1 - Naissance de la Logique des Propositions 1ère étape

Juin 2006 - Mme Kempf LOGIQUE FORMELLE 10 / 60
LOGIQUE PROPOSITIONNELLE
1 - Naissance de la Logique des Propositions
Historique rapide
La Logique des Propositions est née de la volonté de modéliser ce qu'on appelle "un raisonnement logique", c'est-à-
dire, pour simplifier, un raisonnement • essentiellement déductif
et • sans ambiguïté.
On admet classiquement qu'un tel raisonnement est fondé sur les 3 principes d'Aristote:
• identité (une phrase est identique à elle-même)
• tiers exclu (une phrase est vraie ou fausse; il n'y a pas d'autre possibilité)
• non-contradiction (on ne peut pas démontrer un énoncé et son contraire).
Le processus qui fait passer de l'observation du raisonnement logique au système formel de logique des
propositions peut être décrit en trois étapes.
1ère étape : Description du « raisonnement logique »
Il s'agit de mettre en évidence les outils qui permettent de décrire complètement un raisonnement logique et les
conditions de sa validation.
ð Les symboles et opérateurs de base (ce qui permet d'exprimer sur quoi on raisonne)
par ex. :
- non, et, ou, implique,...
- symboles représentatifs de ‘vrai’ et ‘faux’
- symboles représentant des énoncés,
- symboles permettant de séparer des énoncés
ð Les règles de fonctionnement (ce qui permet de décrire comment on raisonne)
par ex. :
- si A et B sont vrais, alors (A et B) est vrai
- nier 2 fois A revient à n’appliquer aucun opérateur
...
- la manière de construire un énoncé complexe à partir d’énoncés élémentaires
- les mécanismes de déduction
...
ð La validation des raisonnements repose ici sur le SENS des énoncés.

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2ème étape : Description d’un modèle sémantique
Il s'agit de décrire une famille de symboles et de mécanismes de déduction qui permettent de reproduire tous les
raisonnements logiques au sens précédent indépendamment du sens des énoncés.
* On garde les notions de "vrai" et "faux"
MAIS
* On ne prend plus en compte le SENS des énoncés.
ð Dans le modèle sémantique, un raisonnement sera valide lorsque partant d'hypothèses vraies il
conduira à des conclusions vraies.
On doit à Leibniz (1646 - 1716) et Frege (1848 - 1925) les premiers modèles sémantiques déductifs COMPLETS (i.e.
dans lesquels tout énoncé vrai est démontrable) et NON-CONTRADICTOIRES (i.e. dans lesquels il est impossible de
démontrer à la fois un énoncé et sa négation ) :
Les symboles et opérateurs de base
. vrai 1, faux 0
. énoncés élémentaires
. connecteurs : ∧ conjonction
∨ disjonction
 négation
⊃ implication
. séparateurs : ( ) ou , ou [ ] etc...
Les mécanismes de déduction (qui permettent de déduire des énoncés VRAIS à partir d'autres énoncés
VRAIS pour faire une théorie COMPLETE ) sont au nombre de 8 :
(R1) Si x et y sont vrais
alors x ∧ y est vrai
(R2) Si x ∧ y est vrai
alors x est vrai et y est vrai
(R3) Si x est vrai et x ⊃ y est vrai
alors y est vrai
(R4) x et   x sont interchangeables
(R5) x ⊃ y et  y ⊃  x
sont interchangeables

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R6) x ∧ y et  (x ∨ y)
sont interchangeables
(R7) x ∨ y et  x ⊃ y
sont interchangeables
(R8) si en partant de x on peut déduire y par les règles R1, R2, ..., R7
alors x ⊃ y est VRAI
Tables de Vérité
Pour chaque connecteur, on est capable de construire une TABLE DE VERITE qui en exprime le comportement :
Exemples :
A et B représentent des énoncés.
D'après (R1) et (R2), on peut établir la table de vérité de A ∧ B
B
A Vrai Faux
Vrai V F
Faux F F
Sachant que A est différent de A, la règle (R4) permet de faire la table de vérité de A :
A A
V F
F V
Ayant ces tables de vérité pour la négation et la conjonction, la règle (R6) permet d'établir celle de la disjonction
AvB:
B
A Vrai Faux
Vrai V V
Faux V F
D’après (R7), x ∨ y et  x ⊃ y ont les mêmes valeurs de vérité. En remplaçant x par  z , on trouve que
 z ∨ y et z ⊃ y ont mêmes valeurs de vérité.
D’où la table de vérité de l’implication A ⊃ B :
B
A Vrai Faux
Vrai V F
Faux V V

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3ème étape : Etablir un système formel
dans lequel les théorèmes soient exactement les abstractions (*) des énoncés vrais dans le modèle sémantique
précédent.
(*) En effet, un système formel est un système syntaxique. Il ne prend en compte:- ni le sens des mots,
- ni le fait qu’ils soient vrais ou faux.
On doit donc faire une abstraction pour passer à un système formel:
* éliminer les notions de vérité et de fausseté
(et donc les symboles « vrai » et « faux » et la possibilité de faire et d’utiliser des tables de vérité)
* mettre au point un ensemble de règles d'inférence et d'axiomes qui permette de démontrer comme théorèmes
du S.F. exactement les correspondants des énoncés vrais obtenus par les règles R1 à R8 dans le modèle
sémantique.
ð Ici un raisonnement sera valide s’il est une preuve (ou demonstration) au sens du chapitre 1.
Le premier système formel répondant à cette attente est dû à Whitehead et Russel (1910).
Il a pour symboles : les énoncés,  , ⊃ , des séparateurs.
Il a 4 axiomes
et une seule règle d’inférence : MODUS PONENS
de (a et a ⊃ b) on peut déduire b
(a et a ⊃ b) → b
De nombreux autres systèmes formels, équivalents, ont été proposés par la suite (systèmes de Lukasiewicz ; de
Shaeffer ; système booléen). Celui-ci reste cependant, dans une version optimisée avec 3 axiomes, le plus utilisé
actuellement pour la Logique des Propositions, sous le nom de (LP).
2 - LE SYSTEME FORMEL (LP)
2-1- Définition :
alphabet : lettres propositionnelles
connecteurs :  et ⊃
parenthèses : ( et )
mots : lettres propositionnelles
si w est un mot, (w) est un mot et  w est un mot
si w1, w2 sont des mots, w1 ⊃ w2 aussi.
axiomes : a1 - ( w1 ⊃ (w2 ⊃ w1) )
a2 - (( w1 ⊃ (w2 ⊃ w3)) ⊃ ((w1⊃ w2) ⊃ (w1⊃ w3)))
a3 - ( ( w2 ⊃  w1) ⊃ (w1 ⊃ w2) )
dérivation : règle de détachement ou modus ponens :
si w1 et w2 sont des mots, alors (w1) et (w1 ⊃ w2) → w2.

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2-2 Remarques
1 - Les symboles  et ⊃ suffisent puisque :
A ∨ B ≡  A ⊃ B où ≡ signifie "équivalent à"
A ∧ B ≡  (A ⊃ B)
2 - La règle de modus ponens a été choisie parce qu'elle formalise exactement la DÉDUCTION et
3 - Les axiomes introduits sont une base de résultats vrais dans le modèle sémantique et indémontrables sans les
valeurs de vérité au moyen de modus ponens, choisis exactement pour que :
4 - Les théorèmes démontrables dans le système formel correspondent aux déductions valides dans le modèle
sémantique.
2-3- Enrichissement de (LP)
1 - On introduit de nouveaux symboles pour simplifier l'écriture :
x ∧ y donné par  (x ⊃  y)
x ∨ y " "  ( x ∧  y)
x ≡ y " " (x ⊃ y) ∧ (y ⊃ x)
2 - On démontre des théorèmes de manière à créer de nouvelles règles de déduction qui rendront les
démonstrations plus rapides.
Par exemple : ( P ⊃ (Q ⊃ R) ) → ( Q ⊃ (P ⊃ R) )
ou encore : ( (A ⊃ B) ∧ (B ⊃ C) ) → (A ⊃ C)
3 - On formalise d'autres principes de démonstration pour ne pas avoir à en redémontrer la validité à chaque
utilisation.
Par exemple : le raisonnement par contraposition
ou encore : le raisonnement par l’absurde.
Exemple 1 :
Supposons donné un théorème  (P⊃(Q⊃R)).
Nous voulons démontrer  (Q⊃(P⊃R)).
 (P⊃(Q⊃R))
et
(a2) ((P⊃(Q⊃R)) ⊃ ((P⊃Q) ⊃ (P⊃R))
donnent par modus ponens  ((P⊃Q) ⊃ (P⊃R)) (t1)
Avec (a1) : ((P⊃Q) ⊃ (P⊃R)) ⊃ (S⊃ ((P⊃Q) ⊃ (P⊃R)))
(t1) donne, par modus ponens,  (S⊃ ((P⊃Q) ⊃ (P⊃R))) (t2)
Avec (a2) : (S⊃ ((P⊃Q)⊃(P⊃R))) ⊃ ((S⊃(P⊃Q)) ⊃ (S⊃(P⊃R))))
(t2) donne, par modus ponens,  ((S⊃(P⊃Q)) ⊃ (S⊃(P⊃R))) (t3)