Réponses aux problèmes du chapitre 3

MAT1085
Chapitre 3 Analyse combinatoire
Solutions
3.1
Une femme doit acheter une blouse ou une jupe. Il y a un choix de 3 blouses et 2 jupes. Si elle n'achète
qu'un objet, de combien de façons peut-elle faire son choix ?
5
S'il lui est possible d'acheter et une blouse et une jupe, de combien de façons peut-elle faire son choix ?
5 + 3×2 = 11.
3.2
De combien de façons 4 filles et 4 garçons peuvent-ils s'accoupler ?
De combien de façons peuvent-ils s'asseoir sur un banc en alternant fille et garçon ?
4! = 24
Les garçons peuvent occuper les places paires (2,4,6,8) ou impaires. Pour chacune de ces 2 possibilités il y a 4! de placer les garçons et 4!
façons de placer les filles. Donc 2×4!×4! = 1152 façons en tout.
3.3
Trois personnes, A, B et C, doivent se partager 12 prix. De combien de façons peuvent-ils se les répartir si
a)
b) Si A doit en avoir 6, B 4 et C 2 ?
c)
122 102 82
Chacune doit en avoir 3 ?
126[  64  22   6!4!2![  6 124 2  , le nombre de façons de répartir 12 objets en 3 groupes]
12!
Si l’un des trois doit en avoir 6, un autre doit en avoir 4 et un troisième enfin doit en avoir 2 ?
3! façons de décider lequel des 3 en recevra 6, lequel 4 et lequel 2. Une fois ce choix fait, il y a
6
12
4 2
 façons de répartir les prix. Il y a donc
en tout 3! 6 124 2  façons.
d) Si deux d’entre eux doivent en avoir 4 chacun et le troisième 2 ?
 32 
 4 124 2 
façons de choisir les deux personnes qui recevront chacun 4 prix. Une fois ce choix fait, il y a
façons de répartir les prix. Le
nombre de façons est donc
 32   4 124 2 
3.4
Combien un pays peut-il avoir de numéros de téléphones constitués de l’indicatif régional de 3 chiffres, plus 7
chiffres, lorsqu’il y en tout 13 indicatifs régionaux dans le pays ?
13(710).
3.5
On tire avec remise 8 cartes d'un jeu de 10 cartes qui consiste en 3 as, 2 rois, 2 reines et 3 valets. Quelle est la
probabilité d'avoir 2 as, 3 rois et 3 valets (et pas de reine) ?
a) dans cet ordre
(0,3)(0,3)(0,2)(0,2)(0,2)(0,3)(0,3)(0,3) = 0,00001944
8!
× 0,00001944= 0,0108864.
2!3!3!
b) dans un ordre quelconque
3.6
On lance un dé 9 fois. Quelle est la probabilité d'avoir le "1", le "3" et le "5" deux, trois et quatre fois,
respectivement.
3.7
9!
(1/6) 9 = 35/279936 = 0,000125028578.
2!3!4!
D'une assemblée formée de 20 étudiants de 3e année, 15 de 2e année et 10 de 1ère année, on constitue un comité
de 5 personnes. Quelle est la probabilité que le comité comprenne 2 étudiants de 3e, 2 de 2e et 1 de 1ère ?
1
 
45
5
3.8
    = 9500/58179 = 0,1632891593.
20
15
2
2
Au numéro précédent, supposons que vous savez que le comité comprend exactement un étudiant de première.
Quelle est la probabilité conditionnelle qu'il y ait 2 étudiants de 3 e, 2 de 2e et 1 de 1ère ?
1
 
35
4
3.9
10
1
  
20
15
2
2
= 285/748 = 0,3810160428
On permute au hasard les lettres A, B, C, D, E. Quelle est la probabilité que les lettres A et B ne soient pas
séparées par d'autres lettres ?
2×4!/5! = 0,4.
3.10 On lance un dé 5 fois. Quelle est la probabilité que les 5 résultats soient différents ?
MAT1085 Chapitre 2 Probabilités 2
Le nombre de résultats possibles est Card( = 65. Au numérateur, nous devons compter le nombre de quintuplés (comme, par exemple,
A 56
=
65
0,0925925920.
53423, dans lesquels les 5 résultats sont différents (comme, par exemple, 35126. C'est ce que A 56 (= 6!)signifie. La probabilité est donc
Quelle est la probabilité que chaque résultat soit supérieur au précédent ?
Au numérateur, il faut compter le nombre de façons de choisir les 5 chiffres différents, soit
 56  . Une fois choisis, les 5 chiffres ne peuvent être
placés que d'une seule façon, soit en ordre croissant. La probabilité est donc
  = 0,0007716049383
6
5
65
3.11 25 personnes sont assises dans une salle d'attente. Quelle est la probabilité qu'au moins 2 personnes aient la même
date de naissance. [Vous supposerez que pour chaque personne, la date de naissance peut-être l'une des 365 dates
possibles avec probabilité 1/365]
1-P(les 25 dates sont différentes) = 1-
A 365
25
= 0,568699704.
36525
3.12 Dans un bar, il y a 9 tabourets et 5 clients sont assis. Quelle est la probabilité que les sièges occupés et les sièges
vides s'alternent ?
Le nombre de façons de placer les clients est

9
5
; le nombre de façons de les placer en alternance est 1. La probabilité est donc 1

9
5
=
0,0079365079.
3.13 On place au hasard n boules dans n cases. Quelle est la probabilité qu'exactement une case soit vide ?
nn façons de placer les boules. 2
  façons de choisir la case qui sera vide et celle qui contiendra 2 boules ;   façons de choisie les 2 boules
n
2
n
2
contenues dans la case qui contiendra 2 boules ; (n-2)! façons de placer les n-2 boules qui restetd dans les n-2 cases qui restent. La probabilité
est donc
2
   (n  2)!
n
2
n
2
nn
= n2(n-1)2(n-2)!/(2nn).
3.14 15 étudiants doivent se répartir en trois équipes de 5. S'il y a 3 génies dans la classe, quelle est la probabilité qu'il
y en ait un dans chaque équipe ?
Le nombre de façons de répartir 15 personnes en 3 groupes de 5 est
puis
15!
=756756. Il y a 3! façons de les placer dans les 3 équipes,
   5!5!5!
15
5;5;5
12!
= 34650. La probabilité demandée est donc 6(34650)/756756
   4!4!4!
12
4;4;4
= 25/91 = 0,2747252747.
Quelle est la probabilité qu'ils soient tous dans la même équipe ?
Il y a 3 façons de choisir l’équipe qui les contiendra,
12!
de placer les 12 autres, donc 49896 façons en tout de placer les 3 génies
   2!5!5!
12
2;5;5
dans un même groupe. La probabilité est dont 49896/756756 = 6/91 = 0,06593406593.
3.15 Vous organisez une rencontre internationale à laquelle participent 8 Américains, 5 Canadiens et 7 Mexicains.
Vous préparez donc des épingles aux couleurs des trois pays (8 épingles américaines, 5 canadiennes, 7
mexicaines).
a) Si vous distribuez les 20 épingles au hasard, quelle est la probabilité
i) que tous les participants portent les couleurs de leur pays ?
Le nombre de façons de distribuer les 20 épingles, c'est le nombre de façons de répartir 20 ob jets en 3 groupes, de tailles 8, 5, et 7, soit
1
8 205 7  . Il n'y a qu'une façon de donner à chacun les couleurs de son pays. La probabilité est donc 20 .
8 5 7 
ii) que les Américains portent tous les couleurs de leur pays ?
Le dénominateur de ne change pas. Au numérateur, nous devons compter le nombre de façons de distribuer les 20 épingles de telle sorte
que tous les Américains reçoivent les leurs. On commence donc par donner aux Américains leurs épingles. Il n'y a qu'une façon de
le faire. Ensuite, on distribue les 12 épingles qui restent aux Canadiens et aux Mexicains. il y a  5127   125  façons de le faire. La
probabilité est donc
125 
 8 205 7 
.
b) Supposons que vous distribuez les 20 épingles au hasard et que les épingles portent les noms des participants.
Ici, dans , on inclut distinctement toutes les attributions possibles d'une épingle à une personne, alors que précédemment un élément de
 quelles épingles allaient aux Américains (ou Canadiens ou Mexicains) sans dire quel Américain (Canadien, Mexicain) recevait
quelle épingle. On a donc Card() =1/20!
MAT1085.03.Sols.A12
2
25 octobre 2012
MAT1085 Chapitre 2 Probabilités 3
i) Quelle est la probabilité que les épingles de tous les participants coïncident parfaitement ?
ii) Quelle est la probabilité que les noms des Américains coïncident parfaitement ?
1/20!
Le nombre de façons de distribuer les épingles est 12!. La probabilité demandée est donc 12!/20!
c)
Supposons que les 8 épingles destinées aux Américains leur sont distribuées au hasard, de même que les 5
destinées aux Canadiens et que les 7 destinées aux Mexicains.
Il est utile ici de noter qu'il s'agit ici de trois opérations indépendantes: la distribution aux Américains, la distribution aux Canadiens, et la
distribution aux Mexicains.
i)
Quelle est la probabilité que les épingles de tous les participants coïncident parfaitement ?
On a ici Card() = 8!5!7! et la probabilité est donc 1/8!5!7!
ii) Quelle est la probabilité que les noms des Américains coïncident parfaitement ?
Le nombre de permutations dans lesquelles les Américains reçoivent chacun leur propre épingle est 5!7!. La probabilité est donc
5!7!/8!5!7! = 1/8!. On aurait pu arriver à cette conclusion plus simplement en se limitant à la distribution aux Américains (qui peut
se faire de 8! façons), sans se préoccuper des autres, puisque ceux-ci n'ont pas d'impact sur ce qui se passe avec les Américains.
iii) Quelle est la probabilité que la coïncidence est parfaite parmi les Canadiens, mais pas chez les
Américains ou les Mexicains.
Soit A, B et C les évènements «coïncidence parfaite chez les Américains», «chez les Canadiens» et «chez les Mexicains»,
respectivement. Ces événements sont indépendants, de même que leurs compléments, Ac, Bc et Cc. La question posée comprend
une certaine ambigüité, car la probabilité demandée peut être interprétée comme P(ABcCc) ou comme P[A(BC)c].
L'indépendance des événements permet de calculer ces probabilités aisément. Par exemple, P(ABcCc) = P(A)P(Bc)P(Cc) =
P(A)[1-P(B)][1-P(C)] ; et P[A(BC)c] = P(A)P[(BC)c] = P(A)[1-P(BC)] = P(A)[1-P(B)P(C)].
16
Huit personnes sont placées en rang.
a) Quelle est la probabilité qu’Alice et Bernard soient assis ensemble ?
b) S’il y a 4 hommes et 4 femmes, quelle est la probabilité qu’il y ait alternance homme/femme ?
2

8
4
2(7!)/8!=1/4
= 1/35 = 0,0285714286
S’il y a 5 hommes et 3 femmes, quelle est la probabilité que les hommes soient assis ensembles ?
c)
4

8
5
= 1/14 = 0,07142857
d) Si les huit personnes forment 4 couples mariés, quelle est la probabilité que les couples ne soient pas
séparés ?
24 4!
= 1/105= 0,0095238095
8!
3.17 La langue hawaïenne compte 12 lettres, 5 voyelles et 7 consonnes. On forme au hasard un mot de 5 lettres
(n’importe quelle suite de 5 lettres, répétitions permise). Quelle est la probabilité que le mot soit prononçable
(c’est-à-dire, qu’il n’y ait pas deux consonnes contiguës ni 2 voyelles contiguës.
7352  7253
125
= 0,0590760031
3.18 Chacun des 200 délégués à un congrès des Nations Unies sert la main de tout le monde. Combien y a-t-il de
poignées de mains ?
 2002  = 19900.
3.19 Six étudiants forment une équipe pour collaborer à un devoir comprenant 8 problèmes. Donc deux personnes
devront en faire deux chacun et les quatre autres un chacun. Combien y a-t-il de façons de faire cette attribution ?

6
2
   façons de leur attribuer 2 tâches chacun ; et 4! façons d’attribuer une
tâche chacun aux quatre autres. Donc le nombre de façons est     4! = 151200.
façons de choisir les deux étudiants qui en feront 2 chacun ;
8
2
6
2
6
2
8
2
6
2
3.20 En Braille, les lettres sont représentées par une configuration de points surélevés et non surélevés dans une
matrice comme celle-ci , ooo ooo , ou celle-ci,
o
o o
o o
ou encore celle-ci
o
o
oo
.
Combien peut-on former de lettres en Braille ?
Chacune des 6 positions offre deux possibilités: surélevée, ou pas. Il y a donc 26 =64 possibilités.
On peut former 24 = 16 lettres avec 4 points, ce qui ne suffit pas.
Est-ce que 4 points auraient suffi ?
3.21 Trois Québécois, 4 Français et 5 Anglais s’assoient au hasard sur un banc.
a) Quelle est la probabilité que les personnes de même nationalité soient assises l’une à côté de l’autre ?
MAT1085.03.Sols.A12
3
25 octobre 2012
MAT1085 Chapitre 2 Probabilités 4
Le nombre de façons de placer ces 12 personnes (en ne tenant compte que de la nationalité et non de l’identité des personnes) est
12
 3;4;5

= 27720. Il y a 3! façons de les ranger sans séparer les personnes de même nationalité. La probabilité est donc 3!/27720 = 1/4620 =
0,0002164502165.
b) Quelle est la probabilité qu’aucun Anglais ne soit assis à côté d’un autre Anglais ?
Le nombre de résultats possibles est
 3 4125  .
Au numérateur, nous devons compter le nombre d'arrangements dans lesquels les Anglais
occupent les espaces entre les autres ou aux extrémités. On place d'abord les 7 autres, les uns par rapport aux autres, de
Ensuite on place les Anglais dans 5 des 8 espaces entre les 7 autres et aux extrémités. Il y a
 74  85  .
 3124 5 

8
5
 374    74 
façons.
façons de le faire. La probabilité est donc
Le dénominateur peut s'écrire comme 125  74  . La réponse est donc

 
8
5
= 7/99 = 0,07070707.
12
5
3.22 On lance un dé 10 fois.
a) Quelle est la probabilité qu’aucun des résultats 3, 4, 5, et 6 n’apparaissent ?
(2/6)10 =1/59049.
b) Quelle est la probabilité que les numéros 1 et 2 apparaissent au moins une fois chacun et que seuls ceux-ci
apparaissent ?
Le nombre de cas possibles est 610. La cardinalité de l'événement est 210-2, le «-2» étant le nombre de façons de n'avoir que des 1 ou que des
2. La probabilité est donc (210-2)/610 =(2/6)10-2(1/6)10 = 0,00001690201147.
3.23 On forme au hasard des « mots » de n lettres choisies parmi les lettres A à Z. [Un « mot » est une suite de n
lettres, répétitions permises]
a) Quelle est la probabilité qu’une même lettre ne figure pas deux fois consécutives ?
Il y a 26n résultats possibles. Au numérateur : la première lettre peut être n'importe laquelle des 26 lettres de l'alphabet. Chacune des n-1
suivantes ne peut être choisie que de n-1 façons puisqu'il faut exclure la lettre précédente. La probabilité est donc 26(25)n-1/26n = (25/26)n-1
b) Quelle est la probabilité que la lettre A apparaissent m fois (m ≤ n) ?

Les m positions pouvant être occupées par A peuvent être choisies de mn façons. Les n-m autres positions peuvent être occupées de

(25)n-m façons. Donc le nombre de dispositions possibles contenant exactement m A est mn (25)n-m . La probabilité est donc
=
1
   26


n
m
m
 25 
 26 
 
nm
=
 mn  25nm
26n
 mn (25)nm
26n .
3.24 On a tiré au hasard (et sans remise) un échantillon de 8 maisons dans un quartier qui en compte 60. Votre maison
est l’une des 12 situées dans un cul-de-sac.
a) Quelle est la probabilité que votre maison ait été sélectionnée ?
  = 2/15 = 0,13333.
 
59
7
60
8
b) Quelle est la probabilité que votre maison ainsi que celle de votre voisine aient été sélectionnées ?
  = 14/885=0,015819209
 
58
6
60
8
c)
Quelle est la probabilité qu’au moins une des 12 maisons du cul-de-sac aient été sélectionnée ?
 =
 
48
1-P(Aucune n’est sélectionnées) = 1-
8
60
0,8525185968
8
d) Vous savez qu’au moins une des maisons du cul-de-sac a été sélectionnée. Quelle est la probabilité que votre
maison l’ait été ?
Soit A : « Au moins une maison du cul-de-sac est sélectionnée » et B : « La vôtre est sélectionnée ». P(B|A) = P(BA)/P(A) =
P(B)/P(A). P(B) =
 
 
59
7
60
8
e)
 
 
48
= 2/ 15 et P(A) = 1-
8
60
et donc P(B)/P(A) = 0,1563993254.
8
Vous savez que votre maison n’a pas été sélectionnée. Quelle est la probabilité qu’au moins une des autres
maisons du cul-de-sac l’ait été ?
MAT1085.03.Sols.A12
4
25 octobre 2012
MAT1085 Chapitre 2 Probabilités 5
Soit A : « Votre maison n’est pas sélectionnée » et B : « Aucune des autres maisons dans le cul-de-sac n’est sélectionnée ». P(B|A) = 1-
 
 
48
P(Bc|A) = 1-P(ABc)/P(A). P(ABc) = P(Aucune des maisons du cul-de-sac n’est sélectionnée) =
8
60
et P(A) =1-
  . Donc 1 
59
7
60
8
8
P(ABc)/P(A) = 0,8298291495.
3.25 On doit distribuer 4 oranges, 5 pommes et 6 mangues à 5 enfants. De combien de façons peut-on faire cette
distribution ? [Les oranges ne sont pas discernables entre elles, les pommes et les mangues non plus].
 444  544  644  = 1852200
3.26 On doit distribuer 9 livres à 3 enfants. Combien y a-t-il de façons de procéder si
a) l’aîné doit en recevoir 5, les deux autres 2 chacun ? Les livres sont tous distincts.
  = 756
9
5;2;2
b) les livres sont 9 copies identiques d’un même titre ; aucune restriction sur le nombre de livres que chaque
enfant reçoit.
 922  = 55
c)
  = 28.
les livres sont 9 copies identiques d’un même titre ; chaque enfant doit recevoir au moins un livre.
8
2
3.27 Chacune de trois classes comprend n élèves. De l’ensemble des 3n élèves, vous en tirez au hasard 3 (sans remise).
3n
a) Quelle est la probabilité que les trois appartiennent à une même classe ?
3 3n
3
 
3n
6n  n
2 3 
3n
n3  3

b) Quelle est la probabilité que deux appartiennent à une même classe et le troisième à un autre ?
c)
Quelle est la probabilité que les trois appartiennent à trois classes différentes ?
d) Déduire des trois premières questions une identité combinatoire (c’est-à-dire, montrer qu’une certaine somme
de quotients, fonction d’un entier naturel n, est toujours égales à 1.
On doit avoir
 33n   3 3n   6n  2n   n3 quelle que soit n.
3.28 Supposons que dans une galaxie, la probabilité de voir évoluer des êtres intelligents (l’être humain, par exemple)
est p. Sachant qu’il y a environ 1011 galaxies dans l’univers, quelle doit être la valeur de p pour qu’on puisse
affirmer avec au moins 90 % de certitude qu’il existe des êtres intelligents dans l’univers (à part nous) ?
P(au moins une galaxie a des êtres intelligents) ≥ 0,9  1  (1  p)10 ≥ 0,9 (1  p)10  0,1  1-p≤ (0,1)1/10 . Il suffit que p
≥ 1  (0,1)
(1/1011)
11
11
11
, très petit. Donc même si p est minuscule, il est fort probable qu’il y ait des êtres intelligents ailleurs.
3.29 Une main de poker de 5 cartes est tirée d’un jeu de 52 cartes. Déterminez les probabilités suivantes (les réponses
exactes présentés sous forme fractionnaire ont été déterminés à l’aide d’un logiciel. N’essayez pas de les
reproduire).
  = 1/649740.
 
4
1
Quinte royale (ex. As Roi Reine Valet 10, toutes de trèfle).
52
5
Quinte couleur (5 consécutives, même couleur. Ex. 5,6,7,8,9, toutes de coeur).
40 =1/64974 [ 36 = 3/216580 si on exclut la quinte royale]
52
52
 
5
 
5
2  132 
Carré (ex. 3 3 3 3 5).
13
2
4
3
4
2
52
5
Couleur (5 cartes distinctes mais de même couleur. Ex. 8 3 4 Reine Valet, toutes de coeur).
10(45 )  40
Quinte (5 consécutives, couleurs mixtes).
MAT1085.03.Sols.A12
=1/4165
 
2    
= 6/4165.
 
4 
= 33/16660.
 
52
5
Plein (ex. 3 3 3 Roi Roi).
4
 
52
5
5
13
5
52
5
= 5/1274, excluant la quinte royale et la quinte couleur)
25 octobre 2012
MAT1085 Chapitre 2 Probabilités 6
3  133  34  14  14 
Brelan (ex. 5 5 5 3 2) .
 
     
 
4    4
 
52
5
13
3
Deux paires (ex. 4 4 8 8 2) .
3
2
4
2
4
2
4
1
= 198/4165.
52
5
13
4
Une paire (ex. 2 2 4 6 8).
4
2
= 88/4165.
3
= 352/833.
52
5
3.30 On effectue n tirages sans remise dans une population dont les éléments sont {1, 2, ... , N}, n ≤ N. Montrez que la
probabilité qu’au ie tirage (i = 1, 2, ... , ou n) on obtienne l’unité u  {1, 2, ... , N} est 1/N ?
 
L’espace échantillon est de cardinalité nN n ! lorsqu’on tient compte de l’ordre de sélection. Le nombre d’éléments (quintuplés ordonnés)
 
 
N 1
n 1 (n 1)!
n
N

1
(
n

1)!
dont la i position est occupée par u n 1
. La probabilité est donc
.

N
N n!
n
 
e
3.31 Les 18 volumes d'une encyclopédie sont rangés sur une tablette. Quelle est la probabilité qu'ils soient rangés dans
le bon ordre ?
1/18!
3.32 Vous allez inviter 5 personnes choisies parmi vos 11 amis. De combien de façons pouvez-vous faire votre choix a)
si Pierre et Pierrette ne viendraient pas l'un sans l'autre  93    95  = 210 ; b) si Luc et Luce se haïssent, et l'un ne
     =378.
viendra pas si l'autre vient ?
11
5
9
3
3.33 Dans une loterie américaine destinée à choisir les jeunes gens qui pourraient éventuellement être appelés au
service militaire durant la guerre du Vietnam, on tirait au hasard (sans remise) 180 jours parmi les 366 de l'année.
Quelle est la probabilité que les 180 billets soient distribués uniformément sur les 12 mois, c'est-à-dire, qu'il y en
        =1,667294720/10  1/599 773 986.
31
15
ait 15 dans chaque mois ?
7
30
15
4
29
15
366
180
9
3.34 Vous avez besoin de 4 oeufs pour faire une omelette. Vous trouvez 12 oeufs dans votre réfrigérateur, mais vous ne
réalisez pas que deux des oeufs sont gâtés. Quelle est la probabilité que votre omelette contienne
La cardinalité de  est le nombre de façons de choisir les 4 œufs, soit
a) un oeuf gâté ?
Nombre de façons de choisir un œuf gâté et 3 bons:
12  103  .
La probabilité est donc
 22  102  .
12
4
   = 16/33 =0,484848485.
 
b) deux oeufs gâtés ?
Nombre de façons de choisir 2 œufs gâtés et 2 œufs bons:
 
La probabilité est donc
2
1
10
3
12
4
   =1/11 = 0,090909091.
 
2
2
10
2
12
4
3.35 Au numéro précédent, supposons que vous faites votre omelette, vous réalisez qu'il y a au moins un oeuf gâté
dedans.
a) Quelle est la probabilité conditionnelle que les deux oeufs gâtés soient dans la poêle ?
Soit A l'événement «Au moins un œuf gâté dans l'omelette» et B : «les 2 œufs sont gâtés». P(B|A) = P(AB)/P(A). Or BA, Donc AB= B
et alors P(B|A) = P(AB)/P(A) = P(B)/P(A). P(A) = 1-P(Ac) = 1-P(aucun œuf n'est gâté) = 1
 .
 
10
4
12
4
   . Donc P(B|A) =
 
   = 0,09143834289.
  
2
2
P(B) =
12
4
2
2
12
4
10
2
10
2
10
4
b) Vous décidez de recommencer : vous prenez 4 autres oeufs parmi les 8 qui restent. Quelle est la probabilité
que votre deuxième omelette soit bonne (pas d’œufs gâtés) ?
Soit C : «la 2e omelette est bonne». On cherche P(C|A). Maintenant, A = A1A2, où A1 et A2 signifie «la première omelette contient 1 œuf
gâté» et «la première omelette contient 2 œufs gâtés», respectivement; et A1A2 = . Alors AC = (A1C)(A2C) et P(AC) =
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25 octobre 2012
MAT1085 Chapitre 2 Probabilités 7
P(A1C)+P(A2C) . P(A1C) = P(A1)P(C|A1) =
12  103   74  .
124   84 
De même, P(A2C) = P(A2)P(C|A2) =
 22  102   84  . Alors P(C|A) =
124   84 
P(A  C) P(A1  C)+P(A 2  C)
=
= 11/19 = 0,5789473684
P(A)
P(A)
3.36 Dans une population, les génotypes AA, Aa et aa sont distribués selon les proportions 0,16 ; 0,48 ; 0,36. Les
génotypes AA et Aa donnent lieu au type sanguin « rhésus positif » et le génotype aa donne lieu au phénotype
«rhésus négatif». Une femme de type négatif donne naissance à un enfant de paternité incertaine : le père pourrait
être Paul, qui est de type positif ; ou Pierre, de type négatif. A priori, chacun a probabilité 1/2 d'être le père.
Sachant que le fils est négatif, quelle est la probabilité que son père soit Pierre ?
Soit B : « Le père est Pierre » et N : « Le fils est négatif ». P(B|N) = P(BN)/P(N) P(BN) = P(B)P(N|B) = (1/2)(1) ;
P(N)=P(NB)+P(NBc) = P(B)P(N|B)+P(Bc)P(N|Bc) = (1/2)(1)+(1/2)(3/8) = 8/11.
3.37 Dans une population, les génotypes AA, Aa et aa sont distribués selon les proportions p1 :2p2 :p3, où p1+2p2+ p3 =
1. Montrer que si deux parents sont choisis au hasard dans la population, les probabilités que leur enfant soit des
types AA, Aa et aa sont, respectivement, r1, 2r2, et r3, où r1 = (p1+p2)2, r2 = (p1+p2)(p2+p3) et r3 = (p2+p3)2. Si on
suppose maintenant que la nouvelle génération est distribuée selon les proportions r1 :2r2 :r3, montrer que les
probabilités pour un enfant issu de l’union de deux parents tirées au hasard dans la population restent r1, 2r2, et r3.
Progéniture
Probabiltés conditionnelles étant donné les génotypes des parents
Parents
AA, AA
Prob
p
AA
1
Aa
0
aa
0
As, Aa
4 p22
1/4
1/2
1/4
aa, aa
AA, Aa
AA, aa
Aa, aa
q22
0
1/2
0
0
0
1/2
1
1/2
1
0
0
1/2
p  4 p 1  4 p1 p2 1
4
2
4 p22 1  4 p1 p2 1 +
2
2
2 p1 p3 (1)  4 p2 p3 1
2
4 p22 1  p32 (1)  4 p2 p3 1
4
2
Probabilités
conditionnelles
2
1
4p1p2
2p1q2
4p2q2
2
1
2
2
On simplifie les probabilités :
1  4 p p 1 = p2  p2  2 p p = (p +p )2
1
2
1
2
1 2
1 2
4
2
1
1
1
P(Aa) = 4 p22  4 p1 p2  2 p1 p3 (1)  4 p2 p3 = 2( p22  p1 p2  p1 p3  p2 p3 ) = 2(p1+p2)(p1+p3)
2
2
2
1
2
2
2 1
2
P(aa) = 4 p1  p3 (1)  4 p2 p3 = p2  p3  2 p2 p3 = (p2+p3)2.
4
2
P(AA) = p12  4 p22
Exercices théoriques
3.38 Démontrez à partir des axiomes que P() = 0.
3.39 Démontrez à partir des axiomes que P(A) ≤ 1 pour tout événement A  
3.40 Démontrez à partir des axiomes, et des numéros précédents s’il y a lieu, que P(Ac) = 1 - P(A)
3.41 Démontrez à partir des axiomes, et des numéros précédents s’il y a lieu, que P(A - B) = P(A) - P(AB). Déduisez
que si B  A, alors P(A - B) = P(A) - P(B).
3.42 Démontrez à partir des axiomes, et des numéros précédents s’il y a lieu, que P(A) = P(APc
3.43 Démontrez à partir des axiomes, et des numéros précédents s’il y a lieu, que P(AB) = P(A) + P(B)-P(AB)
3.44 Montrez que P(A B) ≥ P(A) + P(B )  1.
3.45 Démontrer que
P(A B C)  P(A) + P(B) + P(C)  P(AB)  P(AC)  P(B C) + P(AB C).
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MAT1085 Chapitre 2 Probabilités 8
3.46 Soit A et B deux événements de probabilité non nulle. Montrez que P(AB) = P (A) P (B)  P (A|B) = P(A) 
P(A|B) = P(A|Bc).
 k   nnk  , et donnez-en une interprétation combinatoire.
Vérifiez la propriété  nk    nk 11    n1  , et donnez-en une interprétation combinatoire.
k
Développez le deuxième terme à droite de l’identité  nk    nk 11    n1  pour montrer que  nk 
k
n1
n2
n2
 k 1    k 1    k  . En appliquant la même règle successivement, montrez que  nk 
 nk 11    nk 12   ...   kk 11  = in1k 1 nk 1i  .
3.47 Vérifiez la propriété n 
3.48
3.49
=
=
3.50 Présentez un argument de nature combinatoire justifiant le développement du binôme de Newton :



 

(a + b)n = 0n a0bn  1n a1bn1  n2 a 2bn2  ...  nn1 a n1b1  nn a nb0
3.51 Démontrez la propriété suivante et donnez-en une interprétation combinatoire :
 mkn    0m  nk    m1  kn1    m2  kn2  ...  km2  n2    km1  1n    mk  0n 
[Dans ce développement, nous adoptons la convention que  nk  = 0 si k > n. Donc certains des termes ci-dessus
peuvent disparaître. Pour faire la démonstration, notez que le coefficient de x dans (1+x)
est  m n  ; ensuite,
k
k
trouvez une deuxième expression pour le coefficient de xk en développant le produit
   
 
 
m+n

m m  n 0
(1+x)m(1+x)n =  0m x0  1m x1  ...  m
x
x  1n x1  ...  nn x n 

  0

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