01-09-2015

Objectives du cours MAT1500.
I
Sense critique
I
Logique pour bien comprendre et écrire des preuves
mathématiques
I
Ensembles et fonctions, la langue des mathématiques
I
Les nombres entiers et ses propriétés élémentaires
I
Induction mathématique
I
Comptage
I
Modélisation
Situation : Une vase avec 7 objets, dont 2 rouge et 5 noirs.
Question : Combien de façons différents de choisir trois ?
Réponse(s) : 1, 4, 35, 210, 343, ...
Problème est mal posé.
C’est quoi : "façons différents " ?
On doit préciser ! Dans la vraie vie beaucoup est laissé implicit.
Il faut poser des questions s’il y de l’ambiguité, et/ou bien lire !
Ici il manque d’information, définitivement !
Quel genre de questions ?
Quel genre de questions ?
I
Avec remise ou sans remise ?
I
L’ordre est importante, ou pas ?
I
On veut (pas "peut" !) distinguer les objets ?
I
Si la couleur est la seule différence possible,....
I
...
Il faut développer un sens critique pour trouver quelle information
manque, et où le trouver dans les donner si on ne peut pas poser
une question.
Sol. :
La vraie vie
versus
les mathématiques
= une interaction.
On veut d’abord traduire quelques aspects de la vraie vie en
mathématiques, et puis analyser, et à la fin la conclusion
re-traduire vers la vraie vie.
D’abord on a besoin d’une langue : ensembles/fonctions et logique.
Puis des techniques plus avancées.
Un ensemble est une collection d’objets, appelés éléments.
Si E est le nom d’un ensemble et x le nom d’un objet. On écrit
x ∈E
si x est élément de E . Et on écrit
x 6∈ E
si x n’est pas un élément de E .
Un ensemble E peut être défini par donner une liste d’objets
différents x1 , x2 , . . . , xn . Notation avec des accolades { et } :
E = {x1 , x2 , . . . , xn }.
Par exemple, l’ensemble "Chiffres" des chiffres décimals :
Chiffres := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Ici := veut dire est égale par définition.
L’ensemble "Alphabet" des lettres de l’alphabet français
Alphabet := {a, b, c, d, e, . . . , x , y , z}.
Ici · · · est utilisé parce que vous comprenez ce que je veux dire
(sinon, il faut demander !).
Les voyelles de l’alphabet français
Voyelles := {a, e, i, o, u, y }.
Definition
Soient E et U deux ensembles. On dit que E est égal à U, notation
E =U
si E et U sont formés des mêmes éléments.
Exemple : E = {1, 2, 3, 4}, F = {4, 2, 3, 1}. Alors E = F .
Le nom d’un ensemble n’importe pas.
Le nom d’un élément n’importe pas.
Si on définit un ensemble par une liste, l’ordre des éléments
n’importe pas. Et on on a le droit de répéter dans cette liste le
même élément. Mais dans l’ensemble un élément est compté un
seul fois.
Chiffres = {9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0} = {0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9}.
Le nombre d’élément différents d’un ensemble est noté |E | (ou
#E ). Par exemple :
|Chiffres| = 10
et
|Alphabet | = 26; |Voyelles| = 6.
L’ensemble vide, noté ∅ est l’unique ensemble qui contient zéro
éléments, notation
∅ := {}.
On l’appelle encore un ensemble, malgré le manque d’éléments.
Il y a aussi d’ensembles avec une infinité d’éléments.
En fait nous allons supposer que l’ensemble N des nombres entiers
existe :
N := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , 999, 1000, 1001, . . . , . . .}.
On n’arrête pas avec l’énumération.
Le nombre d’élément différents d’un ensemble est noté |E |.
Si on définit un ensemble comme un liste entre { et } on a le droit
de se répéter :
E := {0, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9}.
Cet ensemble semble avoir 12 éléments. Mais NON. Le même
élément 1 est répété deux fois, et aussi le 9. On compte trop. En
effet E = Chiffres et a 10 éléments différents.
Vous voyez que si E = F alors |E | = |F | ?
Definition
Soient E et U deux ensembles. E est un sous-ensemble de U, si
chaque élément de E est aussi un élément de U, notation
E ⊆U
Exemples :
Voyelles ⊆ Alphabet
{6, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 1} ⊆ Chiffres
Un premier théorème.
Theorem
Soient A, B deux ensembles.
Si A ⊆ B et B ⊆ A, alors A = B.