Logique Formelle – Présentation synthétique du cours

Juin 2006 - Mme Kempf LOGIQUE FORMELLE 1
Logique Formelle – Présentation synthétique du cours
Systèmes Formels, Logique des Propositions, Logique des Prédicats
1 - LES SYSTEMES FORMELS
1 - Qu'est-ce qu'un système formel ?
Un système formel est un quadruplet S = ( A, γ, Ax, R) où :
1 - A est un ensemble fini de symboles, appelé alphabet,
2 - γ est un procédé de construction de mots,
3 – Ax est un ensemble fini ou dénombrable de mots particuliers appelés axiomes,
4 – R est un ensemble fini de règles de déduction de la forme :
{ w1, ..., wk } → { m1, ..., mn } où pour tout i, wi et mi sont des mots.
Remarques :
1- On dit indifféremment règle de déduction, ou de dérivation, ou d'inférence.
2- Il y a deux types de règles d'inférence : les règles de production, qui produisent de nouveaux mots à partir des
mots initiaux, et les règles de réécriture, qui fournissent une nouvelle forme pour le même mot.
2 - Théorèmes
Définition 1 :Dans un système formel, une preuve (ou démonstration) est une suite finie de mots w1 w2.... wk
où chaque wi : soit est un axiome,
soit se déduit des wj , j < i par l'une des règles d'inférence.
L'entier k est appelé la longueur de la preuve.
Définition 2 : Un théorème est un mot t tel qu'il existe une démonstration w1 w2....wk avec t = wk
On note alors | t .
Remarque : Un axiome est un théorème; sa démonstration est de longueur 1.
Nous avons donc : {axiomes} ⊂ {théorèmes} ⊂ {mots} ⊂ {chaînes de l'alphabet}
≠ ≠ ≠

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3 - Décidabilité
Définition : On dira qu'un système formel est décidable lorsqu'il existe une procédure de décision unique qui permet
en un temps fini de décider si un mot quelconque du système est un théorème ou un non-théorème (mot dont on
peut prouver qu'il n'est pas un théorème)
Un système formel qui n'est pas décidable peut être :
- semi-décidable : lorsqu'il existe une procédure qui, si une formule est démontrable, le dira en un temps fini,
mais qu'il n'existe pas de procédure capable de faire la même chose pour tous les non théorèmes.
- indécidable : dans les autres cas.
4- Procédures de décision
Deux procédures de décision sont particulièrement simples :
1 – Procédure dite "de bas en haut" (ou bottom – up) :
si on peut construire l'ensemble de tous les théorèmes d'un système formel, les mots qui n'appartiennent pas à cet
ensemble sont des non-théorèmes et le système est décidable : pour tout mot, il suffit de vérifier s'il appartient ou
non à l'ensemble des théorèmes.
Remarque : Tout système formel dont les règles allongent les mots est décidable.
La procédure de décision précédente le prouve.
2 - Procédure dite "de haut en bas" (ou top - down):
un mot étant donné, on regarde si c'est un axiome (donc un théorème); si non, on réduit sa longueur en utilisant une
règle d'inférence. On itère le procédé jusqu'à obtenir :
• soit un axiome : dans ce cas, le mot initial était un théorème
• soit un mot dont la longueur ne peut plus être réduite et qui n'est pas un axiome : le mot initial était un non -
théorème.
Quoique simples et fiables, ces procédures ne sont pas forcément rapides. Il se peut même qu'elles ne permettent
pas d'atteindre une réponse.
Deux notions peuvent conduire à des techniques plus efficaces, celles d'interprétation et de méta-raisonnement.
Réponse
en temps
Procédure
de
décision
Théorème
Non théorème
Mot du
S.F.

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5 - Interprétation
Définition. Une interprétation d'un système formel S = ( A, γ, Ax, R) est le choix d'un univers U de domaine D
(D est un ensemble d'objets appartenant à U) et d'une application I : S → U qui associe :
à chaque symbole de A un élément de D
au procédé de construction de mots γ un procédé de construction d'énoncés de U
à chaque axiome de Ax un énoncé vrai de U
à chaque règle d'inférence de R un mode de déduction dans U
Les théorèmes du système formel S deviennent des énoncés de U qu'on juge VRAIS ou FAUX dans l'interprétation
(ou privés de sens).
6 - Preuve et Vérité
Les concepts de Preuve et de Vérité appartiennent à des univers différents.
Les notions de vérité et de fausseté sont absentes des systèmes formels.
Dans un système formel, un mot peut être prouvé par une démonstration. C'est alors un théorème.
Lorsqu'on donne une interprétation du système formel, les mots deviennent des énoncés qui peuvent être vrais, ou
faux, ou privés de sens.
Procédé de
Construction de
mots
axiome
Règle
d’inférence
théorèmes
Procédé de
construction
d'énoncés
x
Enoncé vrai
Règle
d’inférence
énoncés
SF U
I
s
yy

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Quelques définitions:
On appelle tautologie tout mot d'un système formel qui se traduit par un énoncé vrai dans toutes les interprétations
du système formel.
Un système formel dans lequel tout théorème est une tautologie est dit correct.
Un système formel dans lequel toute tautologie est un théorème est dit complet.
Un système est dit consistant lorsqu'il existe une interprétation transformant tout théorème en énoncé vrai. Cette
interprétation est appelée modèle.
Remarque : un système correct est consistant.
7 – Méta-raisonnement
Jusqu'ici, pour voir si un mot du système formel S est un théorème ou non, on a cherché une démonstration dans S
ou une procédure que l'on déroule à l'intérieur du système S afin de conclure. On raisonne dans le système formel.
Effectuer un méta-raisonnement, c'est raisonner sur le système formel afin d'en trouver les propriétés ou de gagner
en efficacité pour les démonstrations.
2- LOGIQUE PROPOSITIONNELLE
1 - Naissance de la Logique des Propositions
Historique rapide
La Logique des Propositions est née de la volonté de modéliser ce qu'on appelle "un raisonnement logique", c'est-à-
dire, pour simplifier, un raisonnement • essentiellement déductif
et • sans ambiguïté.
On admet classiquement qu'un tel raisonnement est fondé sur les 3 principes d'Aristote:
• identité (une phrase est identique à elle-même)
• tiers exclu (une phrase est vraie ou fausse; il n'y a pas d'autre possibilité)
• non-contradiction (on ne peut pas démontrer un énoncé et son contraire).
Le processus qui fait passer de l'observation du raisonnement logique au système formel de logique des
propositions peut être décrit en trois étapes.

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1ère étape : Description du « raisonnement logique »
Il s'agit de mettre en évidence les outils qui permettent de décrire complètement un raisonnement logique et les
conditions de sa validation:
Les symboles et opérateurs de base (ce qui permet d'exprimer sur quoi on raisonne)
Les règles de fonctionnement (ce qui permet de décrire comment on raisonne)
ð La validation des raisonnements repose ici sur le SENS des énoncés.
2ème étape : Description d’un modèle sémantique
Il s'agit de décrire une famille de symboles et de mécanismes de déduction qui permettent de reproduire tous les
raisonnements logiques au sens précédent indépendamment du sens des énoncés.
* On garde les notions de "vrai" et "faux"
MAIS
* On ne prend plus en compte le SENS des énoncés.
ð Dans le modèle sémantique, un raisonnement sera valide lorsque partant d'hypothèses vraies il
conduira à des conclusions vraies.
Les mécanismes de déduction (qui permettent de déduire des énoncés VRAIS à partir d'autres énoncés VRAIS pour
faire une théorie COMPLÈTE ) sont ici au nombre de 8.
Tables de Vérité
Pour chaque connecteur, et par extension pour toute expression du modèle sémantique, on est capable de construire
une TABLE DE VERITE qui en exprime le comportement.
3ème étape : Etablir un système formel
dans lequel les théorèmes soient exactement les abstractions des énoncés vrais dans le modèle sémantique
précédent.
On doit donc:
* éliminer les notions de vérité et de fausseté
(et donc les symboles « vrai » et « faux » et la possibilité de faire et d’utiliser des tables de vérité)
* mettre au point un ensemble de règles d'inférence et d'axiomes qui permette de démontrer comme théorèmes
du S.F. exactement les correspondants des énoncés vrais obtenus par les 8 règles du modèle sémantique.
ð Ici un raisonnement sera valide s’il est une preuve (ou démonstration) au sens du chapitre 1.
Le premier système formel répondant à cette attente est dû à Whitehead et Russel (1910).
On utilise maintenant essentiellement un système dérivé : (LP).