemple pr´ec´edent.
On veut montrer que Pest fausse. Pour ¸ca, il faudra montrer que le contraire de Pest
vrai. Donc il faudra nier Pet apr`es montrer que c’est bien cette nouvelle proposition –
que l’on notera non P– qui est vraie. On commence par nier P:
non P= “∀M∈N,∃n∈N:M < n00.
Une fois qu’on a formalis´e la n´egation de P, on peut montrer qu’elle est vraie. Soit M∈N,
on prend n=M+ 1 qui est bien encore dans Net qui est tel que M < n. Ceci montre que
non Pest vraie et par consequent que P´etait fausse.
L’exemple pr´ec´edent nous donne un aper¸cu de comme faire pour nier une proposition.
Par exemple, on note ci-dessous deux r´egles principales pour prendre la n´egation d’une
proposition P:
—∀devient ∃;
—∃devient ∀
Exemple 1.3 (Implication).Soient Pet Qles deux propositions suivantes
P= “ma voiture est une Ferrari00
et
Q= “ma voiture est italienne00.
On a que Pimplique Q, donc on ´ecrira P ⇒ Q. Bien sˆur, le contraire n’est pas vrai,
autrement dit Qn’implique pas P.
Exemple 1.4 (Double implication).Soient Pet Qles deux propositions suivantes
P= “un carr´e a aire 100
et
Q= “un carr´e a cˆot´es de longueur 100.
Cette fois ici on pourra vraiment utiliser le symbole P ⇔ Q, grˆace `a la formule qui donne
l’aire d’un carr´e. Et si au lieu d’un carr´e on consid`ere un rectangle ?
Memento. Faites toujours attention `a utiliser le symbole de double implication “⇔” dans
la mani`ere correcte.