Logique Formelle – Présentation synthétique du cours

Logique Formelle – Présentation synthétique du cours
Systèmes Formels, Logique des Propositions, Logique des Prédicats
1 - LES SYSTEMES FORMELS
1 - Qu'est-ce qu'un système formel ?
Un système formel est un quadruplet S = ( A, γ, Ax, R) où :
1 - A est un ensemble fini de symboles, appelé alphabet,
2 - γ est un procédé de construction de mots,
3 – Ax est un ensemble fini ou dénombrable de mots particuliers appelés axiomes,
4 – R est un ensemble fini de règles de déduction de la forme :
{ w 1, ..., w k } → { m 1, ..., m n } où pour tout i, w i et m i sont des mots.
Remarques :
1- On dit indifféremment règle de déduction, ou de dérivation, ou d'inférence.
2- Il y a deux types de règles d'inférence : les règles de production, qui produisent de nouveaux mots à partir des
mots initiaux, et les règles de réécriture, qui fournissent une nouvelle forme pour le même mot.
2 - Théorèmes
Définition 1 :Dans un système formel, une preuve (ou démonstration) est une suite finie de mots w 1 w2.... w k
où chaque wi :
soit est un axiome,
soit se déduit des w j , j < i par l'une des règles d'inférence.
L'entier k est appelé la longueur de la preuve.
Définition 2 : Un théorème est un mot t tel qu'il existe une démonstration w 1 w2....w k
avec t = w k
On note alors | t .
Remarque : Un axiome est un théorème; sa démonstration est de longueur 1.
Nous avons donc : {axiomes} ⊂ {théorèmes} ⊂ {mots} ⊂ {chaînes de l'alphabet}
≠
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≠
≠
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3 - Décidabilité
Définition : On dira qu'un système formel est décidable lorsqu'il existe une procédure de décision unique qui permet
en un temps fini de décider si un mot quelconque du système est un théorème ou un non-théorème (mot dont on
peut prouver qu'il n'est pas un théorème)
Théorème
Procédure
Mot du
de
S.F.
décision
Non théorème
Réponse
en temps
Un système formel qui n'est pas décidable peut être :
- semi-décidable : lorsqu'il existe une procédure qui, si une formule est démontrable, le dira en un temps fini,
mais qu'il n'existe pas de procédure capable de faire la même chose pour tous les non théorèm es.
- indécidable : dans les autres cas.
4- Procédures de décision
Deux procédures de décision sont particulièrement simples :
1 – Procédure dite "de bas en haut" (ou bottom – up) :
si on peut construire l'ensemble de tous les théorèmes d'un système formel, les mots qui n'appartiennent pas à cet
ensemble sont des non-théorèmes et le système est décidable : pour tout mot, il suffit de vérifier s'il appartient ou
non à l'ensemble des théorèmes.
Remarque : Tout système formel dont les règles allongent les mots est décidable.
La procédure de décision précédente le prouve.
2 - Procédure dite "de haut en bas" (ou top - down):
un mot étant donné, on regarde si c'est un axiome (donc un théorème); si non, on réduit sa longueur en utilisant une
règle d'inférence. On itère le procédé jusqu'à obtenir :
• soit un axiome : dans ce cas, le mot initial était un théorème
• soit un mot dont la longueur ne peut plus être réduite et qui n'est pas un axiome : le mot initial était un non théorème.
Quoique simples et fi ables, ces procédures ne sont pas forcément rapides. Il se peut même qu'elles ne permettent
pas d'atteindre une réponse.
Deux notions peuvent conduire à des techniques plus efficaces, celles d'interprétation et de méta -raisonnement.
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5 - Interprétation
Définition. Une interprétation d'un système formel S = ( A, γ, Ax, R) est le choix d'un univers U de domaine D
(D est un ensemble d'objets appartenant à U) et d'une application I : S → U qui associe :
à chaque symbole de A
un élément de D
au procédé de construction de mots γ
un procédé de construction d'énoncés de U
à chaque axiome de Ax
un énoncé vrai de U
à chaque règle d'inférence de R
un mode de déduction dans U
Les théorèmes du système formel S deviennent des énoncés de U qu'on juge VRAIS ou FAUX dans l'interprétation
(ou privés de sens).
U
SF
x
s
yy
Procédé de
Procédé de
Construction de
construction
mots
d'énoncés
I
axiome
Enoncé vrai
Règle
Règle
d’inférence
d’inférence
théorèmes
énoncés
6 - Preuve et Vérité
Les concepts de Preuve et de Vérité appartiennent à des univers différents.
Les notions de vérité et de fausseté sont absentes des systèmes formels.
Dans un s ystème formel, un mot peut être prouvé par une démonstration. C'est alors un théorème.
Lorsqu'on donne une interprétation du système formel, les mots deviennent des énoncés qui peuvent être vrais, ou
faux, ou privés de sens.
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Quelques définitions:
On appelle tautologie tout mot d'un système formel qui se traduit par un énoncé vrai dans toutes les interprétations
du système formel.
Un système formel dans lequel tout théorème est une tautologie est dit correct.
Un système formel dans lequel toute tautologie est un théorème est dit complet.
Un système est dit consistant lorsqu'il existe une interprétation transformant tout théorème en énoncé vrai. Cette
interprétation est appelée modèle.
Remarque : un système correct est consistant.
7 – Méta-raisonnement
Jusqu'ici, pour voir si un mot du système formel S est un théorème ou non, on a cherché une démonstration dans S
ou une procédure que l'on déroule à l'intérieur du système S afin de conclure. On raisonne dans le système formel.
Effectuer un méta-raisonnement, c'est raisonner sur le système formel afin d'en trouver les propriétés ou de gagner
en efficacité pour les démonstrations.
2- LOGIQUE PROPOSITIONNELLE
1 - Naissance de la Logique des Propositions
Historique rapide
La Logique des Propositi ons est née de la volonté de modéliser ce qu'on appelle "un raisonnement logique", c'est-àdire, pour simplifier, un raisonnement • essentiellement déductif
et
• sans ambiguïté.
On admet classiquement qu'un tel raisonnement est fondé sur les 3 principes d'Aristote:
• identité
(une phrase est identique à elle-même)
• tiers exclu (une phrase est vraie ou fausse; il n'y a pas d'autre possibilité)
• non-contradiction
(on ne peut pas démontrer un énoncé et son contraire).
Le processus qui fait passer de l'observation du raisonnement logique au système formel de logique des
propositions peut être décrit en trois étapes.
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1ère étape : Description du « raisonnement logique »
Il s'agit de mettre en évidence les outils qui permettent de décrire complètement un raisonnement logique et les
conditions de sa validation:
Les symboles et opérateurs de base (ce qui permet d'exprimer sur quoi on raisonne)
Les règles de fonctionnement (ce qui permet de décrire comment on raisonne)
ð La validation des raisonnements repose ici sur le SENS des énoncés.
2ème étape : Description d’un modèle sémantique
Il s'agit de décrire une famille de symboles et de mécanismes de déduction qui permettent de reproduire tous les
raisonnements logiques au sens précédent indépendamment du sens des énoncés.
* On garde les notions de "vrai" et "faux"
MAIS
* On ne prend plus en compte le SENS des énoncés.
ð
Dans le modèle sémantique, un raisonnement sera valide lorsque partant d'hypothèses vraies il
conduira à des conclusions vraies.
Les mécanismes de déduction (qui permettent de déduire des énoncés VRAIS à partir d'autres énoncés VRAIS pour
faire une théorie COMPLÈTE ) sont ici au nombre de 8.
Tables de Vérité
Pour chaque connecteur, et par extension pour toute expression du modèle sémantique, on est capable de construire
une TABLE DE VERITE qui en exprime le comportement.
3ème étape : Etablir un système formel
dans lequel les théorèmes soient exactement les abstractions des énoncés vrais dans le modèle sémantique
précédent.
On doit donc:
* éliminer les notions de vérité et de fausseté
(et donc les symboles « vrai » et « faux » et la possibilité de faire et d’utiliser des tables de vérité)
* mettre au point un ensemble de règles d'inférence et d'axiomes qui permette de démontrer comme théorèmes
du S.F. exactement les correspondants des énoncés vrais obtenus par les 8 règles du modèle sémantique.
ð Ici un raisonnement sera valide s’il est une preuve (ou démonstration) au sens du chapitre 1.
Le premier système formel répondant à cette attente est dû à Whitehead et Russel (1910).
On utilise maintenant essentiellement un système dérivé : (LP).
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2 - LE SYSTEME FORMEL (LP)
2-1- Définition :
alphabet :
lettres propositionnelles
connecteurs :  et ⊃
parenthèses : ( et )
mots :
lettres propositionnelles
si w est un mot, (w) est un mot et  w est un mot
si w 1, w 2 sont des mots, w 1 ⊃ w2 aussi.
axiomes :
a1 - ( w 1 ⊃ (w2 ⊃ w1) )
a2 - (( w 1 ⊃ (w2 ⊃ w3)) ⊃ ((w1⊃ w2) ⊃ (w1⊃ w3)))
a3 - ( ( w2 ⊃  w1) ⊃ (w1 ⊃ w2) )
dérivation : règle de détachement ou modus ponens :
si w 1 et w 2 sont des mots, alors (w 1) et (w1 ⊃ w2) → w2.
3 - Où en est-on ?
Le processus historique de construction peut être schématisé ainsi :
Description du raisonnement logique usuel
Interprétation 1
Abstraction 1
(ajout du sens)
Modèle Sémantique
Interprétation 2
Abstraction 2
(ajout des valeurs de vérité)
Système formel (LP)
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4 - Le premier théorème de GÖDEL (1930)
Comment se traduit la notion générale d'interprétation d'un système formel dans le cas de (LP)?
Nous voyons sur le schéma ci-dessus qu'il y a deux "interprétations" successives pour passer de (LP) à l'Univers du
raisonnement réel :
• dans un premier temps, on passe au modèle sémantique par un processus qui revient exactement à la
construction d'une interprétation au sens du chapitre 1,
• dans un deuxième temps, les mots prennent un sens; cela correspond à un plongement du m odèle sémantique
dans un univers choisi, aucune construction nouvelle n'intervient.
D'où la définition : Une INTERPRETATION de (LP) est une application
ϕ : { mots de (LP) } → {0,1} vérifiant :
ϕ ( P) = 1 - ϕ (P)
ϕ (P ⊃ Q) = 0
ssi
ϕ (P) = 1 et ϕ (Q) = 0
Rappel : On dit qu'un mot w de (LP) est une tautologie lorsque ϕ (w) = 1
pour toute interprétation ϕ de (LP).
THEOREME DE GÖDEL
Un mot w de (LP) est un théorème si et seulement si w est une tautologie.
Autrement dit : Pour qu'un mot de (LP) soit un théorème, il faut et il suffit qu'il prenne la valeur de vérité 1 quelles que
soient les valeurs prises par les variables propositionnelles qu'il contient dans le modèle sémantique de (LP).
Ce théorème est essentiel :
• il permet de dém ontrer qu'un mot de (LP) est un théorème de manière extrêmement simple : en construisant
une table de vérité.
• il donne aussi un exemple de meta -raisonnement : au lieu de démontrer qu'un mot de (LP) est un théorème par
modus ponens, on étudie son comporte ment dans le modèle sémantique.
• il montre que (LP) est un système :
décidable
complet et correct
non-contradictoire (pour aucune formule ϕ on ne peut démontrer à la fois ϕ et ¬ϕ)
et donc consistant.
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3- LOGIQUE DES PREDICATS
1 - Les lacunes de la logique des propositions pour formaliser les raisonnements
Dans (LP) les lettres propositionnelles représentent des énoncés qui seront interprétés comme VRAIS ou FAUX.
Par exemple :
(E1)
pour tout X , sin (90-X) = cos X
De même :
(E2)
sin (90-X) = cos X
(E3)
il existe X tel que sin (90-X) = cos X
Mais on n'a aucun moyen dans (LP)
de voir que (E2) est un sous -énoncé de (E1) et de (E3)
ou d'exprimer que (E1) implique (E3)
ce qui est une lacune importante :
savoir que : "pour tout X, P(X)" implique "il existe X, P(X)"
est un ressort important du raisonnement mathématique
par exemple.
On ne sait pas non plus formaliser dans (LP) un raisonnement qui conduirait à trouver les valeurs de X pour
lesquelles sin (90-X) = cos X
est VRAI (ou FAUX).
Parce qu'on ne peut pas représenter sin (90-X) ou cos X ou 90 ou X ou l'égalité de manière spécifique.
Il est nécessaire d'avoir un système formel dans lequel on puisse représenter de manière différente des objets
de natures différentes afin de pouvoir formaliser les raisonnements qui portent sur des objets (et pas seulement
ceux qui portent sur des énoncés).
De même, si on veut formaliser le syllogisme :
Tous les hommes sont mortels,
(et)
Socrate est un homme
(donc)
Socrate est mortel
on va obtenir (A ∧ B) ⊃ C
et le syllogisme :
Tous les canards sont jaunes,
(et)
Donald est un canard
(donc)
Donald est jaune
va être formalisé en (D ∧ E) ⊃ F sans moyen de reconnaître qu'il s'agit de la même forme de raisonnement.
Il apparaît donc que dans (LP) on peut modéliser des raisonnements, mais pas des MODES DE RAISONNEMENT.
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2 - Un modèle plus précis que la logique des propositions.
On introduit les notions de
quantificateur, fonction, prédicat, variable, constante,
ce qui a pour effet de plonger la logique des propositions dans une logique plus riche :
la logique des prédicats,
où on distinguera plusieurs sortes de mots :
les TERMES : constantes, variables et mots de la forme :
f(x1, ..., xk)
où f est une fonction et
x1, ..., xk sont des termes.
les PROPOSITIONS sont de la forme :
p(x1, ..., xn)
où p est un prédicat et
x1, ..., xn sont des termes.
les FORMULES :termes, propositions sont des formules ;
si A et B sont des formules, c'est aussi le cas de (A) ,  A , A ∧ B , A v B , A ⊃ B , (∀ X) A, (∃ X) B , etc...
les SENTENCES ou formules CLOSES c'est-à-dire sans VARIABLE LIBRE.
Quelques définitions et propriétés :
variable libre : variable non quantifiée. Une variable quantifiée est dite liée
exemple : dans
( ∃x) ( A(x) ⊃ B(y) ) , y est libre, x est liée
quantificateur : existentiel, universel
variable
: peut être quantifiée
constante : ne peut pas être quantifié
fonction
: a pour arguments des termes et pour image des VALEURS (constantes ou variables).
prédicat
: a pour arguments des termes et pour image des VALEURS DE VERITE (vrai ou faux).
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3 - Le système formel (LPP) de la logique des prédicats
alphabet : constantes a b .... x y ....
variables A B .... X Y ....
fonctions f , g , H , K ....
prédicats p , q , R , S ....
connecteurs , ⊃
quantificateur ∀
séparateurs ( , )
mots:
les formules bien formées : termes, propositions, formules, sentences
axiomes :
a1 - ( w 1 ⊃ (w2 ⊃ w1) )
a2 - (( w 1 ⊃ (w2 ⊃ w3)) ⊃ ((w1 ⊃ w2) ⊃ (w1 ⊃ w3)))
a3 - ( ( w2 ⊃ w1) ⊃ (w1 ⊃ w2) )
a4 - ( (∀X) G(X) ) ⊃ G(U)
"particularisation"
a5 - ( (∀X) (w1 ⊃ w2) ) ⊃ ( w 1 ⊃ (∀X) w 2 )
à condition que X ne figure pas comme variable libre dans w 1
règles d'inférence :
modus ponens ( m 1 et ( m 1 ⊃ m 2 ) ) ----> m 2
généralisation m 1 ----> ( ∀X) m 1 , à condition que X soit variable libre dans m 1.
4 - Interprétations de (LPP)
Interpréter le système formel (LPP) c'est définir un domaine D dans lequel variables et constantes prendront leurs
valeurs et sur lequel seront définies des opérations : fonctions et prédicats, que l'on fera correspondre à celles de
(LPP).
Remarque :
Les connecteurs sont toujours interprétés de la même manière (∧ : et, v : ou, ...) les quantificateurs ∃, ∀ aussi.
Premier théorème de Gödel "revisité":
Les théorèmes de (LPP) sont exactement les formules logiquement valides.
Définition : Une formule est logiquement valide si, et seulement si, elle est vraie dans toutes les interprétations.
(Logiquement valide est synonyme de tautologie)
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5 - Décidabilité de (LPP)
théorème
Mot de
(LPP)
?
formule non-valide
formule satisfiable
formule insatisfiable
Une formule qui n'est pas logiquement valide peut être :
non-valide s'il existe une interprétation dans laquelle elle est fausse.
satisfiable s'il existe une interprétation dans laquelle elle est vraie.
insatisfiable (ou contradictoire) si elle est fausse dans toute interprétation.
On sait donc DÉCRIRE l'ensemble des non-théorèmes : c'est l'ensemble des formules non valides.
Cependant :
Théorème de Church (1936)
(LPP) n'est pas décidable.
Deux démonstrations de ce résultat peuvent être données :
• (LPP) n'est pas décidable parce que l'ensemble des théorèmes n'est pas récursivement énumérable
• (LPP) n'est pas décidable parce qu'il existe d'autres sortes de mots : par exemple les paradoxes :
par exemple (cf. J.L. Laurière) "Je ne suis pas un théorème"
Néanmoins on montre que (LPP) est semi-décidable :
pour toute formule qui est effectivement un théorème, on possède une procédure finie qui la démontre.
La règle de RÉSOLUTION (Robinson - 1960) est la méthode la plus efficace d'effectuer cette démonstration.
6 - Logiques d'ordre supérieur
Ce que l'on a décrit jusqu'ici représente la première forme de la logique des Prédicats - ou logique du 1er ordre.
On définit des logiques d'ordre supérieur (2ème ordre, 3 ème ordre, par itération : logique d'ordre Ω et λ-calcul (travaux de
CHURCH) pour enrichir et préciser les modes de représentation.
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7 - Démonstration dans le système formel (LPP)
Bien que très simple, le procédé de démonstration basique (applications successives des règles d'inférence à partir
des axiomes) est lent, lourd et fastidieux. On verra une technique de démonstration beaucoup plus efficace : la
Méthode de Résolution.
8 - Utilisations de la logique des prédicats
8-1 Représentation de connaissances :
Traduction dans un langage non ambigu, indépendant de la langue, éventuellement exploitable par un automate.
Ce mode de représentation est très riche : une même phrase peut être représentée de multiples manières.
8-2 Représentation des Connaissances et Démonstration
ü en mathématiques, en logique.
ü dans des domaines où résoudre un problème consiste à donner une preuve constructive d'un théorème (robotique
par exemple).
Nous verrons d'autres méthodes, plus générales :
ü La logique des prédicats est le cadre privilégié pour construire
des systèmes de déduction, des systèmes de production, des démonstrateurs de théorèmes
ü d'autres problèmes, de "type robot" peuvent être traités dans (LPP).
Ce sont des problèmes dans lesquels les états, les buts et les actions peuvent être décrits dans (LPP), et où il faut
passer d'un état-source à un état-but par une suite appropriée d'actions.
(c'est une forme de démonstration de théorèmes)
ü Ceci conduit aux méthodes de résolution de problèmes, de planification d'actions, d'apprentissage automatique.
Ø De manière générale, la Logique des Prédicats est le cadre privilégié du développement de l'Intelligence
Artificielle.
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