1 - Qu`est-ce qu`un système formel ? 2

LES SYSTEMES FORMELS
1 - Qu'est-ce qu'un système formel ?
Un système formel est un quadruplet S = ( A, γ, Ax, R) où :
1 - A est un ensemble fini de symboles, appelé alphabet,
2 - γ est un procédé de construction de mots,
3 – Ax est un ensemble fini ou dénombrable de mots particuliers appelés axiomes,
4 – R est un ensemble fini de règles de déduction de la forme :
{ w1, ..., wk } → { m1, ..., mn } où pour tout i, wi et mi sont des mots.
Remarques :
1- On dit indifféremment règle de déduction, ou de dérivation, ou d'inférence.
2- Il y a deux types de règles d'inférence : les règles de production, qui produisent de nouveaux mots à partir des
mots initiaux, et les règles de réécriture, qui fournissent une nouvelle forme pour le même mot.
2 - Trois exemples.
Le système (G.P.), encore appelé "axiomatique de Peano" :
- alphabet : { x, y, * }
- mots : S1 * S2 où S1 et S2 sont des suites quelconques de symboles x ou y
- un unique axiome : x * x
- une seule règle, qui est une règle de production :
w1 * w2 → y w1 * y w2
où w1, w2 sont des mots
Le système (D.H.) dû à Douglas Hoffstadter :
- alphabet : { M, I, U }
- mots : toute suite de lettres de l'alphabet
- axiome : M I
- règles de déduction :
1- w I → w I U où w est un mot
(production)
2- Mw → M ww
(production)
où w est un mot
3- III → U
(réécriture)
4- UU →
(réécriture)
Le (p q -) système :
- alphabet : { p, q, - }
- mots : suites finies de symboles de l'alphabet
- axiomes : les mots x p - q x - où x est formé uniquement de - une seule règle de déduction (production) :
si x, y et z sont des mots formés uniquement de -,
du mot x p y q z on peut déduire le mot x p y - q z -
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3 - Théorèmes
Définition 1 :Dans un système formel, une preuve (ou démonstration) est une suite finie de mots w1 w2.... wk
où chaque wi :
soit est un axiome,
soit se déduit des wj , j < i par l'une des règles d'inférence.
L'entier k est appelé la longueur de la preuve.
Définition 2 : Un théorème est un mot t tel qu'il existe une démonstration w1 w2....wk
avec t = wk
On note alors | t .
Exemples :
Dans (GP), yyx * yyx est un théorème dont la démonstration est :
x * x, yx * yx, yyx * yyx
Dans (DH),
MIIUIIU est un théorème, de preuve :
MI, MII (par R2), MIIU (par R1), MIIUIIU (par R2).
Dans le (p q -) système, - - - p - - q - - - - - est un théorème de preuve :
---p-q---- , ---p--q----Remarque : Un axiome est un théorème; sa démonstration est de longueur 1.
Nous avons donc : {axiomes} ⊂ {théorèmes} ⊂ {mots} ⊂ {chaînes de l'alphabet}
≠
≠
≠
4 - Décidabilité
Définition : On dira qu'un système formel est décidable lorsqu'il existe une procédure de décision unique qui permet en
un temps fini de décider si un mot quelconque du système est un théorème ou un non-théorème (mot dont on peut
prouver qu'il n'est pas un théorème)
Théorème
Mot du
S.F.
Procédure
de
décision
Non théorème
Réponse en
temps fini
Un système formel qui n'est pas décidable peut être :
- semi-décidable : lorsqu'il existe une procédure qui, si une formule est démontrable, le dira en un temps fini, mais
qu'il n'existe pas de procédure capable de faire la même chose pour tous les non théorèmes.
- indécidable : dans les autres cas.
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5- Procédures de décision
Deux procédures de décision sont particulièrement simples :
1 - Si on peut construire l'ensemble de tous les théorèmes d'un système formel, les mots qui n'appartiennent pas à cet
ensemble sont des non-théorèmes et le système est décidable : pour tout mot, il suffit de vérifier s'il appartient ou non à
l'ensemble des théorèmes.
Exemple 1 :
Tous les théorèmes de (GP) sont de la forme y ... y x * y ... y x
p fois
p fois
Exemple 2 :
Une procédure dérivée : soit m un mot de longueur k d'un système formel S. Si on sait construire de manière
exhaustive tous les théorèmes de longueur inférieure ou égale à k, m est un théorème de S si et seulement s'il est
l'un d'entre eux. Sinon, il est un non-théorème; et le système est décidable.
C'est le cas du (p q -) système ; la procédure est dite "de bas en haut" (ou bottom - up):
Cherchons si - - p - - q - - - est un théorème. C'est un mot de longueur 9.
1. on prend l'axiome le plus simple, - p - q - On lui applique la règle d'inférence, on trouve - p - - q - - - qui est un mot de longueur 8.
On applique de nouveau la règle d'inférence, on trouve - p - - - q - - - - , mot de longueur >9.
2. on prend le 2ème plus simple axiome, - - p - q - - On lui applique la règle d'inférence, on trouve - - p - - q - - - - qui est un mot de longueur >9.
3. on prend le 3ème plus simple axiome, - - - p - q - - - - ; il est déjà de longueur >9.
Le mot - - p - - q - - - est donc un non-théorème.
Remarque : Tout système formel dont les règles allongent les mots est décidable.
La procédure de décision précédente le prouve.
2 - Procédure dite "de haut en bas" ou (top - down):
un mot étant donné, on regarde si c'est un axiome (donc un théorème); si non, on réduit sa longueur en utilisant une
règle d'inférence. On itère le procédé jusqu'à obtenir :
• soit un axiome : dans ce cas, le mot initial était un théorème
• soit un mot dont la longueur ne peut plus être réduite et qui n'est pas un axiome : le mot initial était un non théorème.
Quoique simples et fiables, ces procédures ne sont pas forcément rapides. Il se peut même qu'elles ne permettent pas
d'atteindre une réponse :
Exemple :
le MU-Puzzle (Douglas Hofstadter)
En cherchant si le système (DH) est décidable, supposons que nous voulions tester si le mot MU est un théorème.
Comme deux des règles de (DH) raccourcissent les mots auxquels elles s'appliquent, on ne peut pas conclure en
appliquant la remarque précédente. Il reste la possibilité de construire l'arbre de dérivation du système, c'est-à-dire
de produire tous les théorèmes de (DH) en appliquant de toutes les manières possibles les règles d'inférence à partir
de l'axiome MI. Si l'on trouve MU, on dira alors qu'il est un théorème. Si on ne le trouve jamais, ce ne sera pas un
théorème.
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Cette conclusion est insatisfaisante à deux titres : comment être sûr qu'on n'obtiendra jamais MU ? ne peut-on pas
toujours se dire qu'on l'obtiendra un peu plus tard? Et si MU n'est pas un théorème, ce n'est pas forcément un non
théorème. On ne peut donc pas conclure quant à la décidabilité de (DH).
Deux notions peuvent conduire à des techniques plus efficaces, celles d'interprétation et de méta-raisonnement.
6 - Interprétation
Exemple :
Dans le (p q -) système, on peut observer qu'une chaîne de symboles est un théorème si et seulement si les 2
premiers groupes de - ont des cardinaux dont la somme est le nombre de - du 3ème groupe. On peut même faire
mieux qu'"observer" : on peut le démontrer par récurrence sur la longueur des théorèmes (exercice).
Ceci donne l'idée d'interpréter - - p - - - q - - - - -
en :
2 plus 3 égale 5.
On remarquera qu'une interprétation est rarement unique : 2 égale 3 ôté de 5 est une autre idée.
Plus généralement :
Une interprétation d'un système formel S = ( A, γ, Ax, R)
est le choix d'un univers U de domaine D (D est un
ensemble d'objets appartenant à U) et d'une application I : S → U
qui associe :
à chaque symbole de A
un élément de D
au procédé de construction de mots γ
un procédé de construction d'énoncés de U
à chaque axiome de Ax
un énoncé vrai de U
à chaque règle d'inférence de R
un mode de déduction dans U
Les théorèmes du système formel S deviennent des énoncés de U qu'on juge VRAIS ou FAUX dans l'interprétation (ou
privés de sens).
U
SF
x
x
Procédé de
Procédé de
Construction de
construction
mots
d'énoncés
I
axiome
Enoncé vrai
Règle
Règle
d’inférence
d’inférence
théorèmes
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énoncés
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7 - Preuve et Vérité
Les concepts de Preuve et de Vérité appartiennent à des univers différents.
Les notions de vérité et de fausseté sont absentes des systèmes formels.
Dans un système formel, un mot peut être prouvé par une démonstration. C'est alors un théorème.
Lorsqu'on donne une interprétation du système formel, les mots deviennent des énoncés qui peuvent être vrais, ou faux,
ou privés de sens.
Quel lien y a-t-il entre preuve et vérité ?
Tout est possible !
Exemple 1 :
Dans le (p q -) système interprété dans l'ensemble des entiers positifs ou nuls où p représente + , q représente = et
où une suite de n – représente l'entier n, les axiomes deviennent effectivement des énoncés vrais, les règles
d'inférence se traduisent par des déductions correctes (par exemple : si 2 + 3 = 5 alors 2 + 4 = 6) et les théorèmes
sont exactement les énoncés vrais de la forme a + b = c.
Exemple 2 :
|
Dans (GP), nous avons vu que les théorèmes sont:
y ... y x * y ... y x
p fois
On introduit ce qu'on appelle une métanotation
|
p fois
p
p
y x * y x (c'est-à-dire une notation issue d'un autre contexte
que celui du système formel dans lequel on travaille).
w1 * w2 est donc un théorème
SSI
p
w1 s'écrit y x et w2 aussi
Sinon, w1 * w2 est un non-théorème.
• Première interprétation de (GP) :
Domaine: N ,
x:0,
*:= ,
y : successeur de .
L'axiome est 0 = 0 (vrai!)
Les théorèmes sont p = p
pour tout p ∈ N (énoncés vrais).
De plus, les énoncés faux sont exactement les interprétations des non-théorèmes.
bonne interprétation, correspondance parfaite entre:
théorèmes et énoncés vrais
non-théorèmes et énoncés faux
• Deuxième interprétation de (GP)
Domaine : Langue française ,
x : "Socrate est mortel", * : identité de deux phrases , y : négation
L'axiome s'interprète comme un énoncé vrai, les théorèmes aussi.
Mais le non-théorème y y x * x s'interprète en un énoncé vrai.
La classe des non-théorèmes qui deviennent des énoncés vrais est non vide;
cependant, tout énoncé vrai est l'interprétation d'un théorème (mais aussi, en plus, de non théorèmes).
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Exemple 3 :
"Pour tout entier n supérieur à 2, l'équation en nombres entiers xn + yn = zn n'a pas de solution"
( Fermat )
Ce résultat est :
• VRAI avec l'interprétation commune des symboles arithmétiques.
• INDEMONTRABLE dans l'axiomatisation de l'arithmétique ; mais ce n'est pas non plus un non théorème.
L'axiomatique de l'arithmétique est donc au mieux semi-décidable (puisqu'il existe des phrases
indémontrables)
et il existe des énoncés vrais qui ne sont pas issus de théorèmes. Cela ne rend pas pour autant
l'axiomatique sans intérêt ; cet intérêt a simplement ses limites.
Quelques définitions:
On appelle tautologie tout mot d'un système formel qui se traduit par un énoncé vrai dans toutes les interprétations du
système formel.
Un système formel dans lequel tout théorème est une tautologie est dit correct.
Un système formel dans lequel toute tautologie est un théorème est dit complet.
Un système est dit consistant lorsqu'il existe une interprétation transformant tout théorème en énoncé vrai. Cette
interprétation est appelée modèle.
Remarque : un système correct est consistant.
8 – Méta-raisonnement
Jusqu'ici, pour voir si un mot du système formel S est un théorème ou non, on a cherché une démonstration dans S ou
une procédure que l'on déroule à l'intérieur du système S afin de conclure. On raisonne dans le système formel.
Effectuer un méta-raisonnement, c'est raisonner sur le système formel afin d'en trouver les propriétés ou de gagner en
efficacité pour les démonstrations.
Exemple :
le MU-Puzzle.
Nous avons vu que la construction de l'arbre de dérivation pouvait conduire à une recherche sans fin de la réponse.
Le préfixe "méta" (du grec µετα : au-dessus de)
• on a déjà introduit les méta-notations.
• on dit parfois que l'on travaille à un méta-niveau pour dire "à un niveau d'abstraction supérieur"; on aura des
exemples de cela dans la suite.
• il arrive que l'on définisse une méta-théorie, c'est-à-dire une théorie qui englobe la théorie actuelle et permette
d'élargir le champ des raisonnements.
• on parle enfin de méta-raisonnement lorsque l'on choisit de raisonner sur un système formel (et non dedans), par
exemple pour aboutir (plus rapidement) à une preuve, pour démontrer qu'un mot n'est pas démontrable, pour étudier
le système formel et établir certaines de ses propriétés.
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LOGIQUE PROPOSITIONNELLE
1 - Naissance de la Logique des Propositions
Historique rapide
La Logique des Propositions est née de la volonté de modéliser ce qu'on appelle "un raisonnement logique", c'est-à-dire,
• essentiellement déductif
pour simplifier, un raisonnement
et
• sans ambiguïté.
On admet classiquement qu'un tel raisonnement est fondé sur les 3 principes d'Aristote:
• identité
(une phrase est identique à elle-même)
• tiers exclu (une phrase est vraie ou fausse; il n'y a pas d'autre possibilité)
• non-contradiction
(on ne peut pas démontrer un énoncé et son contraire).
Le processus qui fait passer de l'observation du raisonnement logique au système formel de logique des propositions
peut être décrit en trois étapes.
1ère étape : Description du « raisonnement logique »
Il s'agit de mettre en évidence les outils qui permettent de décrire complètement un raisonnement logique et les
conditions de sa validation.
! Les symboles et opérateurs de base (ce qui permet d'exprimer sur quoi on raisonne)
par exemple :
- non, et, ou, implique,...
- symboles représentatifs de ‘vrai’ et ‘faux’
- symboles représentant des énoncés,
- symboles permettant de séparer des énoncés
! Les règles de fonctionnement (ce qui permet de décrire comment on raisonne)
par exemple :
- si A et B sont vrais, alors (A et B) est vrai
- nier 2 fois A revient à n’appliquer aucun opérateur
...
- la manière de construire un énoncé complexe à partir d’énoncés élémentaires
- les mécanismes de déduction
...
! La validation des raisonnements repose ici sur le SENS des énoncés.
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2ème étape : Description d’un modèle sémantique
Il s'agit de décrire une famille de symboles et de mécanismes de déduction qui permettent de reproduire tous les
raisonnements logiques au sens précédent indépendamment du sens des énoncés.
* On garde les notions de "vrai" et "faux"
MAIS
* On ne prend plus en compte le SENS des énoncés.
! Dans le modèle sémantique, un raisonnement sera valide lorsque partant d'hypothèses vraies il
conduira à des conclusions vraies.
On doit à Leibniz (1646 - 1716) et Frege (1848 - 1925) les premiers modèles sémantiques déductifs COMPLETS (i.e.
dans lesquels tout énoncé vrai est démontrable) et NON-CONTRADICTOIRES (i.e. dans lesquels il est impossible de
démontrer à la fois un énoncé et sa négation ) :
Les symboles et opérateurs de base
. vrai 1, faux 0
. énoncés élémentaires
. connecteurs :
∧ conjonction
∨ disjonction

négation
⊃ implication
. séparateurs :
( ) ou , ou [ ]
etc...
Les mécanismes de déduction (qui permettent de déduire des énoncés VRAIS à partir d'autres énoncés VRAIS
pour faire une théorie COMPLETE ) sont au nombre de 8 :
(R1) Si x et y sont vrais
alors x ∧ y est vrai
(R2) Si x ∧ y est vrai
alors x est vrai et y est vrai
(R3) Si x est vrai et x ⊃ y est vrai
alors y est vrai
(R4) x et   x sont interchangeables
(R5) x ⊃ y et  y ⊃  x
sont interchangeables
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R6) x ∧ y et  (x ∨ y)
sont interchangeables
(R7) x ∨ y et  x ⊃ y
sont interchangeables
(R8) si en partant de x on peut déduire y par les règles R1, R2, ..., R7
alors x ⊃ y est VRAI
Tables de Vérité
Pour chaque connecteur, on est capable de construire une TABLE DE VERITE qui en exprime le comportement :
Exemples :
A et B représentent des énoncés.
D'après (R1) et (R2), on peut établir la table de vérité de A ∧ B
B
Vrai
Faux
Vrai
V
F
Faux
F
F
A
Sachant que A est différent de A, la règle (R4) permet de faire la table de vérité de A :
A
A
V
F
F
V
Ayant ces tables de vérité pour la négation et la conjonction, la règle (R6) permet d'établir celle de la disjonction AvB:
B
Vrai
Faux
Vrai
V
V
Faux
V
F
A
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3ème étape : Etablir un système formel
dans lequel les théorèmes soient exactement les abstractions (*) des énoncés vrais dans le modèle sémantique
précédent.
(*) En effet, un système formel est un système syntaxique. Il ne prend en compte:- ni le sens des mots,
- ni le fait qu’ils soient vrais ou faux.
On doit donc faire une abstraction pour passer à un système formel:
* éliminer les notions de vérité et de fausseté
(et donc les symboles « vrai » et « faux » et la possibilité de faire et d’utiliser des tables de vérité)
* mettre au point un ensemble de règles d'inférence et d'axiomes qui permette de démontrer comme théorèmes du
S.F. exactement les correspondants des énoncés vrais obtenus par les règles R1 à R8 dans le modèle sémantique.
! Ici un raisonnement sera valide s’il est une preuve (ou demonstration) au sens du chapitre 1.
Le premier système formel répondant à cette attente est dû à Whitehead et Russel (1910).
Il a pour symboles : les énoncés,  , ⊃ , des séparateurs.
Il a 4 axiomes
et une seule règle d’inférence : MODUS PONENS
de (a et a ⊃ b) on peut déduire b
(a et a ⊃ b) → b
De nombreux autres systèmes formels, équivalents, ont été proposés par la suite (systèmes de Lukasiewicz ; de
Shaeffer ; système booléen). Celui-ci reste cependant, dans une version optimisée avec 3 axiomes, le plus utilisé
actuellement pour la Logique des Propositions, sous le nom de (LP).
2 - LE SYSTEME FORMEL (LP)
2-1- Définition :
alphabet :
lettres propositionnelles
connecteurs :  et ⊃
parenthèses : ( et )
mots :
lettres propositionnelles
si w est un mot, (w) est un mot et  w est un mot
si w1, w2 sont des mots, w1 ⊃ w2 aussi.
axiomes :
a1 - ( w1 ⊃ (w2 ⊃ w1) )
a2 - (( w1 ⊃ (w2 ⊃ w3)) ⊃ ((w1⊃ w2) ⊃ (w1⊃ w3)))
a3 - ( ( w2 ⊃  w1) ⊃ (w1 ⊃ w2) )
dérivation : règle de détachement ou modus ponens :
si w1 et w2 sont des mots, alors (w1) et (w1 ⊃ w2) → w2.
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2-2 Remarques
1 - Les symboles  et ⊃ suffisent puisque :
A∨B ≡ A⊃B
où ≡ signifie "équivalent à"
A ∧ B ≡  (A ⊃ B)
2 - La règle de modus ponens a été choisie parce qu'elle formalise exactement la DÉDUCTION et
3 - Les axiomes introduits sont une base de résultats vrais dans le modèle sémantique et indémontrables sans les
valeurs de vérité au moyen de modus ponens, choisis exactement pour que :
4 - Les théorèmes démontrables dans le système formel correspondent aux déductions valides dans le modèle
sémantique.
2-3- Enrichissement de (LP)
1 - On introduit de nouveaux symboles pour simplifier l'écriture :
x ∧ y
donné par
 (x ⊃  y)
x ∨ y
"
"
 ( x ∧  y)
x ≡ y
"
"
(x ⊃ y) ∧ (y ⊃ x)
2 - On démontre des théorèmes de manière à créer de nouvelles règles de déduction qui rendront les démonstrations
plus rapides.
Par exemple : ( P ⊃ (Q ⊃ R) ) → ( Q ⊃ (P ⊃ R) )
ou encore : ( (A ⊃ B) ∧ (B ⊃ C) ) → (A ⊃ C)
3 - On formalise d'autres principes de démonstration pour ne pas avoir à en redémontrer la validité à chaque utilisation.
Par exemple : le raisonnement par l'absurde
Exemple 1 :
Supposons donné un théorème  (P⊃(Q⊃R)).
Nous voulons démontrer
 (Q⊃(P⊃R)).
 (P⊃(Q⊃R))
et
(a2)
((P⊃(Q⊃R)) ⊃ ((P⊃Q) ⊃ (P⊃R))
donnent par modus ponens  ((P⊃Q) ⊃ (P⊃R))
(t1)
Avec (a1) : ((P⊃Q) ⊃ (P⊃R)) ⊃ (S⊃ ((P⊃Q) ⊃ (P⊃R)))
(t1) donne, par modus ponens,
Avec (a2) :
(t2)
(S⊃ ((P⊃Q)⊃(P⊃R))) ⊃ ((S⊃(P⊃Q)) ⊃ (S⊃(P⊃R))))
(t2) donne, par modus ponens,
Avec (a1) :
 (S⊃ ((P⊃Q) ⊃ (P⊃R)))
 ((S⊃(P⊃Q)) ⊃ (S⊃(P⊃R)))
(t3)
(Q⊃(P⊃Q))
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et en réécrivant (t3) sous la forme :  ((Q⊃(P⊃Q)) ⊃ (Q⊃(P⊃R)))
modus ponens donne  (Q⊃(P⊃R)).
"
D'où la nouvelle règle : ( P ⊃ (Q ⊃ R) ) → ( Q ⊃ (P ⊃ R) )
Exemple 2 :
Soient 2 théorèmes de la forme
| A ⊃ B
et
B ⊃C .
(a1) permet d'écrire
Comme
| (B ⊃ C) ⊃ (A ⊃ (B ⊃ C))
modus ponens donne
| ( A ⊃ (B ⊃ C) )
(a2) permet d'écrire
Comme
|
(A ⊃ (B ⊃ C)) ⊃ ( (A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C) )
modus ponens donne
|
( (A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C) )
Finalement :
|
( (A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C) )
|
(A ⊃ C) par modus ponens
et
|
| B ⊃ C
|
( A ⊃ (B ⊃ C) )
(A ⊃ B)
donnent
D'où la nouvelle règle : ( (A ⊃ B) ∧ (B ⊃ C) ) → (A ⊃ C)
Exemple 3 :
Le raisonnement par l'absurde.
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3 - Où en est-on ?
Le processus historique de construction peut être schématisé ainsi :
Description du raisonnement logique usuel
Interprétation 1
Abstraction 1
(ajout du sens)
Modèle Sémantique
Interprétation 2
Abstraction 2
(ajout des valeurs de vérité)
Système formel (LP)
4 - Le premier théorème de GÖDEL (1930)
Nous avons vu la notion générale d'interprétation d'un système formel.
Comment se traduit-elle dans le cas de (LP)?
Nous voyons sur le schéma ci-dessus qu'il y a deux "interprétations" successives pour passer de (LP) à l'Univers du
raisonnement réel :
• dans un premier temps, on passe au modèle sémantique par un processus qui revient exactement à la construction
d'une interprétation au sens du chapitre 1,
• dans un deuxième temps, les mots prennent un sens; cela correspond à un plongement du modèle sémantique
dans un univers choisi, aucune construction nouvelle n'intervient.
D'où la définition : Une INTERPRETATION de (LP) est une application
ϕ : { mots de (LP) } → {0,1} vérifiant :
ϕ ( P) = 1 - ϕ (P)
ϕ (P ⊃ Q) = 0
ssi
ϕ (P) = 1 et ϕ (Q) = 0
Rappel : On dit qu'un mot w de (LP) est une tautologie lorsque ϕ (w) = 1
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pour toute interprétation ϕ de (LP).
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THEOREME DE GÖDEL
Un mot w de (LP) est un théorème si et seulement si w est une tautologie.
Autrement dit : Pour qu'un mot de (LP) soit un théorème, il faut et il suffit qu'il prenne la valeur de vérité 1 quelles que
soient les valeurs prises par les variables propositionnelles qu'il contient dans le modèle sémantique de (LP).
Ce théorème est essentiel :
• il permet de démontrer qu'un mot de (LP) est un théorème de manière extrêmement simple : en construisant une
table de vérité.
• il donne aussi un exemple de meta-raisonnement : au lieu de démontrer qu'un mot de (LP) est un théorème par
modus ponens, on étudie son comportement dans le modèle sémantique.
• il montre que (LP) est un système :
décidable
complet et correct
non-contradictoire (pour aucune formule ϕ on ne peut démontrer à la fois ϕ et ¬ϕ)
et donc consistant.
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LOGIQUE DES PREDICATS
1 - Les lacunes de la logique des propositions pour formaliser les raisonnements
Dans (LP) les lettres propositionnelles représentent des énoncés qui seront interprétés comme VRAIS ou FAUX.
Par exemple :
(E1)
pour tout X , sin (90-X) = cos X
De même :
(E2)
sin (90-X) = cos X
(E3)
il existe X tel que sin (90-X) = cos X
Mais on n'a aucun moyen dans (LP)
de voir que (E2) est un sous-énoncé de (E1) et de (E3)
ou d'exprimer que (E1) implique (E3)
ce qui est une lacune importante :
savoir que : "pour tout X, P(X)" implique "il existe X, P(X)"
est un ressort important du raisonnement mathématique
par exemple.
On ne sait pas non plus formaliser dans (LP) un raisonnement qui conduirait à trouver les valeurs de X pour lesquelles
sin (90-X) = cos X
est VRAI (ou FAUX).
Parce qu'on ne peut pas représenter sin (90-X) ou cos X ou 90 ou X ou l'égalité de manière spécifique.
Il est nécessaire d'avoir un système formel dans lequel on puisse représenter de manière différente des objets
de nature différente afin de pouvoir formaliser les raisonnements qui portent sur des objets (et pas seulement
ceux qui portent sur des énoncés).
De même, si on veut formaliser le syllogisme :
Tous les hommes sont mortels,
(et)Socrate est un homme
(donc)
Socrate est mortel
on va obtenir (A Ù B) É C
et le syllogisme :
Tous les canards sont jaunes,
(et)Donald est un canard
(donc)
Donald est jaune
va être formalisé en (D Ù E) É F sans moyen de reconnaître qu'il s'agit de la même forme de raisonnement.
Il apparaît donc que dans (LP) on peut modéliser des raisonnements, mais pas des MODES DE
RAISONNEMENT.
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2 - Un modèle plus précis que la logique des propositions.
On introduit les notions de
quantificateur, fonction, prédicat, variable, constante,
ce qui a pour effet de plonger la logique des propositions dans une logique plus riche :
la logique des prédicats,
où on distinguera plusieurs sortes de mots :
les TERMES : constantes, variables et mots de la forme :
f(x1, ..., xk)
où f est une fonction et
x1, ..., xk sont des termes.
les PROPOSITIONS sont de la forme :
p(x1, ..., xn)
où p est un prédicat et
x1, ..., xp sont des termes.
les FORMULES :termes, propositions sont des formules ;
si A et B sont des formules, c'est aussi le cas de (A) , ù A , A Ù B , A v B , A É B , (" X) A, ($ X) B , etc...
les SENTENCES ou formules CLOSES c'est-à-dire sans VARIABLE LIBRE.
Quelques définitions et propriétés :
variable libre : variable non quantifiée. Une variable quantifiée est dite liée
exemple : dans
( $x) ( A(x) É B(y) ) , y est libre, x est liée
quantificateur : existentiel
universel
variable
: peut être quantifiée
constante : ne peut pas être quantifiée
fonction
: a pour arguments des termes et pour image des VALEURS (constantes ou variables).
prédicat
: a pour arguments des termes et pour image des VALEURS DE VERITE (vrai ou faux).
Exemple 1 :
(" x) ( sin (90-x) = cos x )
" : quantificateur
x : variable
90 : constante
sin , - , cos : fonctions
= : prédicat
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Exemple 2 : Un syllogisme bien connu :
Les hommes sont mortels
Socrate est un homme
donc Socrate est mortel
De façon plus lourde, mais plus précise :
On sait que
si x est un homme, alors x est mortel
(implicitement : pour tout x, si x est un homme, alors x est mortel)
et on sait que
Socrate est un homme.
On peut donc conclure que
Socrate est mortel.
(x est ici une variable qui peut prendre toutes sortes de valeurs particulières constantes, comme par
exemple : Socrate).
On peut donc formaliser le syllogisme en :
("x) [ homme (x) É mortel (x) ]
et
homme (Socrate)
donc
mortel (Socrate)
où : "homme", "mortel" apparaissent comme des prédicats, x est une variable quantifiée ou liée,
"pour tout" est un quantificateur.
3 - Le système formel (LPP) de la logique des prédicats
alphabet : constantes a b .... x y ....
variables A B .... X Y ....
fonctions f , g , H , K ....
prédicats p , q , R , S ....
connecteurs ù, É
quantificateur "
séparateurs ( , )
mots:
les formules bien formées : termes, propositions, formules, sentences
axiomes :
a1 - ( w1 É (w2 É w1) )
a2 - (( w1 É (w2 É w3)) É ((w1 É w2) É (w1 É w3)))
a3 - ( ( ùw2 É ùw1) É (w1 É w2) )
a4 - ( ("X) G(X) ) É G(U)
"particularisation"
a5 - ( ("X) (w1 É w2) ) É ( w1 É ("X) w2 )
à condition que X ne figure pas comme variable libre dans w1
règles d'inférence :
modus ponens ( m1 et ( m1 É m2 ) ) ----> m2
généralisation m1 ----> ( "X) m1 , à condition que X soit variable libre dans m1.
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Enrichissement de (LPP)
Connecteurs
Ù
, V , º , ...
définis comme dans (LP)
Quantificateur $
défini par ( $ X) p (X) º ù ( ("X) ù p (X) )
Règle "modus tollens"
W1
---->
ù W2
W2 É W1
4 - Interprétations de (LPP)
Interpréter le système formel (LPP) c'est définir un domaine D dans lequel variables et constantes prendront leurs
valeurs et sur lequel seront définies des opérations : fonctions et prédicats, que l'on fera correspondre à ceux de (LPP).
Remarque :
Les connecteurs sont toujours interprétés de la même manière (Ù : et, v : ou, ...) les quantificateurs $, " aussi.
Premier théorème de Gödel "revisité":
Les théorèmes de (LPP) sont exactement les formules logiquement valides.
r démonstration identique à la démonstration dans (LP) s
Définition : Une formule est LOGIQUEMENT VALIDE si, et seulement si, elle est vraie dans toutes les interprétations
Remarque : Logiquement valide est synonyme de tautologie
Exemple :
("X)(G(X,a)ÉG(X,a))
où G est un prédicat, X une variable, a une constante
Contre-exemple : ("X) ( $ Y) ( $ Z) (=(X,*(Y,Z))
ce qui se lit :
où = est un prédicat et * une fonction,
("X) ($Y) ($Z) (X = Y*Z)
et peut s'interpréter :
- en un résultat vrai si = est interprété "égale" et * est interprété "multiplié par " dans N :
tout x s'écrit x * 1;
- en un résultat faux si = est interprété "égale" et * est interprété "multiplié par" dans N privé de 1:
un nombre premier x ne peut pas s'écrire y * z .
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5 - Décidabilité de (LPP)
théorème
?
Mot de
(LPP)
formule non-valide
formule satisfiable
formule insatisfiable
Une formule qui n'est pas logiquement valide peut être :
non-valide s'il existe une interprétation dans laquelle elle est fausse.
satisfiable s'il existe une interprétation dans laquelle elle est vraie.
insatisfiable (ou contradictoire) si elle est fausse dans toute interprétation.
----> On sait donc DÉCRIRE l'ensemble des non-théorèmes : c'est l'ensemble des formules non valides.
Cependant :
Théorème de Church (1936)
(LPP) n'est pas décidable.
· parce que l'ensemble des théorèmes n'est pas récursivement énumérable s
· parce qu'il existe d'autres sortes de mots : par exemple les paradoxes :
(cf. J.L. Laurière) "Je ne suis pas un théorème"
Néanmoins on montre que (LPP) est semi-décidable :
pour toute formule qui est effectivement un théorème, on possède une procédure finie qui la démontre.
----> DÉDUCTION NATURELLE
Gentzen -1935----> RÉSOLUTION
Robinson - 1960-
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6 - Logiques d'ordre supérieur
Ce que l'on a décrit jusqu'ici représente la première forme de la logique des Prédicats - ou logique du 1er ordre.
Mais...
si on veut dire :
"si deux objets X et Y sont égaux, alors ils ont les mêmes
propriétés"
on doit quantifier un prédicat P qui représente toutes les propriétés :
"P , "X , "Y , (X = Y) É ( P (X) = P (Y) ) ,
ce qui n'est pas possible dans (LPP).
Ä
La logique (des prédicats) du 2ème ordre permet de quantifier prédicats et fonctions.
ò cos X .dX
Si on regarde
ò
Qu'est-ce que
?
Ce n'est ni une constante, ni une variable, ni un prédicat, ni une fonction.
Certains appellent cela : une fonctionnelle.
Ä
Dans la logique du 3ème ordre, on peut quantifier les fonctionnelles.
Ä
par itération : logique d'ordre W
et : l-calcul, l-abstraction (travaux de CHURCH).
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7 - Exemple de démonstration dans le système formel (LPP)
Si D est un prédicat à 2 places :
|¾
("x) ("y) D (x,y) É ("y) ("x) D (x,y)
Rappelons les axiomes de (LPP) :
a3
( W 1 É (W 2 É W 1) )
( W 1 É (W 2 É W 3) ) É ( (W 1 É W 2) É (W 1 É W 3) )
( ù W 2 É ù W 1) É (W 1 É W 2)
a4
((" t) p (t)) É p (u)
a5
(" t) (m1 É m2) É ( m1 É (" t) m2 )
a1
a2
|¾ ("x) ("y) D (x,y)
(a4) donne
É
("y) D (x',y)
en notant "p(x)" l'expression ("y) D (x,y)
|¾ ("y) D (x',y) É D (x',y')
(a4) donne aussi
en notant "p(y)" l'expression D(x',y).
On a donc 2 théorèmes de la forme
|¾ A É B
et
|¾ B É C
On a montré (chapitre 2) que ceci permettait de déduire :
D'où
|¾ ("x) ("y) D (x,y) É D (x', y')
Par généralisation : |¾
|¾
qui est de la forme
Comme (a5) donne
|¾
|¾
(A É C) .
.
("x') ( ("x) ("y) D (x,y) É D (x',y') )
("x')( m1 É m2 ) .
("x') (m1 É m2) É (m1 É ("x') m2) , on obtient par modus ponens
( m1 É ("x') m2 )
et par généralisation : |¾ ("y') ( m1 É ("x') m2 )
.
Avec (a5) : ("y') (m1 É ("x')m2) É (m1 É ("y') ("x')m2)
on obtient : |¾ (m1 É ("y')( "x')m2) par modus ponens.
C'est-à-dire :
|¾
("x) ("y) D (x,y)
et par renommage de variables liées :
É
("y') ("x') D (x', y')
|¾ ("x) ("y) D (x,y) É ("y) ("x) D (x,y) .
Bien que très simple, ce procédé de démonstration est lent, lourd et fastidieux. On verra une technique de
démonstration beaucoup plus efficace : la méthode de résolution.
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8 - Utilisations de la logique des prédicats
8-1 Représentation de connaissances :
traduction dans un langage non ambigu, indépendant de la langue, éventuellement exploitable par un automate.
Exemple 1 :
Pour tout ensemble x, il existe un ensemble y de cardinal plus grand que celui de x
peut s'écrire ("x) ( ens(x) É ($y) ($u) ($v) [ ens(y) Ù # (x,u) Ù # (y,v) Ù < (u,v) ] )
# (x, y) signifie " x est de cardinal y "
Ce mode de représentation est très riche : une même phrase peut être représentée de multiples manières.
Exemple 2 :
La maison est jaune
Cette connaissance peut se représenter par :
jaune (maison)
jaune est un prédicat à un argument.
ou bien :
couleur est un prédicat à deux arguments : d'où une représentation
couleur (maison, jaune)
plus générale; les objets considérés peuvent être de couleurs
diverses, en particulier jaune.
ou bien :
égale (couleur (maison), jaune)
encore plus de généralité ici : couleur est une fonction dont la
valeur pour "maison" est égale à jaune; le prédicat égale pourrait
aussi bien s'appliquer à "surface(maison)" et "grande" ou à
"âge(capitaine)" et "indéterminé".
ou encore : valeur (couleur, maison, jaune)
nous avons ici le même niveau de généralité mais un choix de
représentation différent : le prédicat valeur permet d'évaluer une
caractéristique d'un objet; ce peut être la couleur de la maison, qui
est jaune, ou la hauteur de la falaise, qui est 44 mètres : valeur
(hauteur, falaise, 44 mètres)
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8-2 Représentation des Connaissances et Démonstration
ü en mathématiques, en logique.
† dans des domaines où résoudre un problème consiste à donner une preuve constructive d'un théorème.
Par exemple :
Sachant que :
- le propriétaire de la maison A est Paul
- Pierre habite la maison A
- si x habite la maison y et si z est propriétaire de la maison y, alors x est locataire de z,
répondre à la question : " qui est locataire de Paul ? "
revient à donner une preuve constructive du théorème
( $ x) locataire (x,Paul)
basée sur les hypothèses :
|¾ propriétaire (A, Paul)
|¾ habite (Pierre, A)
|¾ ("x)("y)("z)( (habite (x,y) Ù propriétaire (y,z)) É locataire (x,z) )
Une solution consiste à "affecter des valeurs constantes aux variables", c'est-à-dire à remplacer dans la règle
(troisième hypothèse) les variables par les constantes qui vérifient bien les propriétés. Ici, on donnera donc la
valeur Pierre à x et A à y (à cause de la deuxième hypothèse) et Paul à z (à cause de la première hypothèse). Il
suffit alors de lire la conclusion : locataire (Pierre, Paul).
Nous verrons d'autres méthodes, plus générales :
ü La logique des prédicats est le cadre privilégié pour construire
des systèmes de déduction, des systèmes de production, des démonstrateurs de théorèmes
ü d'autres problèmes, de "type robot" peuvent être traités dans (LPP).
Ce sont des problèmes dans lesquels les états, les buts et les actions peuvent être décrits dans (LPP), et où il faut
passer d'un état-source à un état-but par une suite appropriée d'actions.
(c'est une forme de démonstration de théorèmes)
ü Ceci conduit aux méthodes de résolution de problèmes, de planification d'actions, d'apprentissage automatique.
Ø De manière générale, la Logique des Prédicats est le cadre privilégié du développement de l'Intelligence
Artificielle.
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