TS 2016 Exercices Correction Ch14. Fonctions

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Exercices Correction
Ch14. Fonctions Sinus et Cosinus
Première Partie : Prendre un bon départ.
1. Associer des nombres réels à un point image :
π
Sur un cercle trigonométrique, déterminer les nombres réels qui ont le même point image que le nombre .
6
π
Les nombres réels + k × 2π, k ∈ Z
6
2. Déterminer la mesure principale :
55π
(a) Un angle orienté a pour mesure −
. Quelle est sa mesure principale ?
3
55π
π
π
55 = 9 × 6 + 1 ⇒ −
= −9 × 2π − , − mesure principale dans ] − π; π]
3
3
3
23π
(b) Un angle orienté a pour mesure
. Quelle est sa mesure principale ?
2
π
π
23π
= 3 × 2π − , − mesure principale dans ] − π; π]
23 = 6 × 4 − 1 ⇒
2
2
2
3. Déterminer le sinus, le cosinus d’un nombre réel : Calculer la valeur exacte du cosinus et du sinus de chaque nombre réel
(a)
7π
6
(b)
3π
2
(c) −
10π
3
(d) 8π

√

π
7π
3


cos( 3π ) = − cos( π ) = 0
cos( ) = − cos( ) = −
7π
3π
π
π
2
2
6
6
2
(a)
(b)
=π+ ⇒
=π+ ⇒

sin( 3π ) = − sin( π ) = −1
6
6
2
2
sin( 7π ) = − sin( π ) = − 1
2
2
6
6
2
10π
2π
π
1
(


cos(−
) = cos( ) = − cos( ) = −
cos(8π) = 1
10π
2π
3
3
3
2
√
(d) 8π = 4 × 2π + 0 ⇒
(c) −
= −4π +
⇒
2π
π
3
10π

3
3
sin(8π) = 0
sin(−
) = sin( ) = sin( ) =
3
3
3
2
4. Résoudre une équation trigonométrique : Dans chaque cas, résoudre l’équation dans l’intervalle ] − π; π]
√
1
2
(b) sin x =
(c) 1 + sin x = 0
(d) cos x × sin x = 0
(a) cos x = −
2
2


x = 3π + k × 2π
x = π + k × 2π
4
3
(a)
, k ∈ Z (b)
,k∈Z
x = − 3π + k × 2π
x = − π + k × 2π
3
4
(
π
x= +k×π
3π
2
+ k × 2π, k ∈ Z (d)
,k∈Z
(c) x =
4
x=k×π
5. Connaître les cosinus et sinus des angles associés :
S’aider d’un cercle trigonométrique pour exprimer en fonction de cos x ou sin x
π
π
(b) sin(π + x)= − sin x
(c) cos( − x)= sin x
(d) sin( + x)= − cos x
(a) cos(π − x)= − cos x
2
2
6. Utiliser les formules d’addition : Exprimer en fonction de cos x et sin x
√
√
1
π
π
2
3
(cos x − sin x)
cos x + sin x
(a) cos(x + )=
(b) sin(x + )=
4
3
2
2
√2
√
π
π
3
2
1
(c) cos(x − )=
(d) sin(x − )=
cos x + sin x
(sin x − cos x)
6
2
2
4
2
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3
.
4
(a) Placer le point M image du nombre x sur un cercle trigonométrique de rayon 4cm.
7. Utiliser une formule de duplication : x désigne un réel de [0; π] tel que cos x =
b
1
M
b
1
−1
−1
(b) Conjecturer sur la valeur de cos(2x). Il semble que cos(2x) =
1
8
(c) Démontrer cette conjecture. cos(2x) = cos2 x − sin2 x = cos2 x − (cos2 x − 1) = 2 cos2 x − 1 = 2 ×
8. Connaître la définition d’un nombre dérivé : f est une fonction dérivable sur un intervalle I et a ∈ I.
9
9 8
1
−1= − =
16
8 8
8
(a) Par définition qu’appelle-t-on f ′ (a) c’est à dire le nombre dérivé de f en a ?
f (a + h) − f (a)
Lorsque f ′ (a) existe, ce nombre est la limite du quotient
, lorsque h tend vers 0.
h
(b) C est la courbe représentative de f dans un repère. Interpréter graphiquement le nombre dérivé f ′ (a).
Lorsque f ′ (a) existe, la fonction f est dérivable en a, la courbe C admet une tangente au point d’abscisse a, de coordonnées
(a; f (a)), cette tangente a pour coefficient directeur f ′ (a).
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Deuxième Partie : Et maintenant.
Exercice 1 :
sin h
1. Rappeler la limite en 0 de la fonction h 7→
h
sin h
lim
=1
h→0 h
sin h
2. Montrer que lim
=0
h→+∞ h
1
1
sin h
1
1
Pour h > 0, −1 ≤ sin h < 1 Alors − ≤
≤ et lim
= lim − = 0
h→+∞ h
h→+∞
h
h
h
h
sin h
Le théorème des Gendarmes donne lim
=0
h→+∞ h
sin(5h)
3. Soit f définie sur R∗ par f (h) =
3h
5 sin(5h)
∗
. Montrer que pour tout x ∈ R , f (x) = ×
3
5h
sin(5h)
1 sin(5h)
5 sin(5h)
Pour tout h 6= 0, f (h) =
= ×
= ×
3h
3
h
3
5h
. Étudier la limite de f en 0.
5
sin H
= 1, Alors par produit lim f (h) =
Posons H = 5h, lim H = 0 et lim
H→0 H
h→0
h→0
3
1
3
Exercice 2 : f est la fonction définie sur [0; π] par f (x) = − cos(2x) + cos x +
2
2
1. Représenter f à l’écran de la calculatrice afin de conjecturer l’existence d’éventuels extremums.
2
Il semble que f admette en π un minimum 0,
π
un maximum
et en
3
1
1
2
3
2. Montrer que, pour tout x ∈ [0; π], f ′ (x) = sin x(2 cos x − 1)
1
pour tout x ∈ [0; π], f ′ (x) = − × 2(− sin(2x)) − sin x = sin(2x) − sin x = 2 sin x cos x − sin x = sin x(2 cos x − 1)
2
3. Étudier le signe de f ′ (x) sur [0; π] et démontrer la conjecture émise.
On obtient le tableau de signes et de variations suivant
x
0
sin x
0
2 cos x − 1
f ′ (x)
0
π
3
+
+
+
✒
f
2
3/ 7
0
0
f ( π3 )
+
−
−
❅
❅
❘
❅
π
0
0
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Exercice 3 : C est un cercle de centre O de rayon 1.
\ = Θ avec Θ ∈]0; π[
[CD] est un diamètre de C et A est un point de C tel que AOD
et B est le point de C tel que la corde [AB] est perpendiculaire à (CD) en I.
1. Exprimer l’aire S(Θ) du triangle ABC en fonction de sin Θ et cos Θ.
AB × CI
Base × Hauteur
, Alors S(Θ) =
,
Aire d’un triangle
2
2
CI = CO + OI = 1 + cos Θ et AB = 2 × AI = 2 × sin Θ,
(1 + cos Θ) × 2 × sin Θ
S(Θ) =
= sin Θ(1 + cos Θ)
2
π
2. Déterminer S ′ (Θ) et vérifier que S ′ ( ) = 0
3
S ′ (Θ) = cos Θ(1 + cos Θ) + sin Θ × (− sin Θ) = cos Θ + cos2 Θ − sin2 Θ
2 √ 2
3
1
2 1 3
1
′ π
S( )= +
−
= + − =0
3
2
2
2
4 4 4
3. En déduire que l’aire du triangle ABC est maximale lorsque celui ci est équilatéral.
π
π
S ′ ( ) = 0, Alors S admet un extremum en , une étude de signe peut montrer que
3
3
cet extremum est un maximum.
π
\ = , le théorème des angles au centre/angle inscrit donne ACD
\ = π,
Pour AOD
3
6
\ = 2 × π , et ACB isocèle en C,
B symétrique de A par rapport à (CD), Alors ACB
3
Alors ABC équilatéral.
C
b
A
b
θ O
b
b
I
b
D
Exercice 4 : Résoudre dans [0; 2π] les inéquations
√
1
(c) sin x(2 cos x − 1) ≤ 0
(d) − sin2 x ≥ 0
(a) 1 − 2 sin x > 0
(b) − 2 + 2 cos x < 0
2
π 5π
π 7π
π
5π
π
3π 5π
7π
(a) x ∈] ;
[
(b) x ∈] ;
[
(c) x ∈ [ ; π] ∪ [ ; 2π]
x ∈ [0; ] ∪ [ ;
] ∪ [ ; 0]
6 6
4 4
3
3
4
4 4
4
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b
B
C
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BAC Métropole, Réunion 2016 :
B
A
E
T
Limite du terrain
Lors d’un match de rugby, un joueur doit transformer
un essai qui a été marqué au point E (voir figure cicontre) situé à l’extérieur du segment [AB].
La transformation consiste à taper le ballon par un
coup de pied depuis un point T que le joueur a le
droit de choisir n’importe où sur le segment [EM ]
perpendiculaire à la droite (AB) sauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B sur la figure.
Ligne médiane
Terrain vu de dessus
M
x
[
Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l’angle AT
B le plus grand
possible.
[
Le but de cet exercice est donc de rechercher s’il existe une position du point T sur le segment [EM ] pour laquelle l’angle AT
B
est maximum et, si c’est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.
Dans toute la suite, on note x la longueur ET , qu’on cherche à déterminer.
Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50m, EA = 25m et AB = 5, 6m . On note α la mesure en radian de l’angle
[
[
[
ET
A, β la mesure en radian de l’angle ET
B et γ la mesure en radian de l’angle AT
B.
1. En utilisant les triangles rectangles ET A et ET B ainsi que les longueurs fournies, exprimer tan α et tan β en fonction de x.
i
πh
sin x
La fonction tangente est définie sur l’intervalle 0 ;
par tan x =
.
2
cos
i x πh
.
2. Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur l’intervalle 0 ;
2
i
h
π
[
3. L’angle AT
B admet une mesure γ appartenant à l’intervalle 0 ;
, résultat admis ici, que l’on peut observer sur la figure.
2
i
πh
,
On admet que, pour tous réels a et b de l’intervalle 0 ;
2
tan a − tan b
tan(a − b) =
.
1 + tan a × tan b
5, 6x
.
Montrer que tan γ = 2
x + 765
[
4. L’angle AT
B est maximum lorsque sa mesure γ est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l’intervalle
765
]0 ; 50] de la fonction f définie par : f (x) = x +
.
x
[
Montrer qu’il existe une unique valeur de x pour laquelle l’angle AT
B est maximum et déterminer cette valeur de x au
[
mètre près ainsi qu’une mesure de l’angle AT B à 0, 01 radian près.
Correction :
1.
tan α =
EA
25
=
ET
x
tan β =
EB
30, 6
=
ET
x
2. Les fonctions x 7→ sin x et x 7→ cos x sont définies et dérivables sur ]0 ; π2 [. Puisque la fonction cosinus ne s’annule pas sur
]0, π2 [, on en déduit, par quotient, que la fonction x 7→ tan x est dérivable sur ]0 ; π2 [.
Pour tout nombre réel x appartenant à ]0 ; π2 [, on a :
tan′ (x) =
cos x × cos x − sin x × (− cos x)
sin2 x + cos2 x
1
=
=
2
2
(cos x)
cos x
cos2 x
Puisque tan′ > 0 sur ]0 ; π2 [, alors
i πh
La fonction tangente est strictement croissante sur 0,
2
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[
[
[
3. On a AT
B = ET
B − ET
A, soit γ = β − α. Par suite :
30, 6 25
−
tan α − tan β
x
x
=
tan γ = tan(β − α) =
30, 6 25
1 + tan α tan β
×
1+
x
x
=
5, 6
x
765
1+ 2
x
=
5, 6x
x2 + 765
=
5, 6
x
x2 + 765
x2
=
x2
5, 6
× 2
x
x + 765
tan γ =
5, 6x
x2 + 765
[
4. L’angle AT
B est maximal lorsque sa mesure γ l’est. Puisque γ appartient à l’intervalle ]0 ; π2 [ on en déduit, la fonction
tangente étant strictement croissante sur ]0 ; π2 [, que γ est maximal si et seulement si tan γ est maximal.
5, 6x
S’il existe, le maximum de tan γ est ainsi le maximum, sur ]0, 50], de la fonction g définie par g(x) = 2
.
x + 765
Remarque :
Pour démontrer que g admet, sur ]0 ; 50], un maximum atteint pour une unique valeur de
x, il suffit d’étudier les variations de g, ce qui ne pose aucun problème...
On peut aussi procéder de la manière suivante :
1
Puisque la fonction g ne s’annule pas sur l’intervalle ]0 ; 50], on peut définir, sur ]0 ; 50], la fonction .
g
La fonction g est strictement positive sur ]0 ; 50] et la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[ : les
1
fonctions g et ont donc des sens de variation contraires.
g
1
1
Puisque f = 5, 6 × , les fonctions f et ont les mêmes variations : les fonctions f et g ont donc des variations contraires.
g
g
Le maximum de g 1 sur ]0 ; 50] est obtenu en une valeur de x pour laquelle f admet un
minimum.
La fonction f est dérivable sur ]0, 50] et, pour tout nombre réel x appartenant à ]0 ; 50] :
√
√
x2 − 765
x + 765
765
′
=
(x − 765)
f (x) = 1 − 2 =
2
x
x
x
√
Puisque x ∈]0 ; 50], alors x + 765 > 0 :
√
le signe de f’(x) est donc celui de x − 765
√
√
On en déduit que f est strictement décroissante sur ]0, 765] et strictement croissante
√ sur [ 765 ; 50] :
f admet donc, sur ]0 ; 50], un minimum atteint pour x = 765.
[
L’angle AT
B est maximal pour une unique valeur de x, égale à
√
765 m.
Une valeur approchée de x, au mètre près, est 28 m
[
Une valeur approchée de l’angle AT
B, à 0,01 radian près est 0, 1, soit environ 5, 78˚.
1. Sous réserve d’existence
6/ 7