Variables alétoires, lois de probabilités

Variables aléatoires, Inégalités et
Lois de probabilité
Massih-Reza Amini
Université Grenoble Alpes (UGA)
Laboratoire d’Informatique de Grenoble (LIG)

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Intuition
C’est quoi une variable aléatoire?
Lorsqu’on est devant une épreuve aléatoire, on s’inéteresse plus souvent à
la valeur attribuée à l’épreuve qu’à son résultat.
Exemple
Par exemple, lorsque l’on joue à un jeu de hasard on s’intéresse plus au
gain qu’on aura avec notre jeu qu’à son résultat.
Définition
Une variable aléatoire (v.a.)Xest un nombre réel que l’on associe à
chaque élément ede l’ensemble Ω.Xest donc une application définie
comme:
X∶Ω→R
e↦X(e)=x
Xest la variable aléatoire réelle et xest une réalisation de cette v.a.
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Exemple
Exemple du lancé de dé
On lance un dé après avoir misé 1€. Si le résultat est un 5 ou un
6 on double la mise sinon la perd. Dans ce cas:
qΩ={1,2,3,4,5,6}
qCard Ω=6 et Card P(Ω)=26
qSoit Xla v.a.qui associe à tout résultat du dé un gain:
X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=−1 et X(5)=X(6)=(2−1)=1
L’ensemble des valeurs possibles de Xnoté Xest
{−1,1}⊂R
qQuestion: Comment calculer la probabilité de gagner 1€?
qRéponse: Définir une probabilité sur X, notée P, en
retournant dans l’espace probabilisé (Ω,C,P)
i.e. utiliser P(Le résultat du dé est 5ou 6)pour estimer
P(1).
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Définition formelle d’une v.a.
But
qOn a un espace probabilisé (Ω,C,P)et
l’application X∶Ω→R
qOn veut pouvoir probabiliser des événements sur
l’espace d’arrivé: R
Solution
Construire un espace probabilisé sur Rmuni de sa
tribu usuelle B(R). On notera Pla mesure de
probabilité sur (R,B(R))
La tribu B(R)est appellée tribu des boréliens - en
hommage à Émil Borel. Cette tribu est engendrée par
les intervalles de la forme
]−∞,a[,a∈R
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Schématiquement parlant ...
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