1 – Motivation: 2 – La sémantique des mondes possibles.

Juin 2006 - Mme Kempf LOGIQUE FORMELLE 50 / 60
LOGIQUES MODALES
1 – Motivation:
Savoir distinguer dans le système formel les phrases qui, tout en n’étant pas des théorèmes, seront vraies
dans une famille d’interprétations qui nous intéressent.
Introduire des intermédiaires entre les théorèmes et les formules quelconques.
2 – La sémantique des mondes possibles.
Kripke (1963 – 1971)
On raffine la notion d’interprétation.
Soient W un ensemble de « mondes possibles »
R une relation entre les éléments de W, appelée « relation d’accessibilité »
i une application de W x (S.F.) vers {0,1}
Le triplet (W,R,i) est appelé modèle et le couple (W,R) est appelé structure. Un triplet (w,R, i), où w ∈ W, est une
interprétation.
Une formule f de (S.F.) sera dite valide dans le modèle (W,R,i) ssi ∀ w ∈ W , i(w,f)=1
f sera dite valide dans la structure (W,R) ssi f est valide pour tout modèle (W,R,i).
f est un théorème de (S.F.) ssi f est valide dans toute structure.
Avec cette notion plus fine d’interprétation, on va pouvoir dire non seulement si une formule est vraie dans toutes les
interprétations, ou dans au moins une ; on va aussi pouvoir dire si elle est vraie dans une famille d’interprétations
sur un ensemble de mondes reliés entre eux par une même relation R :
On introduit la notion de nécessité : úf se lit « f est nécessaire » .
úf est vraie dans l’interprétation (w,R,i)
ssi
f est vraie dans toute interprétation (w’,R,i) où w’ est un monde accessible à partir de w.
Ä Peut-on démontrer qu’une formule est nécessaire sans passer par des interprétations ?
Ä Peut-on enrichir les systèmes formels (LP) et (LPP) pour y arriver ?

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3 – Les grands noms.
Abélard (philosophe - 13ème siècle)
Kant (philosophe – 19ème siècle)
H. Mc Coll, C.I. Lewis, H. Langford (début du 20ème siècle) ont posé les bases des actuels systèmes de logique
modale.
Le livre de référence : Hughes & Cresswell
Logique modale : utilise des opérateurs modaux.
Opérateur modal : qui porte sur les formules logiques pour en modifier l’interprétation.
Introduction de 2 symboles duaux :
ú lu « il est nécessaire que »
¸ lu « il est possible que »
qui se définissent mutuellement úf ≡ ¬¸¬f .
Remarque :
nécessité et possibilité modifient la valeur de vérité des formules qu’ils affectent, mais pas de manière
systématique. On dit que ces opérateurs ne sont pas vérifonctionnels.
4 – Un système modal propositionnel : le système T
alphabet :
variables propositionnelles
opérateurs unaires : ¬ , ú
opérateur binaire : ⊃
séparateurs ( , )
mots :
les variables sont des mots ;
si w est un mot, (w), ¬w , úw sont des mots ;
si w1, w2 sont des mots, w1 ⊃ w2 aussi.
axiomes :
a1 - ( w1⊃ (w2 ⊃ w1) )
a2 - ((w1⊃ (w2 ⊃ w3))) ⊃ ((w1 ⊃ w2) ⊃ (w1 ⊃ w3)))
a3 - ( (¬w1 ⊃ ¬ w2) ⊃ (w2 ⊃ w1) )
a4 - úw ⊃ w
a5 - ú (w1 ⊃ w2) ⊃ (úw1⊃ úw2)

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règles d’inférence :
modus ponens : si w1 et w2 sont des mots,
alors (w1) et (w1 ⊃ w2) permettent de déduire w2.
nécessité : w ? ú w.
Enrichissement de (T)
1– Pour plus de commodité, on enrichit T de la définition de
x ∧ y donné par  (x ⊃  y)
x ∨ y " "  ( x ∧  y)
x ≡ y " " (x ⊃ y) ∧ (y ⊃ x)
¸p " "  (ú (p))
p ⇒ q " " ú (p ⊃ q)
p = q " " (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
2 – De même que dans le système formel (LP) on démontre les théorèmes :
soit dans T
soit en passant par les interprétations.
Remarque : T est consistant.
3 – On peut créer de même un système modal au-dessus de (LPP) en ajoutant le symbole ú, les mots de la forme
úw, les axiomes a4 et a5 , la règle de nécessité.
5 – Autres systèmes formels modaux propositionnels.
Ils sont définis à partir du plus « simple » d’entre eux : le système N.
N est le système (T) privé de l’axiome (a4).
S3 est le système (N) auquel on ajoute l’axiome úf ⊃ úúf .
S4 est le système (T) auquel on ajoute l’axiome úf ⊃ úúf .
S5 est le système (T) auquel on ajoute l’axiome ¸f ⊃ ú¸f .
Etc….
Pourquoi tant de systèmes modaux différents?
Deux raisons : le théorème de Goldblatt et les propriétés que ces systèmes permettent de modéliser.

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6 - Le théorème de Goldblatt.
Il exprime la relation entre théorèmes dans les systèmes formels modaux et formules valides.
Théorème 1
Une formule A de (N) est un théorème ssi A est valide.
Théorème 2
Une formule A de (T) est un théorème ssi A est vraie dans toute structure (W,R) où R est réflexive.
Théorème 3
Une formule A de (S4) est un théorème ssi A est vraie dans toute structure (W,R) où R est réflexive et transitive.
Théorème 4
Une formule A de (S5) est un théorème ssi A est vraie dans toute structure (W,R) où R est une relation
d’équivalence.
Etc…
De façon générale, on peut démontrer une correspondance exacte entre propriétés de la relation d’accessibilité et
axiomes définissant les systèmes modaux : c’est le théorème de Goldblatt.
Relation Axiome
Réflexive úA ⊃ A
Symétrique A ⊃ ú?A
(∀x)(∃y)(xRy) úA ⊃ ?A
Transitive úA ⊃ úúA
(∀x) (∀y) (∀z)((xRy ∧ xRz) ⊃ yRz)) ?A ⊃ ú?A
(∀x)(∃ !y)(xRy) úA ≡ ?A
…
…
Exemples
Logique de la connaissance.
úA sera lu « A est connu » ou « je sais que A » ;
on voudra de plus que ce qui est su soit vrai.
Le bon système formel contiendra donc l’axiome úA ⊃ A .
(T) est de ce fait souvent appelé ‘Logique de la connaissance’.

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Logique de la croyance.
Elle ne contiendra pas l’axiome úA ⊃ A parce qu’une croyance peut être erronée.
Logique de l’introspection positive.
Elle contiendra l’axiome úA ⊃ úúA.
« si je connais A, alors je sais que je connais A »
Logique dynamique.
úA se lit « toutes les exécutions du programme donnent A »
?A se lit « il existe des exécutions du programme qui donnent A »
Logiques temporelles.
On y reviendra
Etc…