1. Quelle est l`expression - GIPSA-Lab

1
INSTITUT UNIVERSITAIRE UNIVERSITE
DE TECHNOLOGIE 1 JOSEPH FOURIER
Département Génie Electrique GRENOBLE I
et Informatique Industrielle 1
1
1è
èr re e
A AN NN NE EE E Année Scolaire 2008-2009
M
MO
OD DU UL LE E D DE E P
PH
HY YS SI IQ QU UE E P
P1 1: :
M
ME
EC CA AN NI IQ QU UE E
Devoir surveillé
Vendredi 12 décembre 2008
Enseignant : N. Marchand. Les documents sont INTERDITS. Les calculettes sont INTERDITES (les calculs sont
simples). On veillera à répondre à chacune des questions posées. On donnera les expressions littérales avant
de passer aux applications numériques. Durée : 1h30
NB: On prendra:
Accélération de la pesanteur: g = 10 m/s2
Moment d’inertie d’un disque de masse M de rayon R : J=1/2.M.R²
Questions de cours :
1. Quelle est l’expression du moment d’inertie J d’un point A de masse m situé à une distance
r de l’axe de rotation Δ ?
2. Quelle est la relation fondamentale de la dynamique ? (Veillez à bien, définir les termes
utilisés)
3. Quelle est l’expression du moment cinétique ? (Veillez à bien, définir les termes utilisés)
4. Un disque de rayon R tourne à une vitesse constante ω0. Quelles sont les expressions de la
vitesse et de l’accélération d’un point A situé au bord du disque ?
5. Quelle est l’expression de l’énergie cinétique de translation et de rotation ?
Problème :
Un homme de masse m3 retient par l’intermédiaire d’une corde (supposée sans masse) une masse m2. La
corde est enroulée autour d’un disque de masse m1, de rayon r et de moment d'inertie J=1/2.m1.r². Ce
disque peut tourner autour de son axe de rotation Δ. On suppose que l’homme a de bons appuis et qu’il
ne glisse pas.
Application numérique: on donne: m1 = 50 kg, m2 = 100 kg, m3 = 75 kg, r = 1m

2
I.- Etude statique
1. Identifier et représenter sur un schéma les forces agissant sur
a. l’homme
b. la poulie
c. la masse suspendue
2. Déterminer la force que doit produire l’homme pour maintenir la masse suspendue à une altitude
constante.
II.- L’homme souhaite maintenant remonter la masse suspendue de l’altitude initiale zi = 0 à une altitude
finale zf = 5 m. Pour cela, il est capable tirer la corde avec une force F = 1150 N en se déplaçant de
gauche vers la droite, d’une position initiale xi = 0 à une position finale xf. On notera h l’altitude de
la masse suspendue et x la position de l’homme, le sens du repère est indiqué sur le schéma.
1. Quelle relation existe-t-il entre z et x ?
2. En déduire la relation qui relie les vitesses dx/dt et dz/dt
3. En déduire la relation qui relie les accélérations d2x/dt2 et d2z/dt2
4. Quelles relations existe-t-il entre les vitesses dx/dt et dz/dt et la vitesse de rotation du disque
ω ?
5. En déduire les relations reliant d2x/dt2 et d2z/dt2 avec d
ω /dt.
6. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à la masse suspendue en se limitant aux
forces verticales.
7. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à l’homme en se limitant aux forces
horizontales.
8. Appliquer le théorème du moment cinétique au disque.
9. A partir des équations obtenues en 5, 6, 7 et 8 en déduire la valeur de l’accélération angulaire
dω/dt. (NB : en cas de difficulté à répondre à cette question, on prendra d
ω /dt = 1 pour la suite
du problème).
10. En déduire l’expression de la vitesse angulaire
ω et de l’angle α en fonction du temps. On
prendra
ω (t=0) = 0 et α (t=0) = 0.
11. En déduire l’expression de x en fonction du temps.
12. A quel instant l’homme et la masse suspendue atteignent leur position finale ?
13. A cet instant, l’homme est distrait par une jolie jeune fille et il lâche la corde. Quelle est
l’équation du mouvement de la masse ? Quelle est l’altitude maximale atteinte ?
Fin de l'épreuve