O.E.M.dans le vide

OND2 : les ondes électromagnétiques dans le vide. M.JANAN
1
1.Équations de propagation des champs dans une région sans charges ni courants.
⇒
Dans un espace vide de charges et de courants:
0
ρ
=
et
0
j
=
, les équations de Maxwell s’écrivent :
0 0
( ) . ( )
. ( ) ( )
0
0
MF MG
B M B MA
B
rotE E divE E
tE
divB rotB
t
φ ε µ =
∂
=∇∧ =− =∇ =
∂∂
∇ = =∇∧ =
∂
⇒
Équation d'onde de D'Alembert tridimensionnelle :
2 2
0 0 2 2 2
1
0 0
E E
E soit E
t c t
ε µ
∂ ∂
∆ − = ∆ − =
∂ ∂
2
0 0 2
0 0
0
1
B
B t avec c ε µ
ε µ
∂
∆ − =
∂
=
En effet:
0
0 0
( ) ) ( )
(
rot
rot grad
B E
rotE divE E
t t t
ε µ
=
→ −∆
∂ ∂ ∂
==− =−
∂ ∂ ∂
Soit :
0 0
1
avec c
ε µ
=
2 solutions de l’equation de propagation en ondes planes
⇒
Dans la cas d’un système de coordonnées cartésiennes(x,y,z),chacune des 6 composantes du champ
électromagnétique
( , , , , , )
x y z x y z
E E E B B B
noté a(x,y,z) vérifie l’équation de d’alembert :
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 1
0 0
a a a a a
a c t x y z c t
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∆ − = → + + − =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
⇒
La solution de l’équation de D’Amber en ondes planes se propagent dans le direction
x
n e
=
par
exemple:
. . . .
a(M, t)=f (t - )+f (t + )
O P P O P P
x x
c c
+ −
ր ց
a est une composante scalaire du champ électromagnétique
⇒
S’il s'agit d'une onde monochromatique (harmonique) si cette dépendance est de la forme:
. ( , ) cos k OM a M t A t
ω ϕ
= − +
Avec :
k ku u
c
ω
= =
k
Définissant lui la direction et le sens de propagation est appelé vecteur d’onde
3. Structure de l'onde progressive plane électromagnétique dans le vide.
3.1. le spectre électromagnétique

OND2 : les ondes électromagnétiques dans le vide. M.JANAN
2
3.2. Expression du champ électromagnétique
Dans le cas d’une OPPH se propageant dans la direction et sens de
u
,en cordonnes cartésiennes
ox
ox x
(wt-k.r)
oy y oy
oz
oz
E
E cos(wt-k.r+ )e
E cos(wt-k.r+ )e Re E
E
E cos(wt-k.r+ )e
x
y
z
j
x
j
j
y
j
z z
e
E E avec E e e
e
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
= = =
Avec :
0
00
0
x
y
z
j
x
j
y
j
z
E e
E E e
E e
ϕ
ϕ
ϕ
= il vient :
j( t-k k k )
j( t-k.r)
o o
E e E e
x y z
x y z
E
ω
ω
− −
= =
3.3. Les opérateurs.
• La linéarité des équations de MAXWELL permet d’utiliser la méthode complexe pour
les calculs des champs
• Les grandeurs énergétiques(Le vecteur de Poynting, puissance,….) n'étant pas
linéaire vis-à-vis du champ électromagnétique, il faut les déterminer à partir des
expressions réelles de E et B .
j X
X
t
∂
ω
∂
↔∓
,
j .X
divX k
↔ ±
,
rotX jk
X
↔ ×
∓
,
X
2
k - X ↔∆
3.3. Les équations de Maxwell en notation complexe deviennent pour O.P.P.M :

OND
2 : les ondes électromagnétiques dans le vide. M.JANAN
3.4. Structure de l’onde pph
⇒ MG :
0 j .E 0 E 0
divE k k
= ↔ = ⇒⊥ =
de propagation est donc nulle; on dit que le champ est transversal ou que l’onde est transverse
⇒ M ϕ
. 0 0k B k B= → ⊥ =
La composante du champ magnétique
propagation est donc nulle; on dit que le champ est transversal.
mahnetique
n B⊥
⇒MF :
opph vide
c
k E n E
B
ω
=
∧ ∧
=
avec
Où l'on reconnaît la relation de structure de l'onde progressive plane
⇒
Tous ces résultats sont valables dans le cas général des ondes planes progressives .
5. Vitesse de phase.
⇒
On en déduit que les plans équiphases
vitesse de phase, définie par:
=
v
ϕ
⇒Dans le vide, on a
ω = k c.
; la vitesse de phase est donc constante, indépendante de la
fréquence de l'onde et
v
ϕ
= c
on dit que le vide est un milieu non dispersif
⇒la relation entre
et k ω
est appelle relation de dispersion dans le cas
vide :
2
22
kc
ω
=
6 .
Aspect énergétique de la propagation d’une
⇒
L'énergie électromagnétique volumique s'écrit pour une
( , )
( , ) E M t B M t c =
2 2
0
(M,t)= (M,t) = (M,t)
e E B
ε
il y a équipartition des contributions électriques et magnétiques à l’énergie totale.
⇒Le vecteur de Poynting
peut s'exprimer en fonction du seul champ électrique (ou du seul
champ magnétique) selon :
2 : les ondes électromagnétiques dans le vide. M.JANAN
3
0 j .E 0 E 0
⊥ =
:La
composante du champ électrique
de propagation est donc nulle; on dit que le champ est transversal ou que l’onde est transverse
électrique
n E⊥
La composante du champ magnétique
suivant la direction de
propagation est donc nulle; on dit que le champ est transversal.
ou que l’onde est transverse
avec
u kc
ω
= : ,n E et B
forment un trièdre direct.
Où l'on reconnaît la relation de structure de l'onde progressive plane
Tous ces résultats sont valables dans le cas général des ondes planes progressives .
On en déduit que les plans équiphases
(phase constante)
se déplacent avec une vitesse appelée
=
k
ω
; la vitesse de phase est donc constante, indépendante de la
on dit que le vide est un milieu non dispersif
est appelle relation de dispersion dans le cas
Aspect énergétique de la propagation d’une
OPPdans levide
L'énergie électromagnétique volumique s'écrit pour une
OPP
2 2
0
1
(M,t)= (M,t) = (M,t)
e E B
µ
il y a équipartition des contributions électriques et magnétiques à l’énergie totale.
peut s'exprimer en fonction du seul champ électrique (ou du seul
2 : les ondes électromagnétiques dans le vide. M.JANAN
composante du champ électrique
suivant la direction
de propagation est donc nulle; on dit que le champ est transversal ou que l’onde est transverse
suivant la direction de
ou que l’onde est transverse
forment un trièdre direct.
Où l'on reconnaît la relation de structure de l'onde progressive plane
.
Tous ces résultats sont valables dans le cas général des ondes planes progressives .
se déplacent avec une vitesse appelée
; la vitesse de phase est donc constante, indépendante de la
on dit que le vide est un milieu non dispersif
d’une O. .P.P.H dans le
dans le vide, avec
il y a équipartition des contributions électriques et magnétiques à l’énergie totale.
peut s'exprimer en fonction du seul champ électrique (ou du seul

OND2 : les ondes électromagnétiques dans le vide. M.JANAN
4
2 2
00
1
= =
E c n B c n
εµ
→ → →
Π
ou avec l’énergie volumique e :
= e(M,t)c
n
→ →
Π
⇒
Le fait que
→
Π
est colinéaire à
n
qui caractérise la direction de propagation et avec son rôle de vecteur
courant de l’énergie transportée par l’onde : l’
OPP
transporte le l’énergie dans sa propre direction de
propagation et avec une vitesse égale à sa célérité.
⇒
On montre ainsi que pour une O.P.P. l'énergie se propage dans la direction et le sens défini par
n
à la
célérité c (si propagation dans le vide).
⇒
On appelle l’intensité énergétique d’un rayonnement electromagnetique la moyenne temporelle de la
norme de son vecteur de poynting : c’est la valeur moyenne de la puissance que reçoit par unité de
surface un détecteur plan dirige perpendiculairement à la direction de propagation du rayonnement.
2
.
I wm
−
= Π
⇒
Pour une opph :
2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
1
cos ( )
2
I E c c E c E t kx cE
ε ε ε ω ϕ ε = Π = = = − + =
• La densité volumique d’énergie moyenne
0
2
2
0 0
(M,t) = (M,t) =
2
E
e E ε ε
• Le rapport de la moyenne du vecteur de poynting
Π
sur la moyenne de la densité volumique
d’énergie homogene à une vitesse appelle vitesse de propagation de l’énergie :
(M,t)
energie
ve
Π
=
• dans le cas des opp dans le vide :
energie
v c
=