O.E.M.dans le vide

OND2 : les ondes électromagnétiques dans le vide.
M.JANAN
1.Équations de propagation des champs dans une région sans charges ni courants.
⇒ Dans un espace vide de charges et de courants: ρ = 0 et j = 0 , les équations de Maxwell s’écrivent :
∂B
rotE = ∇ ∧ E = −
( MF )
∂t
divB = ∇.B = 0
(M φ )
divE = ∇.E = 0 ( MG )
∂E
rotB = ∇ ∧ B = ε 0 µ0
( MA)
∂t
⇒ Équation d'onde de D'Alembert tridimensionnelle :
1 ∂2E ∂2E ∆E − ε 0 µ0 2 = 0 soit ∆E − 2 2 = 0
∂t
c ∂t
∂2 B 1
∆B − ε 0 µ0 2 = 0 avec c =
∂t
ε 0 µ0
=0
∂ rot B ∂
∂E
En effet: rot ( rotE ) == −
→ grad ( divE ) − ∆ E = − (ε 0 µ0
) Soit : avec c =
∂t
∂t
∂t
1
ε 0 µ0
2 solutions de l’equation de propagation en ondes planes
⇒ Dans la cas d’un système de coordonnées cartésiennes(x,y,z),chacune des 6 composantes du champ
électromagnétique ( Ex , E y , Ez , Bx , By , Bz ) noté a(x,y,z) vérifie l’équation de d’alembert :
∆a −
1 ∂2a
∂2a ∂2a ∂2a 1 ∂2a
=
0
→
+
+
−
=0
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 c 2 ∂t 2
c 2 ∂t 2
⇒ La solution de l’équation de D’Amber en ondes planes se propagent dans le direction n = ex par
x
x
exemple: a(M, t)= f + (t - ) + f − (t + ) a est une composante scalaire du champ électromagnétique
c c
O . P. Pր
O . P. Pց
⇒ S’il s'agit d'une onde monochromatique (harmonique) si cette dépendance est de la forme:
 ω  

k
=
ku
=  u
a( M , t ) = A cos ωt − k.OM + ϕ  Avec :
c
k Définissant lui la direction et le sens de propagation est appelé vecteur d’onde
3. Structure de l'onde progressive plane électromagnétique dans le vide.
3.1. le spectre électromagnétique
1
OND2 : les ondes électromagnétiques dans le vide.
M.JANAN
3.2. Expression du champ électromagnétique
Dans le cas d’une OPPH se propageant dans la direction et sens de u ,en cordonnes cartésiennes
E ox cos(wt-k.r+ϕ x )e x
E ox e jϕx


jϕ y
j (wt-k.r) 
E = E oycos(wt-k.r+ϕ y )e y = Re E avec E = e
E oye


jϕ z
ϕ
E
cos(wt-k.r+
)e
z
z
E oz e
 oz
 E0 x e jϕx
j(ωt-k.r)
j(ω t-k x x−k y y −k z z )

jϕ
= E oe
Avec : E 0 =  E0 y e y il vient : E = E oe

jϕ z
 E0 z e
3.3. Les opérateurs.
• La linéarité des équations de MAXWELL permet d’utiliser la méthode complexe pour
les calculs des champs
• Les grandeurs énergétiques(Le vecteur de Poynting, puissance,….) n'étant pas
linéaire vis-à-vis du champ électromagnétique, il faut les déterminer à partir des
expressions réelles de E et B.
∂X
↔ ∓ jω X , divX ↔ ± jk .X ,
∂t
rotX ↔ ∓ jk × X ,
∆X ↔ - k 2 X
3.3. Les équations de Maxwell en notation complexe deviennent pour O.P.P.M :
2
OND2
2 : les ondes électromagnétiques dans le vide.
M.JANAN
3.4. Structure de l’onde pph
⇒ MG : divE = 0 ↔ jk .E = 0 ⇒ k ⊥ E = 0 :La composante du champ électrique suivant la direction
de propagation est donc nulle; on dit que le champ est transversal ou que l’onde est transverse
électrique n ⊥ E
⇒ M ϕ k .B = 0 → k ⊥ B = 0 La composante du champ magnétique suivant la direction de
propagation est donc nulle; on dit que le champ est transversal. ou que l’onde est transverse
mahnetique n ⊥ B
⇒ MF :
k ∧E n∧E
B =
=
ω
c
opph
vide
avec
k=
ω
c
u : n, E et B forment un trièdre direct.
Où l'on reconnaît la relation de structure de l'onde progressive plane.
plane
⇒ Tous ces résultats sont valables dans le cas général des ondes planes progressives .
5. Vitesse de phase.
⇒ On en déduit que les plans équiphases(phase
équiphases
constante) se déplacent avec une vitesse appelée
ω
vitesse de phase, définie par: vϕ =
k
⇒ Dans le vide, on a ω = k. c ; la vitesse de phase est donc constante, indépendante de la
fréquence de l'onde et v ϕ = c on dit que le vide est un milieu non dispersif
⇒ la relation entre ω et k est appelle relation de dispersion dans le cas d’une O. .P.P.H dans le
vide : k 2 =
ω2
c2
6 . Aspect énergétique de la propagation d’une OPPdans le vide
⇒ L'énergie
B( M , t ) =
électromagnétique
E (M , t )
c
volumique s'écrit
1 2
e(M,t)=ε 0 E 2 (M,t) =
B (M,t)
µ0
pour
une OPP
dans le
vide,
avec
il y a équipartition des contributions électriques et magnétiques à l’énergie totale.
⇒ Le vecteur de Poynting peut s'exprimer en fonction du seul champ électrique (ou du seul
champ magnétique) selon :
3
OND2 : les ondes électromagnétiques dans le vide.
→
→
Π = ε 0 E 2c n =
1
M.JANAN
→
→
→
B 2 c n ou avec l’énergie volumique e : Π = e(M,t)c n
µ0
→
⇒ Le fait que Π est colinéaire à n qui caractérise la direction de propagation et avec son rôle de vecteur
courant de l’énergie transportée par l’onde : l’ OPP transporte le l’énergie dans sa propre direction de
propagation et avec une vitesse égale à sa célérité.
⇒ On montre ainsi que pour une O.P.P. l'énergie se propage dans la direction et le sens défini par n à la
célérité c (si propagation dans le vide).
⇒ On appelle l’intensité énergétique d’un rayonnement electromagnetique la moyenne temporelle de la
norme de son vecteur de poynting : c’est la valeur moyenne de la puissance que reçoit par unité de
surface un détecteur plan dirige perpendiculairement à la direction de propagation du rayonnement.
I = Π w.m −2
⇒ Pour une opph :
1
I = Π = ε 0 E 2 c = ε 0 c E 2 = ε 0 c E02 cos 2 (ωt − kx + ϕ ) = ε 0 cE02
2
•
La densité volumique d’énergie moyenne e(M,t) =ε 0 E 2 (M,t) =ε 0
•
Le rapport de la moyenne du vecteur de poynting
E 02
2
Π sur la moyenne de la densité volumique
d’énergie homogene à une vitesse appelle vitesse de propagation de l’énergie :
Π
v energie =
e(M,t)
•
dans le cas des opp dans le vide : venergie = c
4