QUELQUES OUTILS Table des mati`eres 1. Un tout petit peu de

QUELQUES OUTILS
Table des mati` eres
1. Un tout petit peu de logique 1
1.1. Raisonnements par l’absurde 3
1.2. Raisonnement pas r´ecurrence 4
2. Ensembles 5
3. Ensembles de nombres 6
3.1. Rappels 6
3.2. Sous-ensembles de R7
4. Operations avec les ensembles 7
5. Applications entre ensembles 8
6. Exercices 11
6.1. Nombres 11
6.2. Ensembles 11
6.3. Applications 14
6.4. Injectivit´e et surjectivit´e 16
6.5. Raisonnement par r´ecurrence 19
1. Un tout petit peu de logique
On va tout d’abord fixer un peu de notation et de langage math´ematique de base, qui
nous permettra de bien presenter les sujets.
— le symbole ∀veut dire “pour tout” ou bien “quelque soit”
— le symbole ∃veut dire “il existe”
— le symbole ∃! veut dire “il existe un unique”
— souvent on utilisera le symbole : pour dire “tel que”
— si Pet Qsont deux propositions, alors l’´ecriture P ⇒ Q veut dire “Pimplique Q”,
c’est-`a-dire
“si Pest vraie, alors forcement Qest vraie aussi”
— si Pet Qsont deux propositions, alors l’´ecriture P ⇔ Q veut dire “Pest ´equivalente
`a Q”, c’est-`a-dire
“Pest vraie si et seulement si Qest vraie”
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Dans les exemples qui suivent, on utilisera Npour noter l’ensemble des nombres naturels
(voir Section 3).
Exemple 1.1 (Formaliser une proposition).Par exemple, essayons de formaliser en math´ematiques
la proposition suivante
P= “ il existe un nombre naturel qui est plus grand que tous les autres00
C¸ a s’´ecrit de la fa¸con suivante
P= “∃M∈N:∀n∈Nn≤M00
Bien entendu, cette proposition est fausse (voir ci-dessous).
Exemple 1.2 (Nier une proposition).On revient sur la proposition Pde l’exemple pr´ec´edent.
On veut montrer que Pest fausse. Pour ¸ca, il faudra montrer que le contraire de Pest
vrai. Donc il faudra nier Pet apr`es montrer que c’est bien cette nouvelle proposition –
que l’on notera non P– qui est vraie. On commence par nier P:
non P= “∀M∈N,∃n∈N:M < n00.
Une fois qu’on a formalis´e la n´egation de P, on peut montrer qu’elle est vraie. Soit M∈N,
on prend n=M+ 1 qui est bien encore dans Net qui est tel que M < n. Ceci montre que
non Pest vraie et par consequent que P´etait fausse.
L’exemple pr´ec´edent nous donne un aper¸cu de comme faire pour nier une proposition.
Par exemple, on note ci-dessous deux r´egles principales pour prendre la n´egation d’une
proposition P:
—∀devient ∃;
—∃devient ∀
Exemple 1.3 (Implication).Soient Pet Qles deux propositions suivantes
P= “ma voiture est une Ferrari00
et
Q= “ma voiture est italienne00.
On a que Pimplique Q, donc on ´ecrira P ⇒ Q. Bien sˆur, le contraire n’est pas vrai,
autrement dit Qn’implique pas P.
Exemple 1.4 (Double implication).Soient Pet Qles deux propositions suivantes
P= “un carr´e a aire 100
et
Q= “un carr´e a cˆot´es de longueur 100.
Cette fois ici on pourra vraiment utiliser le symbole P ⇔ Q, grˆace `a la formule qui donne
l’aire d’un carr´e. Et si au lieu d’un carr´e on consid`ere un rectangle ?
Memento. Faites toujours attention `a utiliser le symbole de double implication “⇔” dans
la mani`ere correcte.

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Exemple 1.5 (Un erreur typique).On donne l’exemple d’un erreur typique dans l’utili-
sation du symbole “⇔”. Supposons qu’on doit resoudre l’exercice suivant (tr`es simple) :
trouver toute solution xde
x2= 1.
Il peut arriver qu’on ´etudiant un peu distrait ait envie d’´ecrire
“x2= 1 ⇔x= 100
et d’en conclure que x= 1 est la seule solution, mais ceci n’est pas correct ! Dans ce
cas, la seule implication qui est vraie est la suivante
“x= 1 ⇒x2= 100,
qui ne permet pas de conclure l’exercice (on a perdu la solution x=−1 dans cette mani`ere).
On termine avec encore un peu de notation : on utilisera la barre “/” pour nier un
symbole. Par exemple
6 ∃ veut dire “il n’existe pas”
6⇒ veut dire “n’implique pas”
On verra des autres exemples prochainement.
1.1. Raisonnements par l’absurde. Il s’agit d’une methode de raisonnement qui est
souvent utile pour montrer l’implication P ⇒ Q. Il consiste a supposer que Psoit vraie
et que Qsoit fausse, au fin d’arriver `a trouver une contradiction. On va faire quelques
exemples.
Exemple 1.6. Si le carr´e d’un nombre entier est pair, alors le nombre lui mˆeme est pair.
Autrement dit
(1.1) “∀n∈N, n2pair ⇒npair00.
On va raisonner par l’absurde, en supposant qu’il existe n0∈Ntel que n2
0est pair et
pourtant n0ne l’est pas. Par hypoth`ese, on a donc que n0est impair, c-`a-d il existe k∈N
tel que
n0= 2 k+ 1.
Cela implique ´evidemment
n2
0= (2 k+ 1)2= 4 k2+ 4 k+ 1 = 2 (2 k+ 2) + 1 = 2 m+ 1,
o`u on a d´efinit m= 2 k+ 2. Mais l’identit´e precedente veux dire que n2
0est impair, ce qui
donne une contradiction.
L’implication (1.1) est donc vraie.

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1.2. Raisonnement pas r´ecurrence. Souvent il peut nous arriver d’avoir `a montrer que
certaines propositions P(n) qui d´ependent d’un indice n∈N, sont vraies pour tout n≥n0.
Exemple 1.7. Montrer que pour tout n∈N\ {0}on a
n
X
k=1
k=n(n+ 1)
2.
Ici le symbole Pn
k=1 veut dire “somme sur kqui va de 1`a n” et donc en g´en´eral
n
X
k=1
ak=a1+a2+a3+··· +an.
Dans ce cas, le raissonnement par r´ecurrence est un outil essentiel pour d´emontrer ce
qu’on veut. Il consiste de deux ´etapes :
Initialisation. On montre que la proposition P(n) est vraie pour le premier naturel n0,
i.e. on montre que P(n0) est v´erifi´ee.
H´ er´ edit´ e. On montre que
P(n)⇒ P(n+ 1).
Autrement dit, dans cette deuxi`eme ´etape, il faut montrer que si la proposition est vraie
pour un certain n, alors forcement ¸ca implique qu’elle est vraie aussi pour le naturel successif
n+ 1.
Si on arrive `a v´erifier ces deux ´etapes, alors en utilisant la structure des nombres naturels,
on peut en conclure que P(n) est bien vraie pour tout n≥n0.
Exemple 1.8. Au fine de montrer que pour tout n∈N\ {0}on a
(1.2)
n
X
k=1
k=n(n+ 1)
2,
on utilise un raisonnement par r´ecurrence.
1. Initialisation. Pour n= 1, l’identit´e (1.2) est vraie, car
1
X
k=1
k=1=1 (1 + 1)
2.
2. H´ er´ edit´ e. On va supposer que (1.2) soit vrai pour un certain n∈N, i.e. que
n
X
k=1
k=n(n+ 1)
2.

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Il faut montrer que cette hypoth`ese implique (1.2) pour n+ 1 aussi. En utilisant notre
hypoth`ese, on a donc
n+1
X
k=1
k=
n
X
k=1
k+ (n+ 1) = n(n+ 1)
2+ (n+ 1)
=(n+ 1) (n+ 2)
2,
qui montre (1.2) pour n+ 1.
2. Ensembles
Soit Aun ensemble, on utilisera la notation
x∈A,
pour dire que l’element xappartient `a A. De fa¸con similaire on utilisera la notation
x6∈ A,
pour dire le contraire, c’est-`a-dire l’element xn’appartient pas `a A. Soit Bun autre en-
semble, on dira que Best un sous-ensemble de A(ou aussi une partie de A) si pour tout
x∈B, on a x∈Aaussi. Autrement dit, tout element de Best contenu dans A, c’est-`a-dire
∀b∈B, on a b∈A.
Dans ce cas, on ´ecrira
B⊂A.
Par consequent, on aura que deux ensembles A, B sont ´egaux si et seulement si
B⊂Aet A⊂B.
Dans ce cas on utiliser la notation A=B. Au contraire, l’ecriture B6⊂ Aveut dire que B
n’est pas un sous-ensemble de A, i.e. en formule
∃b∈B:b6∈ A.
Avec le symbole ∅on denotera l’ensemble vide, c’est-`a-dire l’ensemble qui ne contient pas
d’elements. ´ Evidemment, on a toujours
∅ ⊂ A,
et on va indiquer P(A) l’ensemble des parties de A, c’est-`a-dire
P(A) = {B:B⊂A}.
Exemple 2.1. Soit A={a, b, c}, alors on a
P(A) = {∅,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}}.