Exercice - Alain Camanes

Nombres entiers - Dénombrement
Stanislas
Exercices
MPSI 1
Chapitre XX
2015/2016
I - Entiers, Coecients binomiaux
Exercice 1. (Décomposition en base factorielle, !)
1. Montrer, sans utiliser de récurrence, que pour tout n ∈ N? ,
n
P
k · k! = (n + 1)! − 1.
k=1
2. En déduire que pour tout N ∈ N? , il existe un unique entier n ∈ N? et un unique n-uplet
n
P
ak · k!.
(a1 , . . . , an ) ∈ Nn tels que pour tout k ∈ N? , 0 6 ak 6 k , an 6= 0 et N =
k=1
Exercice 2. (Identité de Vandermonde, -) Soient x ∈ R, n, p ∈ N.
1. Développer de deux manières diérentes l'expression (1 + X)n (1 + X)p .
k
P
p
n
2. En déduire que si k 6 inf(n, p), n+p
=
k
k−j j .
j=0
Exercice 3. (Le même exercice, un autre point de vue, -) Soit E un ensemble de cardinal n et
A, B deux parties de E de cardinaux respectifs p et q . On suppose que A = cB .
1. Montrer que la fonction f : P(E) → P(A) × P(B), X 7→ (A ∩ X, B ∩ X) est bijective.
r
q P
p+q
p
2. En déduire que pour tout r ∈ N,
r .
i r−i =
i=0
3. Calculer
n
P
i=0
n 2
i
.
Exercice 4. ( !) Soient p 6 n deux entiers naturels non nuls. Calculer de deux manières diérentes
p
P
n n−k
k=0
k
p−k
.
II - Dénombrement
Exercice 5. Soient k et n deux entiers naturels non nuls tels que k 6 n. Combien y-a-t il de
k -uplets (i1 , . . . , ik ) appartenant à J1, nKk lorsque. . .
1. . . . les répétitions sont autorisées.
2. . . . les répétitions ne sont pas autorisées.
3. . . . on impose 1 6 i1 < · · · < ik 6 n.
Exercice 6. Une urne contient n boules noires ou blanches numérotées dont n1 sont noires et
n2 sont blanches. On tire p boules dans cette urne. Déterminer le nombre de tirages donnant
exactement p1 boules blanches et p2 boules noires lorsque. . .
1. . . . les boules sont tirées simultanément.
2. . . . les boules sont tirées successivement et sans remise.
3. . . . les boules sont tirées successivement et avec remise.
Exercice 7. (-) Déterminer le nombre de nombres à 5 chires (en base 10) où. . .
1. . . . 0 ne gure qu'une seule fois.
2. . . . un et un seul chire est répété et ceci une unique fois.
Stanislas
A. Camanes
Exercices. Nombres entiers - Dénombrement
MPSI 1
Exercice 8. (Géométrie) Soit n ∈ N? . Combien un polygone convexe à n sommets a-t-il de diago-
nales ?
Exercice 9. Un maçon dispose de n briques indistinguables pour construire un mur vertical sans
trous. Ainsi, toute brique se trouve soit sur le sol, jouxtant une autre brique, soit posée sur une
autre brique. Déterminer le nombre de formes de murs distinctes que le maçon peut construire.
Exercice 10. Déterminer le nombre d'anagrammes du mot :
1. COMPTER.
2. DENOMBRER.
Exercice 11. ( !) Soient n, p ∈ N? . Combien peut-on construire de p-listes (u1 , . . . , up ) ∈ Np
p
P
uk = n ?
telles que
k=1
Exercice 12. Soient n ∈ N? et E un ensemble ni à n éléments. Combien y-a-t-il de couples
(X, Y ) ∈ P(E)2 tels que X ⊂ Y ?
Exercice 13. Soit (n, p) ∈ (N? )2 . Combien y-a-t-il d'applications strictement croissantes de J1, pK
dans J1, nK ?
Exercice 14. (Relations binaires, ♥) Soit n ∈ N? et E un ensemble ni de cardinal n. Quel est le
nombre dans E de
1. . . . relations binaires ?
2. . . . relations binaires symétriques ?
3. . . . relations binaires réexives et symétriques ?
4. . . . relations binaires réexives et antisymétriques ?
Exercice 15. (Surjections, Projections) Soit n ∈ N? et E = J1, nK.
1. Combien y a-t-il de surjections de J1, n + 1K dans J1, nK ?
2. Combien y a-t-il d'applications de E dans E telles que p ◦ p = p ?
Exercice 16. (Surjections) Soit Snp l'ensemble des surjections de J1, pK dans J1, nK et Snp son
cardinal.
1. Pour tout entier k ∈ J1, nK, on note Ak = {f ∈ F (E, F ) ; f −1 ({k}) = ∅}.
2. En utilisant la formule du crible, en déduire que
Snp
=
n
X
k=0
n−k
(−1)
n p
k .
k
Exercice 17. (Dérangements, !, ♥) Soit n ∈ N? , n > 2. Calculer le nombre Dn de dérangements
de {1, . . . , n}, c'est-à-dire le nombre de bijections f : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} telles que pour
tout k 6 n, f (k) 6= k.
III - Groupe symétrique
Exercice 18. (Signature, -) Étudier la parité des permutations
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
1.
.
2.
.
3 5 4 8 7 6 2 1
1 3 2 7 4 8 5 6
Stanislas
A. Camanes
Exercices. Nombres entiers - Dénombrement
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1
2
3
4
· · · 2n − 1 2n
3.
.
n n + 1 n − 1 n + 2 ···
1
2n
Exercice 19. (-) Soit σ une permutation et θi,j une transposition de J1, nK.
1. Montrer que σ ◦ (i, j) ◦ σ −1 = (σ(i), σ(j)).
2. En déduire que pour tout n > 3, le centre de Sn est réduit à l'identité.
Exercice 20. (♥) Montrer que Sn est engendré par. . .
1. . . . {(1, i), i ∈ J2, nK}.
2. . . . {(i, i + 1), i ∈ J1, n − 1K}.
3. . . . (1, 2) et (2, 3, · · · , n, 1)
Exercice 21. (♥) Montrer que tout produit de deux transpositions peut s'écrire comme un produit
de cycles d'ordre 3. En déduire que An est engendré par les cycles d'ordre 3.
Exercice 22. ( !) Soit c = (2, 3, · · · , n, 1). Déterminer {σ ∈ Sn ; σc = cσ}.
Exercice 23. Soit ϕ : (Sn , ◦) → (C? , ·) un morphisme de groupe.
1. Montrer que si θ1 et θ2 sont deux transpositions, alors ϕ(θ1 ) = ϕ(θ2 ).
2. En déduire que ϕ est l'application signature ou l'application constante égale à 1.
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A. Camanes