TS 2016 Exercices Correction Ch14. Fonctions

TS 2016 Exercices Correction Ch14. Fonctions Sinus et Cosinus
Première Partie : Prendre un bon départ.
1. Associer des nombres réels à un point image :
Sur un cercle trigonométrique, déterminer les nombres réels qui ont le même point image que le nombre π
6.
Les nombres réels π
6+k×2π,k∈Z
2. Déterminer la mesure principale :
(a) Un angle orienté a pour mesure −55π
3. Quelle est sa mesure principale ?
55 = 9 ×6 + 1 ⇒ −55π
3=−9×2π−π 3,−π 3mesure principale dans ] −π;π]
(b) Un angle orienté a pour mesure 23π
2. Quelle est sa mesure principale ?
23 = 6 ×4−1⇒23π
2= 3 ×2π−π 2,−π 2mesure principale dans ] −π;π]
3. Déterminer le sinus, le cosinus d’un nombre réel : Calculer la valeur exacte du cosinus et du sinus de chaque nombre réel
(a) 7π
6(b) 3π 2(c) −10π 3(d) 8π
(a) 7π
6=π+π 6⇒
cos(7π
6) = −cos(π 6) = −√3 2
sin(7π
6) = −sin(π 6) = −1 2
(b) 3π
2=π+π 2⇒
cos(3π
2) = −cos(π 2) = 0
sin(3π
2) = −sin(π 2) = −1
(c) −10π
3=−4π+2π 3⇒
cos(−10π
3) = cos(2π 3) = −cos(π 3) = −1 2
sin(−10π
3) = sin(2π 3) = sin(π 3) = √3 2
(d) 8π= 4 ×2π+ 0 ⇒(cos(8π) = 1
sin(8π) = 0
4. Résoudre une équation trigonométrique : Dans chaque cas, résoudre l’équation dans l’intervalle ] −π;π]
(a) cos x=−√2
2(b) sin x=1 2(c) 1 + sin x= 0 (d) cos x×sin x= 0
(a) 
x=3π
4+k×2π
x=−3π
4+k×2π
,k∈Z(b) 
x=π
3+k×2π
x=−π
3+k×2π,k∈Z
(c) x=3π
4+k×2π,k∈Z(d) (x=π
2+k×π
x=k×π,k∈Z
5. Connaître les cosinus et sinus des angles associés :
S’aider d’un cercle trigonométrique pour exprimer en fonction de cos xou sin x
(a) cos(π−x)=−cos x(b) sin(π+x)=−sin x(c) cos(π
2−x)= sin x(d) sin(π 2+x)=−cos x
6. Utiliser les formules d’addition : Exprimer en fonction de cos xet sin x
(a) cos(x+π
4)=√2 2(cos x−sin x)(b) sin(x+π 3)=√3 2cos x+1 2sin x
(c) cos(x−π
6)=√3 2cos x+1 2sin x(d) sin(x−π 4)=√2 2(sin x−cos x)
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7. Utiliser une formule de duplication : xdésigne un réel de [0; π] tel que cos x=3
4.
(a) Placer le point Mimage du nombre xsur un cercle trigonométrique de rayon 4cm.
1
−1
1−1
M
(b) Conjecturer sur la valeur de cos(2x). Il semble que cos(2x) = 1
8
(c) Démontrer cette conjecture. cos(2x) = cos2x−sin2x= cos2x−(cos2x−1) = 2 cos2x−1 = 2 ×9
16 −1 = 9 8−8 8=1 8
8. Connaître la définition d’un nombre dérivé : fest une fonction dérivable sur un intervalle Iet a∈I.
(a) Par définition qu’appelle-t-on f′(a) c’est à dire le nombre dérivé de fen a?
Lorsque f′(a) existe, ce nombre est la limite du quotient f(a+h)−f(a)
h, lorsque htend vers 0.
(b) Cest la courbe représentative de fdans un repère. Interpréter graphiquement le nombre dérivé f′(a).
Lorsque f′(a) existe, la fonction fest dérivable en a, la courbe Cadmet une tangente au point d’abscisse a, de coordonnées
(a;f(a)), cette tangente a pour coefficient directeur f′(a).
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Deuxième Partie : Et maintenant.
Exercice 1 :
1. Rappeler la limite en 0 de la fonction h7→ sin h
h
lim
h→0
sin h
h= 1
2. Montrer que lim
h→+∞
sin h
h= 0
Pour h > 0, −1≤sin h < 1 Alors −1
h≤sin h h≤1 het lim
h→+∞
1
h= lim
h→+∞−1
h= 0
Le théorème des Gendarmes donne lim
h→+∞
sin h
h= 0
3. Soit fdéfinie sur R∗par f(h) = sin(5h)
3h
. Montrer que pour tout x∈R∗,f(x) = 5
3×sin(5h) 5h
Pour tout h6= 0, f(h) = sin(5h)
3h=1 3×sin(5h) h=5 3×sin(5h) 5h
. Étudier la limite de fen 0.
Posons H= 5h, lim
h→0H= 0 et lim
H→0
sin H
H= 1, Alors par produit lim
h→0f(h) = 5
3
Exercice 2 : fest la fonction définie sur [0; π] par f(x) = −1
2cos(2x) + cos x+3 2
1. Représenter fà l’écran de la calculatrice afin de conjecturer l’existence d’éventuels extremums.
1
2
1 2 3
Il semble que fadmette en πun minimum 0,
et en π
3un maximum
2. Montrer que, pour tout x∈[0; π], f′(x) = sin x(2 cos x−1)
pour tout x∈[0; π], f′(x) = −1
2×2(−sin(2x)) −sin x= sin(2x)−sin x= 2 sin xcos x−sin x= sin x(2 cos x−1)
3. Étudier le signe de f′(x) sur [0; π] et démontrer la conjecture émise.
On obtient le tableau de signes et de variations suivant
x0π
3π
sin x0 + + 0
2 cos x−1 + 0 −
f′(x) 0 + 0 −
f
2
✒
f(π
3)❅❅❅❘0
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Exercice 3 : Cest un cercle de centre Ode rayon 1.
[CD] est un diamètre de Cet Aest un point de Ctel que \ AOD = Θ avec Θ ∈]0; π[
et Best le point de Ctel que la corde [AB] est perpendiculaire à (CD) en I.
1. Exprimer l’aire S(Θ) du triangle ABC en fonction de sin Θ et cos Θ.
Aire d’un triangle Base ×Hauteur
2, Alors S(Θ) = AB ×CI 2,
CI =CO +OI = 1 + cos Θ et AB = 2 ×AI = 2 ×sin Θ,
S(Θ) = (1 + cos Θ) ×2×sin Θ
2= sin Θ(1 + cos Θ)
2. Déterminer S′(Θ) et vérifier que S′(π
3) = 0
S′(Θ) = cos Θ(1 + cos Θ) + sin Θ ×(−sin Θ) = cos Θ + cos2Θ−sin2Θ
S′(π
3) = 1 2+1 22
−√3
22
=2
4+1 4−3 4= 0
3. En déduire que l’aire du triangle ABC est maximale lorsque celui ci est équilatéral.
S′(π
3) = 0, Alors Sadmet un extremum en π 3, une étude de signe peut montrer que
cet extremum est un maximum.
Pour \ AOD =π
3, le théorème des angles au centre/angle inscrit donne \
ACD =π
6,
Bsymétrique de Apar rapport à (CD), Alors \ ACB = 2 ×π
3, et ACB isocèle en C,
Alors ABC équilatéral.
C
O
C
D
A
B
I
θ
Exercice 4 : Résoudre dans [0; 2π] les inéquations
(a) 1 −2 sin x > 0 (b) −√2 + 2 cos x < 0 (c) sin x(2 cos x−1) ≤0 (d) 1
2−sin2x≥0
(a) x∈]π
6;5π 6[ (b) x∈]π 4;7π 4[ (c) x∈[π 3;π]∪[5π 3; 2π]x∈[0; π 4]∪[3π 4;5π 4]∪[7π 4; 0]
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BAC Métropole, Réunion 2016 :
Lors d’un match de rugby, un joueur doit transformer
un essai qui a été marqué au point E(voir figure ci-
contre) situé à l’extérieur du segment [AB].
La transformation consiste à taper le ballon par un
coup de pied depuis un point Tque le joueur a le
droit de choisir n’importe où sur le segment [EM]
perpendiculaire à la droite (AB) sauf en E. La trans-
formation est réussie si le ballon passe entre les po-
teaux repérés par les points Aet Bsur la figure. E M
A
B
T
Ligne médiane
Limite du terrain
Terrain vu de dessus
x
Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point Tqui rend l’angle [ AT B le plus grand
possible.
Le but de cet exercice est donc de rechercher s’il existe une position du point Tsur le segment [EM ] pour laquelle l’angle [ AT B
est maximum et, si c’est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.
Dans toute la suite, on note xla longueur ET , qu’on cherche à déterminer.
Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50m,EA = 25met AB = 5,6m. On note αla mesure en radian de l’angle
[
ET A,βla mesure en radian de l’angle [ ET B et γla mesure en radian de l’angle [ AT B.
1. En utilisant les triangles rectangles ET A et ET B ainsi que les longueurs fournies, exprimer tan αet tan βen fonction de x.
La fonction tangente est définie sur l’intervalle i0 ; π
2hpar tan x=sin x cos x.
2. Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur l’intervalle i0 ; π
2h.
3. L’angle [ AT B admet une mesure γappartenant à l’intervalle i0 ; π
2h, résultat admis ici, que l’on peut observer sur la figure.
On admet que, pour tous réels aet bde l’intervalle i0 ; π
2h,
tan(a−b) = tan a−tan b
1 + tan a×tan b.
Montrer que tan γ=5,6x
x2+ 765.
4. L’angle [ AT B est maximum lorsque sa mesure γest maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l’intervalle
]0 ; 50] de la fonction fdéfinie par : f(x) = x+765
x.
Montrer qu’il existe une unique valeur de xpour laquelle l’angle [ AT B est maximum et déterminer cette valeur de xau
mètre près ainsi qu’une mesure de l’angle [ AT B à 0,01 radian près.
Correction :
1.
tan α=EA
ET =25 xtan β=EB ET =30,6 x
2. Les fonctions x7→ sin xet x7→ cos xsont définies et dérivables sur ]0 ; π
2[. Puisque la fonction cosinus ne s’annule pas sur
]0,π
2[, on en déduit, par quotient, que la fonction x7→ tan xest dérivable sur ]0 ; π 2[.
Pour tout nombre réel xappartenant à ]0 ; π
2[, on a :
tan′(x) = cos x×cos x−sin x×(−cos x)
(cos x)2=sin2x+ cos2x cos2x=1 cos2x
Puisque tan′>0 sur ]0 ; π
2[, alors
La fonction tangente est strictement croissante sur i0,π
2h
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